4.2 不定积分换元积分法

1第二节

不定积分换元积分法本节学习目标010203第一换元积分法凑微分法第二换元积分法3

一、凑微分一、凑微分

为了求解不定积分的需要,现在讨论微分运算的逆运算,即将函数的一阶导数与自变量x微分dx的乘积凑成这个函数的微分,称为凑微分.

根据§2.7函数微分表达式,考虑自变量x的线性函数与几个非线性函数的微分,得到下列凑微分.（1）线性凑微分（2）非线性凑微分（3）一般凑微分41.凑微分定义2.常见凑微分类型1.线性凑微分(1)由于微分d(x+c)=dx(c为常数),所以微分dx=d(x+c)

(c为常数)(2)由于微分d(kx)=kdx(k为常数),所以微分

5具体常见凑微分类型这两个线性凑微分说明:微分记号d后面括号里加、减常数项,对微分无影响;微分记号d前面与后面括号里分别乘以互为倒数的非零常系数,对微分也无影响.

62.非线性凑微分(1)由于微分d(x2)=2xdx,所以乘积

由于微分d(x3)=3x2dx,所以乘积

72.非线性凑微分

82.非线性凑微分

(3)由于微分d(ex)=exdx,所以乘积exdx=d(ex)92.非线性凑微分(4)由于微分d(cosx)=-sinxdx,所以乘积sinxdx=-d(cosx)由于微分d(sinx)=cosxdx,所以乘积cosxdx=d(sinx)

103.一般凑微分由于微分df(x)=f'(x)dx,所以乘积f'(x)dx=df(x)

其中不定积分∫f(x)dx表达式所含积分常数取值为零11前面得到的具体凑微分都是这个一般凑微分的特殊情况,都可以从这个一般凑微分得到.在求解不定积分问题中,可以根据这个一般凑微分得到所需要的凑微分.为了求解不定积分的需要,根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,在凑微分等式中,若将自变量x改为中间变量u=u(x),则凑微分等式仍然成立,由此得到所需要的凑微分,如f″(x)dx=(f'(x))'dx=df'(x)等.12凑微分总结1.线性凑微分(1)dx=d(x+c)

(c为常数)

132.非线性凑微分

(6)exdx=d(ex)(7)sinxdx=-d(cosx)(8)cosxdx=d(sinx)143.一般凑微分f'(x)dx=df(x)或者

1516

二、第一换元积分法则二、不定积分第一换元积分法则直接应用不定积分基本运算法则与基本公式求解不定积分的数量是很有限的,因此应该扩大不定积分基本公式的应用范围.如考虑不定积分∫2xdx=x2+c其中积分变量为自变量x.若积分变量不为自变量x,而为中间变量u=u(x),问不定积分∫2udu=u2+c是否还成立?171.不定积分第一换元积分法则引入2.不定积分第一换元积分法则不定积分第一换元积分法则内容如果不定积分∫f(x)dx=F(x)+c函数u=u(x)可导,且一阶导数u'(x)连续,则对于中间变量u同样有不定积分∫f(u)du=F(u)+c18不定积分第一换元积分法则证明证:由于不定积分∫f(x)dx=F(x)+c从而一阶导数F'(x)=f(x)根据§2.7函数微分表达式,得到微分dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx19根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,对于中间变量u同样有微分dF(u)=f(u)du等号两端皆取不定积分,得到不定积分∫dF(u)=∫f(u)du20这个法则说明:在积分变量为自变量x的不定积分表达式中,若将自变量记号x换成中间变量记号u,则不定积分表达式仍然成立.再根据§4.1定理4.3,所以不定积分∫f(u)du=F(u)+c21推广的不定积分基本公式

对于§4.2不定积分基本公式,应用不定积分第一换元积分法则,得到推广的不定积分基本公式:公式1

∫0du=0+c

公式5

∫eudu=eu+c22公式6

∫sinudu=-cosu+c公式7

∫cosudu=sinu+c公式8

∫sec2udu=tanu+c公式9

∫csc2udu=-cotu+c

23

公式10

∫secutanudu=secu+c

公式11

∫cscucotudu=-cscu+c推广的不定积分基本公式由于中间变量u作为自变量x的函数u=u(x)有无穷多个,因此每一个不定积分基本公式推广为无穷多个不定积分公式,扩大了不定积分基本公式的应用范围.24不定积分第一换元积分法则常见情况

不定积分第一换元积分法则主要能够解决一部分但不是全部复合函数的不定积分,在计算复合函数的不定积分时,应该按照推广的不定积分基本公式的被积函数形状引进中间变量u,分解复合函数同时注意到不定积分第一换元积分法则要求不定积分被积表达式为乘积f(u)du,说明复合函数f(u)应对中间变量u求不定积分才能得到结果,因而应在所求复合函数的不定积分中,通过凑微分作恒等变形,将自变量x的微分dx与中间变量u的微分du建立联系25以符合不定积分第一换元积分法则的要求,再应用推广的不定积分基本公式求解,并将原函数表示为自变量x的函数.根据中间变量u与自变量x的函数关系类型,

