2026八年级数学下册第二十一章四边形专项培优8特殊平行四边形中的折叠问题习题课件新版冀教版

第二十一章四边形专项培优8特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，已知四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC边上，将菱形沿EF折叠，使点B正好落在AD边上的点G处．若EG⊥AC，则FG的长为________．【点拨】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于点H.∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC.∴△ABC，△ACD都是等边三角形．∴∠CAD＝60°.∵EG⊥AC，∴∠GOA＝90°.∴∠AGO＝30°.返回2．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，P为AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.【证明】∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC.由折叠的性质，得∠EPH＝∠EBC＝90°，PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP.即∠BPH＝∠PBC.∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？请证明你的结论．【解】△PDH的周长不发生变化．证明如下：过点B作BQ⊥PH，垂足为Q.∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC.由(1)知∠APB＝∠BPH.返回3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将△AEF折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B，D重合)，折痕为EF.若DG＝2，BG＝6，则AF的长为________．返回4．[深圳月考]把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF.(1)连接BE，BD，求证：四边形BFDE是菱形．【证明】由折叠可知，EF垂直平分BD，设BD与EF交于点O，则BE＝DE，BF＝DF，OB＝OD.∵四边形ABCD是矩形，∴DE∥BF，∴∠EDO＝∠FBO.(2)若AB＝8cm，BC＝16cm，求线段DF和EF的长．【解】设DF＝xcm，则BF＝xcm，则CF＝(16－x)cm.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8cm.在Rt△DCF中，由勾股定理得x2＝(16－x)2＋82，解得x＝10，∴DF＝10cm，CF＝6cm.返回5．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折，得到△AB′E，点B的对应点是点B′，连接BD，BB′，若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是______．返回6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝3，AB＝CD＝9.在矩形ABCD的边AB上取一点E，在CD上取一点F，且E，F不与矩形的顶点重合，将纸片沿EF折叠，点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′，EB′与CD交于点G，得到△EFG.(1)若∠BEF＝70°，则∠EGF＝________；(2)探究△EFG的形状，并说明理由；40°【解】△EFG是等腰三角形．理由如下：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠GFE＝∠BEF.根据折叠可知∠GEF＝∠BEF，∴∠GEF＝∠GFE.∴GE＝GF.∴△GEF是等腰三角形．(3)如何折叠能够使△EFG的面积最大？请你画图探究并求出最大值．返回7．在一节综合实践课上，数学老师要求同学们动手折叠一张正方形纸片ABCD，如图，M是边AB的中点，P，Q是DC边上的两个动点，连接PM，QM，将∠AMP折叠，使点A落在线段PM上的点A′处，EM是折痕，将∠BMQ折叠，使点B落在线段QM上的点B′处，FM是折痕．(1)如图①，当点P与点Q重合时．①线段EM与FM的位置关系是________；②请说明：∠DEM＝∠AMF.EM⊥FM【解】由①得EM⊥FM，即∠EMF＝90°.∵∠DEM为△AEM的一个外角，四边形ABCD是正方形．∴∠DEM＝∠A＋∠AME＝90°＋∠AME.又∵∠AMF＝∠AME＋∠EMF＝∠AME＋90°，∴∠DEM＝∠A