5.2 微积分基本公式

1第二节

微积分基本公式本节学习目标010203掌握变上限定积分求导掌握变上限定积分含义04掌握牛顿-莱布尼兹公式掌握利用公式计算定积分的步骤一、变上限定积分

定积分的值取决于被积函数f(x)的对应关系“f”及积分下限a、积分上限b.若被积函数f(x)的对应关系“f”确定不变,积分下限a固定,只有积分上限b变化,则称这样的定积分为变上限定积分.31.变上限定积分的定义注意到函数Φ(x)为积分上限x的函数,而不是积分变量x的函数,为避免混淆,根据§5.1定理5.1,将积分变量记号x改写为t,于是

不妨用变量记号x表示变上限定积分的积分上限,这时对于闭区间[a,b]上每一点x,恒有一个定积分值与之对应,因此变上限定积分为积分上限x的函数,记作

42、变上限定积分重要性质的定理定理5.3

5下面给出反映变上限定积分重要性质的定理证:对应于自变量改变量Δx≠0,

函数Φ(x)取得改变量ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)

根据§5.1定理5.2,在点x与x+Δx之间至少存在一点η,使得

6即有

因而得到函数改变量ΔΦ=f(η)Δx即比值

注意到点η在点x与x+Δx之间,当Δx→0时,当然有η→x;又由于函数f(x)连续,因而有f(η)→f(x).7

8

说明连续函数一定存在原函数,这正是§4.1关于原函数存在性的结论.当然,对于中间变量u=u(x),这个定理可以推广为

9定理说明:

在被积函数连续的条件下,变上限定积分对积分上限x的一阶导数等于将被积函数表达式中的变量记号t改写为积分上限x所得到的函数,而与积分下限a(常数)无关.例1

sinex10例1

=cosex·(ex)'=excosex11例2

因此所求一阶导数

=-sinex-sinex12例3

13根据§2.4复合函数导数运算法则与定理5.3的推广,所以所求一阶导数y'=y'uu'

14例4

解:应用§5.1定积分基本运算法则4,当x→0时,变上限定积分

15

16例5

定理5.3,得到函数f(x)=15x2所以所求一阶导数f'(x)=30x17

应用§5.1定积分基本运算法则4,得到关系式0=5a3+40所以常数a=-218二、牛顿-莱布尼兹公式如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且函数F(x)为f(x)在闭区间[a,b]上的一个原函数,则定积分1.牛顿-莱布尼兹公式

192.牛顿-莱布尼兹公式证明

再根据§4.1定理4.1,因而这两个原函数之间的关系为Φ(x)=F(x)+c0

(a≤x≤b)即有

其中c0为常数.20当x=a时,有关系式

应用§5.1定积分基本运算法则4,有0=F(a)+c0从而确定常数c0=-F(a)当x=b时,有关系式

21再将积分变量记号t改写为x,所以定积分

通常以记号表示差F(b)-F(a)于是牛顿-莱布尼兹公式记作223.牛顿-莱布尼兹公式计算定积分步骤牛顿-莱不尼兹公式把求定积分归结为求原函数,深刻揭示定积分与不定积分的内在联系,体现微积分主要运算的一般规律,因此也称它为微积分基本定理.

步骤2计算原函数F(x)从积分下限a到积分上限b的改变量F(b)-F(a).步骤1求出被积函数f(x)的一个原函数F(x);23若函数F(x)为f(x)的任意一个原函数,则函数F(x)+c0(c0为一个常数)也为f(x)的原函数,于是定积分

这说明定积分的值与原函数的选取无关,当然应该选取表达式最简单即表达式中常数项为零的原函数计算定积分.24若能够直接应用§4.2不定积分基本公式或§4.4不定积分第一换元积分法则求出原函数,则直接应用牛顿-莱不尼兹公式求定积分.在计算定积分时,应该明确:积分变量从积分下限变化到积分上限,在积分区间上取值.应用牛顿-莱不尼兹公式,考虑常量函数y=0在任意闭区间[a,b]上的定积分,注意到常量函数y=0的一个原函数为F(x)=0,有

说明常量函数y=0在任意闭区间上的定积分值一定等于零.25例6

=33

=32-(-1)26例7

27例8

=ln328例9

29例10

=2(e2-e)=2e2-2e30例11

31例12

=ln(1+e3)-ln2

在例7至例12中,应用§4.4不定积分第一换元积分法则求出原函数,这时自变量x始终从积分下限变化到积分上限,不要误认为中间变量u从积分下限变化到积分上限.32例13

解:计算定积分

=(1+k)-0=1+k再从已知条件得到关系式1+k=0,因此常数k=-1-133三、分段函数的定积分考虑有界分段函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分,其分界点将积分区间[a,b]分成几个小闭区间根据§5.1定积分基本运算法则5,其在闭区间[a,b]上的定积分等于在这几个小闭区间上的定积分之和至多适当改变被积函数在分段积分区间端点处的函数值,就可以使得它在分段积分区间上连续,根据§5.1定积分的定义,这样做不影响定积分的值,再应用牛顿-莱不尼兹公式求得结果.有界分段函数定积分的计算可以概括为:分段积分,然后相加.34例14已知分段函数

35解:被积函数f(x)的分界点x=1将积分区间[0,2]分成两个小闭区间:[0,1]与[1,2].当积分变量x从点x=0变化到点x=1时,被积函数f(x)=2x;当积分变量x从点x=1变化到点x=2时,被积函数f(x)=3x