1.4　1.4.2　充要条件-2026-2027学年高中必修一数学人教A版

1.4.2充要条件素养目标思维导图1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义(数学抽象).2.理解数学定义与充要条件的关系(逻辑推理).课前自主学习问题1.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p是q的必要条件.问题2.“若p,则q”为真命题,“若q,则p”也是真命题,那么p与q的关系是什么?提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,即p⇔q.【核心概念】充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,就说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.课堂合作探究探究点一

充分条件、必要条件、充要条件的判断【典例1】(1)“x=1”是“x2-1=0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【思维导引】求出方程x2-1=0的解,根据充分条件以及必要条件的性质求解.【解析】选A.解x2-1=0可得x=±1,所以“x=1”是“x2-1=0”的充分不必要条件.(2)设A,B,U是三个集合,且A⊆U,B⊆U,则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【思维导引】结合充分条件和必要条件的定义可得出结论.【解析】选C.因为(∁UA)∩(∁UB)=

∁U(A∪B),所以“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的充要条件.【类题通法】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.(2)集合法:利用集合的包含关系判断.(3)等价法:利用p⇔q与q⇔p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.【定向训练】1.以下选项中,p是q的充要条件的是(

)A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5B.p:a>2,b<2,q:a>bC.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形D.p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解【解析】选D.对于A,p:x>1,q:x<1,所以p是q的既不充分也不必要条件;对于B,p⇒q,但qp,所以p是q的充分不必要条件;对于C,pq,但q⇒p,所以p是q的必要不充分条件;对于D,显然q⇔p,所以p是q的充要条件.2.(多选题)(2025·厦门高一检测)下列命题正确的是(

)A.“A∩B=⌀”是“集合A或B为空集”的充要条件B.“同位角相等”是“两直线平行”的充要条件C.“a>b且c>0”是“ac>bc”的必要不充分条件D.“b2=4ac”是“方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根”的充要条件【解析】选BD.对于A,充分性:当A∩B=⌀时,取A={1,2},B={3},A,B均不为空集,充分性不成立;必要性:当A或B为空集时,一定有A∩B=⌀,必要性成立,故“A∩B=⌀”是“集合A或B为空集”的必要不充分条件,故A错误;对于B,由两直线平行的判定及性质定理得,“同位角相等”是“两直线平行”的充要条件,故B正确;对于C,充分性:当a>b且c>0时,必有ac>bc,充分性成立;必要性:当ac>bc时,有c(a-b)>0,即a>b且c>0或a<b且c<0,故不一定有a>b且c>0,必要性不成立,故“a>b且c>0”是“ac>bc”的充分不必要条件,故C错误;对于D,充分性:当b2=4ac时,Δ=0,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根,充分性成立;必要性:当方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根时,b2-4ac=0,即b2=4ac,必要性成立,所以“b2=4ac”是“方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个实数根”的充要条件,故D正确.

【问题解读】①根据必要条件的定义可得S⊆P;②根据充分条件的定义可得P⊆S;③根据充要条件的定义可得P=S;④由题意可得P⫋S;⑤由题意可得S⫋P.

【类题通法】集合法求参数的取值范围的步骤(1)化简:先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)}.(2)定关系:然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系.(3)列不等式(组):利用A,B关系,借助数轴列相关不等式组,求出参数的取值范围.【定向训练】关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2的充要条件是

.

【解析】若方程ax2+bx+c=0有一个根为2,把x=2代入方程ax2+bx+c=0中可得4a+2b+c=0,所以必要性成立.若4a+2b+c=0,所以c=-4a-2b,代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx-4a-2b=0,即(x-2)(ax+2a+b)=0,故方程ax2+bx+c=0有一个根为2,所以充分性成立.综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为2的充要条件是4a+2b+c=0.答案:4a+2b+c=0课堂练习1.对于实数x,“x<1”是“-1<x<1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当x<1时,例如x=-2<1,但-1<x<1不成立,故充分性不成立;反之,若-1<x<1,则x<1,故必要性成立.2.若x∈R,则“x>1”是“x>1或x<