第07讲 立方根（解析版）

第07讲立方根一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.例1．的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【答案】B【解析】根据立方根的定义求解即可．解：∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了立方根的定义，题目比较简单．例2．下列计算正确的是()A． B． C． D．【答案】C【解析】各选项利用立方根和算术平方根的定义计算得到结果，即可作出判断．解：A、原式＝2，错误；B、原式＝，错误；C、原式＝，正确；D、原式＝，错误，故选C．【点睛】此题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．例3．一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在()A．4cm～5cm之间 B．5cm～6cm之间C．6cm～7cm之间 D．7cm～8cm之间【答案】A【解析】可以利用方程先求正方体的棱长，然后再估算棱长的近似值即可解决问题．解：设正方体的棱长为x，由题意可知x3=100，解得x=，由于43＜100＜53，所以4＜＜5．故选A．此题是考查估算无理数的大小在实际生活中的应用，“夹逼法”估算方根的近似值在实际生活中有着广泛的应用，我们应熟练掌握．例4．下列说法中，正确的是()A．等于15B．-11的立方根可表示为C．负数没有立方根D．任何一个正数都有两个立方根，它们互为相反数【答案】B【解析】根据立方根的定义与性质解题即可．A.因为2＜＜3，所以不等于15，故选项A是错误的；B、-11的立方根可表示为，故本选项正确；C、负数有立方根，如-8的立方根是-2，故本选项错误；D、正数、零、负数都有唯一一个立方根，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了立方根的定义与性质，解题的关键是牢记定义和性质，此题比较简单，易于掌握．例5．的立方根是（）A．8 B．-8 C．2 D．-2【答案】D【解析】先化简，然后再计算立方根即可.解：∵，∴；故选择：D.【点睛】本题考查了立方根的定义，解题的关键是正确化简.例6．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是()A．0 B． C． D．【答案】A【解析】分别求出0、1、-1的平方根和立方根，再判断即可．∵0的平方根是0，0的立方根是0，1的平方根是±1，1的立方根是1，-1没有平方根，-1的立方根是-1，∴如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是0，故选：A．【点睛】本题考查了平方根和立方根定义的应用，注意：a的立方根是，a（a≥0）的平方根是±．例7．下列说法中，正确的个数是()①512的立方根是8，记做；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④的平方根是±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意根据立方根和平方根以及算术平方根的性质对各个说法逐一进行判断即可得出答案．解：①512的立方根是8，记做，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4；④的平方根是±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B．【点睛】本题考查立方根和平方根以及算术平方根，熟练掌握立方根和平方根以及算术平方根的性质是解题的关键．例8．已知甲、乙两个立方体,甲的体积是乙体积的8倍,则甲的棱长是乙的棱长的()A．8倍 B．2倍 C．512倍 D．倍【答案】B【解析】根据开立方，可得答案．解：设乙的体积为x,则甲的体积为8x,甲的棱长为,乙的棱长为,所以甲的棱长是乙的棱长的2倍.故选：B．【点睛】本题考查立方根，熟练掌握开方运算是解题关键．例9．下列等式不一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的性质，立方根的性质逐一判断选项即可．解：A.，一定成立，不符合题意，B.，故原等式不一定成立，符合题意，C.，一定成立，不符合题意，D.，一定成立，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，立方根的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．例10．如果一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（

）A．0 B．正数 C．0和1 D．1【答案】A【解析】【分析】根据立方根和平方根的性质可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解决问题．0的立方根和它的平方根相等都是0；1的立方根是1，平方根是，一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是0．故选：A.【点睛】本题考查立方根；平方根，掌握立方根和平方根的定义是关键.例11．若与互为相反数，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案．解：∵与是相反数，∴==∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即，故选A．【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．例12．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，是e的平方根，则________．【答案】0【解析】【分析】直接利用倒数、相反数、平方根的定义分析得出答案．解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，是e的平方根，∴ab＝1，c＋d＝0，e＝1，则．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确求解各数是解题关键．例13．；；；；；______，_______．【答案】

5.848，

12.60【解析】【分析】根据被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位，据此可得答案．解：∵，∴；∵，∴，故答案为：5.848，12.60．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位．一、单选题1．的立方根是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据立方根的定义进行计算即可．解：因为（-3）3=-27，所以-27的立方根是-3，故选：B．【点睛】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．2．下列说法正确的是（

）A．1的立方根是它本身 B．4的平方根是2C．9的立方根是3 D．0没有算术平方根【答案】A【解析】【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．解：A、1的立方根是它本身，故此选项符合题意；B、4的平方根是，故此选项不符合题意；C、9的立方根是，故此选项不符合题意；D、0的算术平方根是0，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义．3．使有意义的字母x的取值范围（

）．A． B． C． D．全体实数【答案】D【解析】【分析】根据立方根有意义的条件直接判断即可．解：使有意义的字母x的取值范围是全体实数，故选：D．【点睛】本题考查了立方根有意义的条件，解题关键是明确所有实数都能开立方．4．体积是6的正方体，它的棱长是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据正方体的体积公式，结合立方根的定义，求解即可．解：∵体积是6的正方体，∴它的棱长是：，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方体的体积公式，立方根的运算，熟练掌握正方体的体积公式，是解题的关键．5．下列说法正确的是（

