第11讲 一次函数与正比例函数（6种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第11讲一次函数与正比例函数（6种题型）【知识梳理】一．一次函数的定义（1）一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．（2）注意：①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．二．正比例函数的定义（1）正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．（2）正比例函数图象的性质正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．三．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．四．根据实际问题列一次函数关系式根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【考点剖析】一．一次函数的定义1．（2022春•卧龙区期中）下列函数关系中，y是x的一次函数的是（）A．y＝x﹣x2 B．y＝ C．y＝kx+b D．y＝﹣x2．（2022秋•定远县校级月考）已知函数y＝（m+1）x2-|m|+4，y是x的一次函数，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．任意实数3．（2022春•杨浦区校级期中）若函数y＝（k+3）x﹣2+k是关于x的一次函数，那么k的取值范围是．4．当m取何值时，函数y＝（m+5）x2m﹣1+7x﹣3（x≠0）是一个一次函数？二．正比例函数的定义5．（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（）A．a≠4且b≠0 B．a≠﹣4且b＝0 C．a＝4且b＝0 D．a≠4且b＝06．（2022秋•庐阳区校级月考）下列函数是正比例函数的是（）A．y＝x2+2 B．y＝ C．y＝﹣2x D．y＝7．（2021春•新化县期末）若函数y＝（m﹣3）x+m2﹣9是正比例函数，求m的值．8．（2021春•饶平县校级期末）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，（1）写出y与x之间的函数解析式：（2）求当x＝﹣4时，y的值．三．待定系数法求一次函数解析式9．（2022秋•相山区校级期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝﹣2时，y＝3，求该一次函数的表达式．10.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣2，0）和（0，2），求k，b的值．11．（2021春•江城区期末）已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时，y＝5；当x＝﹣2时，y＝﹣11，求k和b的值．四．待定系数法求正比例函数解析式12．（2021春•惠州期末）已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．求：y与x的函数解析式．13．已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值．14．（2022秋•迎江区校级期末）已知y+2与4﹣x成正比例，且x＝3时，y＝1．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当﹣2＜y＜1时，求x的取值范围．15．（2021春•饶平县校级期末）已知y与x+1成正比例，且x＝﹣2时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点P（a，4）在（1）中的函数图象上，求点P的坐标．16．已知：y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的关系式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．五．一次函数与一元一次方程17．利用函数图象解下列方程（1）0.5x﹣3＝1（2）3x﹣2＝x+4【思路导引】把0.5x﹣3＝1变化为y＝画出函数y＝的图象，求得函数和x轴的交点．18．用函数图象求解下列方程．①2x﹣3＝x﹣2；②x+3＝2x+1．六．根据实际问题列一次函数关系式19．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB＝xcm，BC＝ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．20．已知等腰三角形的周长是18cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数，试求函数的关系式，并写出自变量的取值范围．21．一辆汽车以50千米/小时的速度，从相距150千米的甲城市开往乙城市．（1）求汽车与乙城市的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数解析式，写出自变量的取值范围．（2）判断y是x的什么函数．【过关检测】一、单选题1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）已知一次函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）一次函数的一次项系数和常数项的值分别为（）A．1， B．1，1 C．，1 D．，3．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）函数的图象经过的象限是（

）A．第一三象限 B．第一二象限 C．第二三象限 D．第二四象限4．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）若点在函数的图象上，则的值是(

)A． B． C． D．5．（2023春·北京·八年级校考期中）注射器的出现是医疗用具领域一次划时代的革命．用针头抽取、注入气体或液体的这个过程叫作注射．如图，现要利用注射器将一定量的液体药剂进行人体注射，并同时开始计时．若在注射过程中不考虑其他干扰，保持注射速度不变.注射结束之前，注射器内液体药剂的高度，注入人体的药剂量随对应的注水时间的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，正比例函数关系 B．正比例函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，正比例函数关系6．（2020秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区龙城初级中学校考阶段练习）下列函数中，y是x的一次函数的是（

）A． B． C． D．7．（2023春·全国·八年级专题练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A． B．C． D．8．（2022春·八年级单元测试）一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（

）A．. B． C． D．9．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）下列各点不在直线上的是（

）A． B． C． D．10．（2023春·湖北孝感·八年级统考期末）若函数是正比例函数，则（

）A．3 B．2 C．1 D．二、填空题11．（2020秋·广东深圳·八年级深圳市龙岗区龙城初级中学校考阶段练习）已知是一次函数，则________.12．（2023春·上海静安·八年级统考期末）判断点是否在函数的图像上．______（填“是”或“否”）13．（2023春·山西大同·八年级统考阶段练习）已知与成正比例，当时，，求y与x的函数关系式___________．14．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）若，是一次函数的图象上的两个点，则与的大小关系是___________．（填“”，“”或“”）15．（2023春·上海普陀·八年级校考阶段练习）已知一次函数，则__________．16．（2023春·四川德阳·八年级统考期末）已知点在直线上，则的值为_____．17．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）对于函数，自变量x取2时，对应的函数值为______．18．（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）一次函数（m为常数），当时，在x的取值范围内有且仅有三个负整数，则m的取值范围是___________．三、解答题19．（2023春·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考期中）已知关于的函数．(1)若该函数是正比例函数，求的值；(2)若点在函数图像上，求的值．20．（2023春·河北邢台·八年级校考阶段练习）已知一次函数．(1)当时，求x．(2)当时，求x的取值范围．21．（2023春·八年级单元测试）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．原料成本（元/件）生产提成（元/件）销售单价（元/件）“冰墩墩”32545“雪容融”28640(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？22．（2023春·八年级课时练习）下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．23．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）已知一次函数．(1)当时，求的值；(2)当时，求的值；(3)判断点是否在直线上．24．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）已知关于x的函数