第08讲 认识无理数 估算 用计算器开方（解析版）

第08讲认识无理数估算用计算器开方一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.二、估算：怎样估算无理数(①误差小于1)？(②误差小于0.1)？误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1.估算无理数的方法是： （1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。记忆常用数的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236三、用计算器开方例1．在π、，-、、这几个实数中，无理数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】【分析】无理数是无限不循环小数，根据这一点逐一判断即可．π是无限不循环小书，故是无理数；，故不是无理数；是无限循环小数，故不是无理数；是无限循环小数，故不是无理数；是整数，故不是无理数；∴只有一个无理数，故选A【点睛】本题考查无理数的判断，掌握判断方法是关键．例2．下列实数3…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据无理数的概念求解即可．解：在所列实数中，无理数的是…（相邻两个3之间依次多一个1）这3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．例3．已知下列各数（1），（2），（3）0.777777777

，（4），（5），（6）0.2020020002…（两个2之间依次多1个零），

（7），其中，属于无理数的是：______________________．（填写序号）【答案】（6）（7）##（7）（6）【解析】【分析】根据无理数的定义求解即可．解：由无理数定义可知：（1），不是无理数；（2），不是无理数；（3）0.777777777，不是无理数；（4），不是无理数；（5），不是无理数；（6）0.2020020002…（两个2之间依次多1个零），是无理数；（7），是无理数；故答案为：（6），（7）【点睛】本题考查无理数的定义：无限不循环的小数，解题的关键是理解无理数的定义．例4．最接近下列哪个整数（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】【分析】首先根据9＜11＜16，确定的范围，即可得出答案．因为9＜11＜16，所以，所以在整数0,1,2,4中，更接近4．故选：D．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，确定的范围是解题的关键．例5．如图，点A、B、C、D在数轴上，其中与实数﹣最接近的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解析】【分析】根据无理数的估算即可求解．解：∵，，∴，∴，∴与实数最接近的点是点B，故选：B．【点睛】此题主要考查无理数与数轴，解题的关键熟知无理数的估算方法．例6．估计的值应在（

）A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间【答案】A【解析】【分析】先计算二次根式，再估算即可.原式=，∵在2和3之间，∴在0和1之间，故选.【点睛】本题是对二次根式的考查，熟练二次根式的乘法及估算是解决本题的关键.例7．设的整数部分是a，的整数部分是b，（

）A． B．7 C．6 D．【答案】B【解析】【分析】先估算出，从而求出a、b的值，然后代值计算即可．解：∵，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，与无理数整数部分有关的计算，正确求出a、b的值是解题的关键．例8．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则计算结果为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】A【解析】【分析】根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果．解：由题意可得，−22＝4−4＝0，故选：A．【点睛】本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确二次根式的副功能键是立方根．例9．利用计算器求的值，正确的按键顺序为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“”，再输入被开方数，按键“＝”即可得到结果．解：采用的科学计算器计算，按键顺序正确的是D选项中的顺序．故选：D．【点睛】此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．例10．计算时，在计算器上的按键顺序为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据所给的数在计算器上求解即可．解：∵要求的数为，∴计算器上的按键为，故选D．【点睛】本题主要考查了用计算器计算算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握计算器的功能键．例11．以下正方形的边长是无理数的是（

）A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形C．面积为8的正方形 D．面积为64的正方形【答案】C【解析】【分析】先求出正方形边长，再根据无理数的定义解答即可．解：A、面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B、面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；C、面积为8的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意；D、面积为64的正方形的边长为8，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数或开方不能开尽的数．例12．下列四种叙述中，正确的是（

）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是带根号的数C．无理数是无限小数 D．无限小数是无理数【答案】C【解析】【分析】根据无理数的概念逐个判断即可．无理数：无限不循环小数．解：A．，是有理数，故本选项不合题意；B．是无理数，故本选项不合题意；C．无理数是无限不循环小数，原说法正确，故本选项符合题意；D．无限循环小数是有理数，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．无理数：无限不循环小数．一、单选题1．在实数，，π，0.101000001，，中，无理数有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】无理数是无限不循环小数，根据定义判断即可．是分数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；π是无限不循环小数，属于无理数；0.101000001是有限小数，属于有理数；是整数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；无理数共3个；故选：C．【点睛】本题考查无理数的定义，熟知其定义是解题的关键．2．在中，无理数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据无理数的定义进行判断即可；解：无限不循环小数即无理数；开不出的根式也是无理数；∴无理数有：，；故选：B．【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，值得注意的是也是无理数．3．估计的值在（

）．A．和之间 B．和之间C．和之间 D．和之间【答案】A【解析】【分析】先估算，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．解：故选：A．【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．4．在四个实数，0，，中，最小的实数是（