分下列两种基本情况讨论复合函数的不定积分.261.第一种基本情况所求不定积分为∫f(ax+b)dx

(a,b为常数,且a≠0)其中被积函数的对应关系f为不定积分基本公式中某个被积函数的对应关系.这时应该引进中间变量u=ax+b,它是自变量x的线性函数,在求解过程中须应用线性凑微分.27例1求不定积分∫(x+2)10dx.解:被积函数为复合函数y=(x+2)10,将它分解为y=u10与u=x+2应用线性凑微分得到微分dx=d(x+2)=du28再应用推广的不定积分基本公式2求解,所以所求不定积分∫(x+2)10dx=∫u10du

29在运算熟练后,可以在心中引进中间变量u,而不必写出来,只需写出凑微分过程,同时在心中应用推广的不定积分基本公式,计算复合函数f(u)对中间变量u的不定积分,并将原函数表示为自变量x的函数,这种写法称为标准写法应用不定积分第一换元积分法则求解不定积分皆应采用标准写法,例1的标准写法为∫(x+2)10dx=∫(x+2)10d(x+2)

30例2

31例3求不定积分∫e-xdx.解:∫e-xdx=-∫e-xd(-x)=-e-x+c32例4求不定积分∫sin6xdx.解:∫sin6xdx

33例5

(被积函数分子、分母同除以4)

342.第二种基本情况所求不定积分为∫f(u(x))u'(x)dx其中被积函数一个因式的对应关系f为§4.2不定积分基本公式中某个被积函数的对应关系,另一个因式u'(x)为§4.3非线性凑微分中等号左端微分dx的系数.这时应该引进中间变量u=u(x),它是自变量x的非线性函数,在求解过程中须应用§4.3非线性凑微分.35例6

36例7求不定积分∫x2(x3-1)10dx.解:∫x2(x3-1)10dx

37例8

38例9

39例10

=ln|lnx|+c40例11

=arcsinex+c41例12求不定积分∫tanxdx.解:∫tanxdx

=-ln|cosx|+c42例13若没有给出被积函数的具体表达式,只要符合条件,则同样可以应用不定积分第一换元积分法则求解.求不定积分∫sinxcosxdx解:∫sinxcosxdx=∫sinxd(sinx)

43例14

根据不定积分第一换元积分法则,所以所求不定积分

=∫f'(lnx)d(lnx)=f(lnx)+c44例15若函数F(x)可导,且一阶导数F'(x)=f(x),则不定积分∫f(ex)exdx=(

).(a)F(x)+c (b)F(x)ex+c(c)F(ex)+c (d)F(ex)ex+c45解:由于一阶导数F'(x)=f(x),说明函数F(x)为f(x)的一个原函数,因而有不定积分∫f(x)dx=F(x)+c根据不定积分第一换元积分法则,有不定积分∫f(u)du=F(u)+c引进中间变量u=ex,并应用非线性凑微分exdx=d(ex),因而所求不定积分∫f(ex)exdx=∫f(ex)d(ex)=F(ex)+c此题答案为：(c)46例16已知不定积分∫f(x)dx=F(x)+c,则不定积分∫F(x)f(x)dx=

.

解:由于被积函数为原函数的一阶导数,根据已知不定积分表达式,得到被积函数f(x)=F'(x)根据不定积分第一换元积分法则,所求不定积分∫F(x)f(x)dx=∫F(x)F'(x)dx=∫F(x)dF(x)

47同一个不定积分可以用不同方法求解,所得到不定积分中的原函数表达式不一定相同,但它们之间仅相差一个常数如对于例13中不定积分用另外一种方法求解,得到不定积分

48两种方法求解得到不定积分中的原函数表达式并不相同,但它们之差为

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三、第二换元积分法则三、不定积分第二换元法则∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c根据§4.4不定积分第一换元积分法则,如果对于自变量x,有不定积分∫f(x)dx=F(x)+c则对于中间变量x=φ(t),也同样有不定积分∫f(x)dx=F(x)+c即有511.不定积分第二换元法则引入是否还成立?现在提出相反的问题:如果对于自变量t,有不定积分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c那么对于自变量x,问不定积分∫f(x)dx=F(x)+c52不定积分第二换元积分法则给出了肯定的回答.2.不定积分第二换元法则∫f(x)dx=F(x)+c不定积分第二换元积分法则内容已知函数f(x)连续,对不定积分∫f(x)dx作变量代换x=φ(t),函数x=φ(t)单调可导,且一阶导数φ'(t)连续,如果对于自变量t,有不定积分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c则对于自变量x,有不定积分53不定积分第二换元法则证明dx=φ'(t)dt证:由于函数x=φ(t)单调,因而它存在反函数t=φ-1(x);又由于函数x=φ(t)可导,当然可微,根据§2.7函数微分表达式,于是微分dx=φ'(t)dt根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,当变量t不是自变量而是中间变量,即变量t为自变量x的函数t=φ-1(x)时,同样有微分54f(φ(t))φ'(t)dt=dF(φ(t))对于已知不定积分∫f(φ(t))φ'(t)dt=F(φ(t))+c等号两端皆取微分,根据§4.1定理4.2,得到关系式f(φ(t))φ'(t)dt=dF(φ(t))根据§2.7定理2.4关于微分形式不变性的结论,当变量t不是自变量而是中间变量,即变量t为自变量x的函数t=φ-1(x)时,同样有关系式55∫f(x)dx=F(x)+c注意到函数t=φ-1(x)与x=φ(t)互为反函数,它们是等价的,又微分dx=φ'(t)dt,于是得到关系式f(x)dx=dF(x)等号两端皆取不定积分,根据§4.1定理4.3,所以对于自变