2026-2027学年人教A版高中数学必修一1.3　第2课时　补集课件

第2课时补集【学习目标】1.了解全集的含义及其符号表示.(数学抽象)2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(数学抽象、数学运算)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(直观想象、数学运算)一、全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的_____元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.[思考]1.全集一定是实数集R吗?提示:不一定.全集因研究问题的不同而变化.所有二、补集[思考]2.结合补集的定义,你能分别说出∁U(∁UA),∁U⌀,A∪(∁UA)表示的集合吗?提示:∁U(∁UA)=A,∁U⌀=U,A∪(∁UA)=U.[点睛](1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是相互依存、不可分割的两个概念.(2)∁UA包含三层意思:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且(∁UA)⊆U;③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合.(3)若x∈U,则x∈A或x∈(∁UA),二者必居其一.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若在全集U中研究问题,则集合U没有补集.()提示:全集U的补集是空集,即∁UU=⌀.(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.()提示:A∩(∁UA)=⌀.(3)在全集U中存在元素x,有x∉A,且x∉(∁UA).()提示:若x∈U,则x∉A与x∉(∁UA)二者必居其一,不能同时成立.(4)若3∉A,则3∈(∁UA).()提示:若3∈U,则必有3∈(∁UA),若3∉U,则3∉(∁UA).×√××类型1补集的运算(数学运算)【典例1】(易错·对对碰)(1)若全集U={x∈Z|-4<x≤1},集合A={x∈Z|-1<x≤1},则∁UA=

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(2)若全集U={x|-4<x≤1},集合A={x|-1<x≤1},则∁UA=

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(3)若全集U={x|-4≤x≤1},集合A={x|-1≤x<1},则∁UA=

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【解析】(1)因为A={x∈Z|-1<x≤1}={0,1},U={x∈Z|-4<x≤1}={-3,-2,-1,0,1},所以∁UA={-3,-2,-1};(2)把集合U和A表示在数轴上,如图所示,

由图知∁UA={x|-4<x≤-1};(3)把集合U和A表示在数轴上,如图所示,

由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}.答案:(1){-3,-2,-1}

(2){x|-4<x≤-1}(3){x|-4≤x<-1或x=1}【解题有招】求补集的原则和方法(1)“剩余原则”.从全集U中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集.(2)“图示方法”.①数轴法:适合元素连续且无限的集合.②Venn图法:适合用列举法表示的集合.提醒:用数轴法时注意端点值的取舍.【即学即练】1.(2025·全国一卷)设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5},则∁UA中元素个数为(

)A.0 B.3 C.5 D.8【解析】选C.U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以∁UA={2,4,6,7,8},共5个元素.√2.(2025·上海高考)已知全集U={x|2≤x≤5,x∈R},集合A={x|2≤x<4,x∈R},则∁UA=

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【解析】根据补集的含义知∁UA={x|4≤x≤5,x∈R}.答案:{x|4≤x≤5,x∈R}类型2并集、交集、补集的混合运算(数学运算)【典例2】(教考衔接)[源题](教材P13练习T1)已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求A∩(∁UB),(∁UA)∩(∁UB).【解析】因为U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},所以∁UA={1,3,6,7},∁UB={2,4,6},所以A∩(∁UB)={2,4},(∁UA)∩(∁UB)={6}.

√[类题]1.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={x∈Z|1<x<4},则∁U(A∪B)=(

)A.{0,1,2,3} B.{5}C.{1,2,4} D.{0,4,5}【解析】选D.因为B={x∈Z|1<x<4},所以B={2,3}.因为A={1,2},所以A∪B={1,2,3}.因为全集U={0,1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={0,4,5}.√2.(2026·深圳高一检测)已知集合U为全集,集合M,N为其子集,如图中阴影部分所表示的集合为(

)A.M∪N

B.M∩NC.∁UM∩N D.∁U(M∪N)【解析】选D.由于图中白色部分表示M∪N,因此阴影部分表示∁U(M∪N).

√【解题有招】解决集合综合运算的技巧(1)运算顺序:一般先计算括号内的部分,再计算其他部分.(2)运算方法:常借助Venn图与数轴.类型3由补集运算求参数问题(逻辑推理)角度1

离散数集中的参数问题【典例3】设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,a,b},B={4,a-b}.若∁UA=B,则a,b的值分别为(

)A.3,2 B.4,3C.3,2或5,3 D.5,2或5,3√【解析】选D.因为∁UA=B,所以A∪B=U,且A∩B=⌀.由题意得,a-b>0,即a>b,且a≠1,a≠4,b≠1,b≠4.若a=3,b=2,则a-b=1,不满足∁UA=B,不符合题意;若a=5,b=2,则a-b=3,此时A={1,2,5},B={4,3},∁UA={3,4}=B,符合题意;若a=5,b=3,则a-b=2,此时A={1,3,5},B={2,4},∁UA={2,4}=B,符合题意.【解题有招】离散数集参数问题的求解步骤(1)确定全集;(2)根据所研究的子集中的元素是全集中的元素列出方程,求参数值;(3)检验所研究的集合中元素是否满足互异性,检验所研究的集合是否为全集的子集.【即学即练】设全集U={2,4,a2},集合A={4,a+3},∁UA={1},则实数a的值为

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【解析】因为A∪(∁UA)=U,所以a2=1且a+3=2,所以a=-1.答案:-1角度2

连续数集中的参数问题【典例4】(易错·对对碰)(1)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁UA)∩B≠⌀,则实数a的取值范围为

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(2)已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁UB)∪A=R,则实数a的取值范围为

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【解析】(1)因为A={x|x<3或x≥7},所以∁UA={x|3≤x<7}.又(∁UA)∩B≠⌀,所以{a|a>3}.(2)因为B={x|x<a},所以∁UB={x|x≥a}.又(∁UB)∪A=R,所以a≤3.答案:(1){a|a>3}

(2){a|a≤3}【解题有招】连续数集参数问题的解题策略根据集合运算结果画数轴直观展示各集合之间的关系,通过分析数轴上有关点的位置关系列方程(或不等式)求参数的值(或范围).【即学即练】已知集合A={x|x>a},B={x|1<x<3}.若∁RA⊆∁RB,则a的取值范围为(

)A.{a|a≤1} B.{a|a≤3}C.{a|a≥1} D.{a|a≥3}【解析】选A.由∁RA⊆∁RB可得,B⊆A,则a≤1.√教材深一度集合中的德·摩根定律(链接教材P13练习T3)[常用结论]∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).【典例5】(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(∁UA)∪(∁UB)=(

)A.{1,6} B.{4,5}C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}【解析】选D.(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)={1,2,3,6,7}.√(2)设U={不大于