江苏省常州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题（解析版）

PAGE1常州市2024—2025学年第二学期高一期末质量调研数学2025年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，其中为虚数单位，则对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，根据复数的几何意义确定正确选项.【详解】因为，所以复数对应的点为，位于第二象限.故选：B2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由两角差的正弦公式逆用即可求解.【详解】.故选：B.3.某校义工社团共有80人，其中男生50人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取16人参加周末的马拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是（）A.3 B.5 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】由分层抽样的定义即可得解.【详解】女生应抽取的人数是.故选：C.4.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】D【解析】【分析】以正方体的线面关系为例，说明ABC是错误的.【详解】如图，在正方体中：因为平面，平面，且与为异面直线，故A错误；因为平面，，但平面，而非平面，故B错误；因为平面，平面平面，但平面，而非平面，故C错误；对D：若，，则，故D正确.故选：D5.若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（）A.2cm B. C.3cm D.【答案】B【解析】【分析】求出铁球的半径，再结合等体积法即可求解.【详解】设所求为，铁球的半径为，则，解得，所以，解得.故选：B.6.在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理、三角形面积公式得，即可求解.【详解】因为，，若，则，而，所以，.故选：D.7.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长相等，记异面直线与所成角为，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成的二面角为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据异面直线所成角的概念，线面角，二面角的平面角的概念，构造出，，，求出它们的三角函数，利用三角函数的单调性，比较它们的大小.【详解】如图：不妨设.取和的交点为，中点，连接，，.则，，.因为，所以为异面直线与所成的角，为，所以，所以.因为平面，所以为直线与底面所成的角，所以，所以.因为，，所以为侧面与底面所成的二面角，所以.因为，且在上单调递减.所以.故选：A8.已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可.【详解】由题意：，.因.又，当时取“”.又，所以.所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（）A.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件B.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件C.事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互对立事件D.事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立【答案】BD【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可.【详解】对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数，故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生，所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误；对于B，因为“至少有一次点数为奇数”包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数，所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生，因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生，所以事件“两次点数均偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确；对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生，所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果，记“第一次点数为偶数”为事件，则事件包含种结果，故，记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，故，事件同时发生包含种不同的结果，故，所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确.故选：BD.10.在中，，则下列不等式中一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用边角关系及正弦定理判断A；利用余弦函数的性质判断B；举例说明判断C；利用二倍角公式结合选项A判断D.【详解】对于A，在中，，由正弦定理得，A正确；对于B，显然，因此，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，由选项A知，，则，D正确.故选：ABD11.如图，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，点为下底面圆周上一点，为上底面圆周上一点，则（）A.该圆台的体积为B.该圆台的内切球的半径为C.直线与直线所成角的最大值为D.直线与平面所成角正切值最大为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于C，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A选项，因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，所以，则A选项正确．对于B选项，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（1）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆，则腰长，所以梯形存在内切圆，故圆台存在内切球，且内切球的半径为，则B选项正确；

对于C选项，如图（2），过作垂直于下底面于点，则，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求，而，由圆的性质得，，所以，因为，则C选项错误．

对于D选项，如图（3），平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面，而在底面内，所以，又，且平面，所以平面，所以直线与平面所成角即为，且．设，则，所以，所以，当时，，当时，，因为函数在上单调递增，所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确．

故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，其中为虚数单位，则复数的模为______.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则求得复数，进而可求得.【详解】由，可得，所以.故答案为：.13.若，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式可得，再结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：.14.若正方体的棱长为1，则以为球心，为半径的球面与底面的交线长为______.【答案】##【解析】【分析】由题可得球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，即可求出.【详解】正方体中，平面，所以平面与球的截面是以为圆心的圆，且半径为，所以球面与底面的交线为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的一段弧，该交线长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知四边形是平行四边形，且，，.（1）求点的坐标；（2）求平行四边形的面积.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）设点D的坐标为，结合即可求解；（2）根据题意，先求出的夹角余弦值，进而得到其正弦值，再根据三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】设点D的坐标为．由题意得，．因为，所以，解得，所以点D的坐标为．【小问2详解】由，，则，，，则，所以，则平行四边形的面积为.16.在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得.（1）求旗杆的高度；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，结合余弦定理即可求解；（2）过点作于点，说明所求为线段的长度，解三角形即可得解.【小问1详解】由题意，而，，所以由余弦定理有，即，解得；【小问2详解】如图所示，过点作于点，由题意平面，又平面，所以，又因为，平面，所以平面，故所求为线段的长度，由（1）可知，所以.17.某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共800人参加本次测试，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值；（2）试估计本次测试的平均成绩（用各组区间中点的数值即“组中值”近似的表示每组的成绩）；（3）立定跳远项目每人有2次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的概率均为0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可；（2）由频率分布直方图结合平均数的计算，即可求解；（3）小明在立定跳远项目最终获得满分的概率包括第一次满分和第一次没有满分但第二次满分两种情况，根据概率计算即可.【小问1详解】根据频率分布直方图，可得，解得；【小问2详解】设本次测试的平均成绩为，则根据频率分布直方图，可得，即本次测试的平均成绩为；【小问3详解】设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为，则，即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为.18.在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且.（1）若，求的长；（2）求的面积的最小值.【答案】（1）或；（2）【解析】分析】（1）根据余弦定理计算求解；（2）根据面积公式结合两角和正切公式计算，最后应用基本不等式得出最小值.【小问1详解】在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），所以，在中，，所以，所以或；【小问2详解】过作交于，则，设，所以所以的面积为，因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当时，取最小值，所以面积的最小值为.19.如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点.（1）求证：平面平面；（2）若是线段的中点，求与平面所成的角；（3）若平面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）与平面所成的角为；（3）【解析】【分析】（1）得到PA⊥平面ABCD，根据四边形为矩形，得到AE⊥ED，又因为PA⊥ED进而得到ED⊥平面PAE，可推得面面垂直；（2）证明，连接点与的中点，交与点，证明平面，结合线面角的定义求与平面的夹角，由此可得结论；（3）延长，交于点，结合线面平行性质定理证明，由此可求．【小问1详解】证明：直角梯形中，，，，A是的中点，故，四边形为矩形，所以，因为，，平面，所以平面．又为边的中点，所以，故为等腰直角三角形，，故