）A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根C．任何数的立方根都只有一个D．负数没有立方根【答案】C【解析】【分析】根据立方根的定义和性质解答即可．解：A、如果一个数的立方根等于这个数本身，那么这个数是-1、0、1，此说法错误，不符合题意；B、负数有立方根，没有平方根，此说法错误，不符合题意；C、任何数的立方根都只有一个，此说法正确，符合题意；D、负数的立方根是一个负数，此说法错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义和性质是解题的关键．6．已知一个数x的两个平方根是3a＋2和2－5a，则数x的立方根是（

）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】A【解析】【分析】首先根据平方根的性质，可得：3a+2+2-5a=0，据此求出a的值是多少；然后求出3a+2的值，进而求出x的值，进而求出x的立方根．解：∵一个数x的两个平方根是3a+2和2-5a，∴3a+2+2-5a=0，解得：a=2，则x=（3×2+2）2=64，∴64的立方根是4．故选：A．【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．7．若，则与的关系一定是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据立方根的性质求解即可得．解：∵，∴∴，即，故选：C．【点睛】本题主要考查了立方根的性质，理解立方根的相关性质是解题关键．8．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故选：A．【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．9．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（

）A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm【答案】D【解析】【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．解：∵每个小立方体的体积为216cm3，∴小立方体的棱长，由三视图可知，最高处有四个小立方体，∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，故选D．【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．10．一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（）A．16的4次方根是2B．32的5次方根是±2C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为偶数时，2的n次方根有n个【答案】C【解析】【分析】根据新定义的意义计算判断即可．解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．二、填空题11．125的立方根为___________；的立方根为___________；的立方根为___________；的立方根为___________；的立方根是___________；的立方根是___________．【答案】

5，

，

，

，

2，

4【解析】【分析】根据立方根定义即可求解．∵125=53，∴125的立方根为5；∵∴的立方根为；∵∴的立方根为；∵-4=∴的立方根为；∵=8=23∴的立方根是2；∵∴的立方根是4．故答案为5；；；；2；4．【点睛】本题考查立方根的定义，掌握立方根定义是解题关键．12．比较大小：______．【答案】＜【解析】【分析】先化简，再根据，得出答案．解：∵，∵，∴，故答案为：<．【点睛】本题考查立方根，比较朋理数大小，熟练掌握求一个数的立方根和比较有理数大小法则是解题的关键．13．，_______．【答案】-2【解析】【分析】根据求立方根的定义求解即可．解：∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查了立方根的定义，掌握定义是解题的关键．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．14．若有理数，化简_________．【答案】【解析】【分析】根据算术平方根的性质和化简及立方根的意义进行化简，最后合并同类项计算即可．解：∵，∴．故答案为．【点睛】本题考查算术平方根的化简及求一个数的立方根，熟练掌握；是本题的解题关键．15．；；；；；______，_______．【答案】

