2026-2027学年人教A版高中数学必修一1.4.2　充要条件课件

1.4.2

充要条件【学习目标】1.理解充要条件的概念,能进行充要条件的判断.(数学抽象、逻辑推理)2.会探求或证明某些问题成立的充要条件.(逻辑推理)3.能够根据充分、必要条件求参数.(逻辑推理)一、充要条件命题真假“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题推出关系既有p⇒q,又有q⇒p,记作_____条件关系p既是q的充分条件,也是q的必要条件名称p是q的_________条件,简称为_____条件p⇔q充分必要充要二、集合与充分、必要、充要条件的关系集合之间的关系p,q关系命题的真假充要条件关系P⊆Qp⇒q若p则q为真命题p是q的充分条件q是p的必要条件Q⊆Pp⇐q若q则p为真命题p是q的必要条件q是p的充分条件P=Qp⇔q若p则q为真命题若q则p为真命题p是q的充要条件集合之间的关系p,q关系命题的真假充要条件关系P⫋Qp⇒qp

q若p则q为真命题若q则p为假命题p是q的充分不必要条件Q⫋Pp

qp⇐q若p则q为假命题若q则p为真命题p是q的必要不充分条件P不包含于Q,Q不包含于Pp

qp

q若p则q为假命题若q则p为假命题p是q的既不充分也不必要条件【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.()(2)如果命题“若p,则q”是真命题,其逆命题是假命题,那么p是q的充要条件.()提示:p⇒q,而q

p,所以p是q的充分不必要条件.(3)若“A是B的充分不必要条件”,则“B是A的必要不充分条件”.()提示:二者都是“A⇒B且B

A”.(4)由“p:x∈A”是“q:x∈B”的充要条件,可以得出A=B.()提示:若x∈A⇒x∈B,则A⊆B,反之B⊆A,故A=B.√×√√类型1四类条件的判断(逻辑推理)【典例1】判断下列各组命题中,p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)(1)p:x2>0,q:x>0;(2)p:a是自然数;q:a是正数;(3)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA;(4)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等.

【解题有招】判断四类条件的三种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.(2)集合法:利用集合的包含关系判断.(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.【即学即练】(多选)设A,B为两个集合,则下列四个充要条件的判断中错误的是(

)A.A不包含于B⇔对任意x∈A,都有x∉BB.A不包含于B⇔A∩B=⌀C.A不包含于B⇔B不包含于AD.A不包含于B⇔存在x0∈A,使得x0∉B√√√【解析】选ABC.对于A,取A={1,2},B={2,3},满足A不包含于B,但存在2∈A,且2∈B,A错误;对于B,取A={1,2},B={2,3},满足A不包含于B,但A∩B={2},B错误;对于C,取A={1,2},B={1},满足A不包含于B,但B包含于A,C错误;对于D,A不包含于B⇔存在x0∈A,使得x0∉B,D正确.类型2充要条件的探求与证明(逻辑推理)【典例2】已知a,b是正实数,求证:a2-b2-2b=1成立的充要条件是a-b=1.【证明】a2-b2-2b=1⇔a2-(b+1)2=0,⇔(a+b+1)(a-b-1)=0,因为a,b是正实数,所以a-b-1=0⇔a-b=1,得证.【解题有招】1.探求充要条件的两种方法(1)等价法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程的每一步都是等价的.(2)非等价法:先寻找必要条件,再找充分条件,从必要性和充分性两方面说明.2.充要条件的证明策略要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.

类型3根据充分、必要条件求参数(逻辑推理)【典例3】(易错·对对碰)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).(1)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.

【解题有招】应用充分、必要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.【即学即练】1.设集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0};若x∈B是x∈A的充要条件,则实数m的值为

.

【解析】集合A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},B={x|x2+(m+1)x+m=0}={x|(x+1)(x+m)=0},因为x∈B是x∈A的充要条件,所以A=B,所以-m=-2,所以m=2.答案:22.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是

.

【解析】由题意,p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,因为q是p的必要不充分条件,则m+1>3,解得m>2.答案:{m|m>2}教材深一度锐角、钝角三角形的充要条件(链接教材习题1.4T6)【典例4】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.求证:(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2;(2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.【证明】a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c,(1)△ABC为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2,证明如下:必要性:在△ABC中,∠C是锐角,作AD⊥BC,D为垂足,如图①.显然AB2=AD2+DB2=AC2-CD2+(CB-CD)2=AC2-CD2+CB2+CD2-2CB·CD=AC2+CB2-2CB·CD<AC2+CB2,即c2<a2+b2.充分性:在△ABC中,a2+b2>c2,所以∠C不是直角.假设∠C为钝角,如图②.作AD⊥BC,交BC延长线于点D.则AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD>AC2+BC2.即c2>b2+a2,与“a2+b2>c2”矛盾.故∠C为锐角,即△ABC为锐角三角形.(2)△ABC为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.证明如下:必要性:在△ABC中,∠C为钝角,如图②,显然:AB2=AD2+BD2=AC2-CD2+(CD+CB)2=AC2-CD2+CD2+CB2+2CD·CB=AC2+CB2+2CD·CB>AC2+CB2.即a2+b2<c2.充分性:在△ABC中,a2+b2<c2,所以∠C不