1.5　1.5.1　全称量词与存在量词-2026-2027学年高中必修一数学人教A版

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词素养目标思维导图通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义(数学抽象).课前自主学习问题1.观察下列语句:①对所有的x∈R,x>3;②对任意一个x∈Z,2x+1是整数.(1)①②是命题吗?若是命题,判断真假.提示:①是命题,假命题.②是命题,真命题.(2)①②中的“所有”“任意一个”有什么含义?提示:表示某个范围内的整体或全部.问题2.观察语句①②:①存在一个x∈R,使3x+1=5;②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.(1)①②是命题吗?若是命题,判断其真假.提示:是,都为真命题.(2)①②中的“存在一个”“至少有一个”有什么含义?提示:表示总体中“个别”或“一部分”.(3)你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗?提示:某些,有的,有些.【核心概念】1.全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“___”表示.(2)含有__________的命题叫做全称量词命题,通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称量词命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为“____________”.2.存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__________,并用符号“___”表示.(2)含有__________的命题,叫做存在量词命题,存在量词命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”,可用符号简记为“____________”.全称量词∀全称量词

∀x∈M,p(x)存在量词∃存在量词

∃x∈M,p(x)课堂合作探究

(2)(2025·苏州高一检测)下列四个命题,其中真命题为(

)A.∃x∈R,x2+1<0 B.∀x∈R,x+|x|>0C.∀x∈Z,|x|∈N D.∃x∈R,x2-2x+3=0【解析】选C.对于A:由x2+1≥1恒成立,故该命题为假命题,故A错误;对于B:当x=0时,x+|x|=0+0=0,故该命题为假命题,故B错误;对于C:∀x∈Z,|x|∈N,故该命题为真命题,故C正确;对于D:Δ=4-12=-8<0,故x2-2x+3=0无解,故该命题为假命题,故D错误.【类题通法】1.判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法一看:看命题中是否含有量词.二辨:辨别量词是全称量词还是存在量词.三断:若命题中不含量词,要根据命题的意义去判断.2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.(2)要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题就是假命题.【定向训练】1.(2024·菏泽高一检测)下列语句中,是全称量词命题的是

,是存在量词命题的是

.(填序号)

①菱形的四条边相等;②所有含两个60°角的三角形是等边三角形;③负数的立方根不等于0;④至少有一个负整数是奇数;⑤所有有理数都是实数吗?【解析】①②③是全称量词命题;④是存在量词命题;⑤不是命题.答案:①②③

④

探究点二

由全称量词(存在量词)命题的真假确定参数的范围【典例2】(一题多问)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},回答下列问题.(1)若命题p:∀x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围.(2)若命题q:∃x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围.(3)若命题q:∃x∈A,x∈B是假命题,求m的取值范围.(4)若命题∀x1∈A,∃x2∈B,使得x1=x2是真命题,求实数m的取值范围.【问题解读】(1)由命题p:∀x∈B,x∈A是真命题得B⊆A,再根据集合关系求解.(2)将题给条件转化为A∩B≠⌀,列不等式组即可求得实数m的取值范围.(3)由命题q:∃x∈A,x∈B是假命题得A∩B=⌀,再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.(4)先转化为A⊆B,再列出不等式.

【类题通法】应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类常见题型(1)恒成立问题:全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题.全称量词命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质的值求解;也可以根据函数等数学知识来解决.(2)存在性问题:存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.【定向训练】1.(多选题)若“∀x∈M,2-x<0”为真命题,“∃x∈M,x<0或x>4”为假命题,则集合M可以是(

)A.{x|1<x<2} B.{x|3<x<4} C.{x|0<x<2} D.{x|2<x<3}【解析】选BD.因为∃x∈M,x<0或x>4为假命题,所以∀x∈M,0≤x≤4为真命题,可得M⊆{x|0≤x≤4},又∀x∈M,2-x<0为真命题,可得M⊆{x|x>2},所以M⊆{x|2<x≤4}.结合选项,B,D符合题意.√√2.命题p:存在实数x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立.若命题p为真命题,求实数a的取值范围.【解析】当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意;当a≠0时,由题意可得ax2+2x-1=0有实根,得Δ=4+4a≥0,解得a≥-1,且a≠0.综上可得a≥-1,即实数a的取值范围是{a|a≥-1}.课堂学业达标1.设非空集合M,N满足M∩N=N,则(

)A.∃x∈N,有x∉M

B.∀x∉N,有x∈M

C.∃x∉M,有x∈N

D.∀x∈N,有x∈M【解析】选D.因为M∩N=N,所以N⊆M,所以∀x∈N,有x∈M.2.下列命题是存在量词命题的是(

)A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数x,使得x2<0【解析】选D.A,B,C中命题的主语均泛指某一类事物,是全称量词命题.D中“存在”为存在量词,故D正确.√√3.下列命题是全称量词命题的是

(填序号).

①每个四边形的内角和都是360°; ②任何等边三角形都全等;③∀x∈Z,2x+1是整数;

④存在一个x∈R,使2x+1=3.答案:①②③4.判断下列命题的真假.①∃x∈R,