5.848，

12.60【解析】【分析】根据被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位，据此可得答案．解：∵，∴；∵，∴，故答案为：5.848，12.60．【点睛】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右每移3位，立方根的小数点向右移1位．16．若a、b为实数．且在数轴上的位置如图所示，且，化简的值为______．【答案】【解析】【分析】根据数轴可判断a与b的符号，再结合已知可确定a+b的符号，再根据绝对值的计算、算术平方根的性质：、立方根的性质，即可完成化简．由数轴知：∵|a|＞|b|∴=故答案为：【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的性质，绝对值的含义，实数的加法法则，数轴上实数大小的比较等知识，掌握这些知识是解题的关键．17．若立方根等于本身的数的个数为a，平方根等于本身的数的个数为b，算术平方根等于本身的数的个数为c，倒数等于本身的数的个数为d，则________．【答案】8【解析】【分析】根据“立方根等于本身的数的个数为a，平方根等于本身的数的个数为b，算术平方根等于本身的数的个数为c，倒数等于本身的数的个数为d”可求a，b，c，d，从而可求答案.立方根等于本身的数的个数为3，故；平方根等于本身的数的个数为1，故；算术平方根等于本身的数的个数为2，故；倒数等于本身的数的个数为2，故.把这些数值代入得故答案为8.【点睛】本题是一道综合题，考查了立方根，平方根，算术平方根等知识，熟知这些知识的性质是解题的关键.18．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，如图那样叠放在一起，这个物体的最高点A离地面的距离是________．【答案】7【解析】【分析】根据正方体的体积可求出各自的边长，从而可求出答案.因为，所以答案为7.【点睛】本题考查的是立方根的实际应用，熟知正方体的体积公式是解题的关键.三、解答题19．求下列各式中x的值．（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】移项后直接开方即可求解．解：（1）移项得，∴，∴；（2）移项得，∴，∴．【点睛】本题考查了立方根，解题关键在于掌握运算法则．20．求下列各数的立方根：（1）－2；（2）0.512；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）0.8；（3）；（4）【解析】【分析】根据立方根的定义，求一个数的立方根即可．（1）－2的立方根是；（2）0.512的立方根是；（3）的立方根是；（4）的立方根是【点睛】本题考查了求一个数的立方根，立方根的定义是解题的关键．21．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）10；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】直接利用立方根的性质计算得出答案即可．解：（1）∵，∴；（2）∵，∴；（3）∵，∴；（4）∵，∴．【点睛】此题主要考查了立方根的性质，正确把握立方根的性质是解题关键，注意：任何数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．22．已知a是一64的立方根，b的算术平方根为2.(1)写出a，b的值;(2)求3b一a的平方根，【答案】(1)a=-4,b=4;(2)±4.【解析】【分析】(1)根据立方根、算术平方根的定义即可解答.(2)把a、b的值带入求值.解（1）因为a是一64的立方根，b的算术平方根为2，所以a=-4，b=4（2）因为a=-4，b=4，所以3b-3=16，所以3a-3b的平方根为士4．【点睛】本题考查立方根、平方根和代数式求值，熟知平方根，立方根和算术平方根的定义和性质是关键.23．已知：的平方根为，的立方根为3，求：的平方根．【答案】±10【解析】【分析】利用平方根与立方根定义求出x与y的值，然后代入求值即可．由已知x−2的平方根为±2，2x+y+7的立方根为3，∴x-2=4，x=6，∴2x+y+7=27，y=8，∴x2+y2=62+82=100．∴x2+y2的平方根是10和-10【点睛】本题考查代数式求知问题，关键掌握平方根与立方根定义与性质，会用定义联合组成方程组，会求代数式的值．24．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为原来的27倍呢？倍呢？【答案】2倍，3倍，倍【解析】【分析】根据正方体的体积和棱长的关系以及立方根的定义可得答案．解：设原正方体的棱长为，则体积为，当其体积扩大到原来的8倍时，体积为，此时棱长为，比原来扩大了2倍，当其体积扩大到原来的27倍时，体积为，此时棱长为，比原来扩大了3倍，当其体积扩大到原来的倍时，体积为，此时棱长为，比原来扩大了倍．【点睛】本题考查了立方根的定义及正方体体积与棱长之间的关系，熟练掌握立方根的定义是正确解答的关键．25．已知是的算术平方根，是的立方根试求的值．【答案】2．【解析】【分析】根据题意列出方程求出的值，即可求出,结果可求．解：因为是的算术平方根，是的立方根，所以可得：，解得，把代入得，所以可得，此时．【点睛】本题考查了算数平方根和立方根，根据题意列出方程求出的值是解题的关键．26．一个长方体的长、宽、高分别是，把它锻造成一个正方体，求这个正方体的棱长．【答案】．【解析】【分析】先求出长方体的体积，即可得到正方体的体积，再由正方体的边长是其面积的立方根求解即可．解：长方体的体积，∴锻造成的正方体的体积是，∴正方体的棱长是．【点睛】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．27．若和互为相反数，求的值．【答案】【解析】【分析】根据两个数的立方根互为相反数得出：2a－1=3b－1，推出2a=3b，即可得出答案．∵和互为相反数，∴+＝0，∴2a－1+1－3b＝0，∴2a－1＝3b－1，2a＝3b，∴=．【点睛】本题考查了立方根和相反数的概念，关键是由两个数的立方根互为相反数得出两个数互为相反数．28．一个正方体盒子棱长为6cm，现在要做一个体积比原来正方体体积大127cm3的新正方体盒子，求新盒子的棱长．【答案】新盒子的棱长是7cm.【解析】试题分析：由新正方体盒子的体积比原来正方体盒子的体积大127cm3，可得新正方体盒子的体积是63+127=343(cm3)，棱长即为体积的立方根.解：新盒子的体积为63+127=343(cm3)，所以新盒子的棱长为．答：新盒子的棱长是7cm.29．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，再把这些小正方体排列成一个如图所示的长方体，求这个长方体的表面积．【答案】175cm2【解析】【分析】根据开方运算，可得大正方体的棱长，根据分割成8个小正方体，可得小正方体的棱长，根据小正方体的组合，可得长方体的长、宽、高，根据长方体的表面积公式，可得答案．解：大正方体的边长为＝5cm，小正方体的棱长是cm，长方体的长是10cm，宽是cm，高是5cm，长方体的表面积是（10×+10×5+×5）×2＝175cm2．【点睛】此题主要考查长方体的表面积，解题的关键是熟知立方根的定义.30．(1)填表：a0.0000010.0011100010000000.010.1110100(2)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：被开方数扩大_____；(3)根据你发现的规律填空：①已知＝1.442，则＝______，＝______；②已知＝0.07697，则＝______．【答案】(2)被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍；(3)①14.42，0.1442；②7.697.【解析】【分析】（2）由于被开方数的小数点的每移动三位，相应的立方根的小数点的相应移动一位，由此即可解决问题．（3）被开方数每移动3位，立方根就移动1位．利用此规律即可求解．（2）被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．所以：被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍；（3）①14.42，0.1442，②7.697．【点睛】本题考查立方根定义和性