）A． B．0 C． D．【答案】A【解析】【分析】根据实数比较大小的方法直接求解即可．解：，四个实数，0，，中，最小的实数是，故选：A．【点睛】本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．5．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【解析】【分析】根据无理数、分数的概念判断．解：无限不循环小数是无理数，错误．是有理数，错误．是有理数，错误．也是无理数，不含根号，错误．是一个无理数，不是分数，错误．故选：．【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．6．一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数与之间，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的估计方法求解即可．解：∵正方形的面积是20，∴边长为∵42=16，52=25，∴42<20<52．∴∴n=4．故选：B．【点睛】本题考查估计算术平方根的取值范围，熟练掌握该知识点是解题关键．7．已知的整数部分为a，a+1的平方根为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】的整数部分是3，则的整数部分是4，则a为4，进而得出a+1的平方根.解：∵9＜15＜16，∵的整数部分是3，∴的整数部分是4，∴a=4，∴a+1的平方根为，故选：D．【点睛】本题主要考查无理数的估算，以及求一个数的平方根的运算，难度不大．8．用计算器求的值时，需相继按“3”“”“5”“=”键，若小颖相继按“”“4”“”“3”“=”键，则输出结果是（

）A．6 B．8 C．16 D．48【答案】B【解析】【分析】根据题目可将计算器按键转为算式求解．解：将计算器按键转为算式为：，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是数的开方，将题目中的计算器按键转为算式是解题的关键．9．使用某种电子计算器求+的近似值,其按键顺序正确的是

()A．8+2ndF6=B．8+2ndF6=C．8+6=D．8+6=【答案】A【解析】根据无理数运算中计算器的使用法则可知，是先按，再按8，是先按2ndf键，再按，再按6.故本题正确答案为A.10．用计算器计算，根据你发现的规律，判断与为大于1的整数的值的大小关系为A． B． C． D．与n的取值有关【答案】C【解析】【分析】首先熟悉平方、平方根的按键顺序，然后即可逐一计算已知的一组数，从中找出规律．利用计算可知式子计算结果是1.732，1.414，1.291，1.225，∴结果是逐渐减小，故P＞Q．故选C．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．二、填空题11．在实数3.14，﹣，﹣，0.13241324…，，﹣π，中，无理数的个数是_____．【答案】3【解析】【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判做出判断．解：3.14、﹣＝﹣0.6、0.13241324…、这四个数是有理数，﹣、和﹣π这三个数是无理数，故答案为：3．【点睛】本题主要考查无理数的概念，掌握无理数的概念是解答本题的关键．12．若m,n为相邻的两个正整数，且m＜+1＜n，则m+n=________.【答案】19【解析】【分析】根据，得出，从而得m=9,n=10，即可求出m+n的值.解：即∴∴m=9,n=10∴m+n=19故答案为：19.【点睛】此题考查了估算无理数，得出是解题关键.13．若，且，则x的近似值为______.(精确到0.1)【答案】2.2【解析】【分析】根据x=,求x的近似值.若，且，则x=因为所以x的近似值为2.2(精确到0.1)故答案为2.2【点睛】考核知识点：无理数与近似值.估计无理数的大小是关键.14．已知的小数部分是a，的整数部分是b，则________.【答案】【解析】【分析】求出2＜＜3，根据的范围求出5+和5-的范围，求出a、b的值，代入求出即可．∵，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴．故答案为【点睛】本题考查了估算无理数的性质和二次根式的加减的应用，解此题的关键是求出a、b的值．15．若a，b都是无理数，且ab=1，则a，b的值分别是________.(填一组值即可)【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】由于初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…的数，而本题中a与b的关系为ab＝1，故确定a和b．解：∵ab=1,∴.例如:，则.故答案为.【点睛】本题主要考查了无理数的定义和性质，答案不唯一，解题关键是正确理解无理数的概念和性质．16．大于且小于的所有整数共_______个；写出小于的所有正整数________．【答案】

8；

1，2，3，4【解析】【分析】根据，即可求出答案，再根据即可求出答案；解：∵，∴大于且小于的所有整数有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3共8个；∵∴∴小于的所有正整数有1，2，3，4故答案为：8；1，2，3，4；【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．17．用计算器求的按键顺序是________．【答案】【解析】【分析】一般使用科学型的计算器，切换三次根号时需要用到切换键2ndF．先按2ndF切换三次根号，再输入-13=故答案为：【点睛】此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用．18．用计算器探索：________；________；________；……由此猜想________.【答案】22；333；4444；7777777.【解析】【分析】首先用计算器计算前几个算术平方根的值，然后根据它们的值探究规律．解：∵22；333；4444；∴由此猜想：7777777.故答案为22；333；4444；7777777.【点睛】此题主要考查了利用计算器计算数的开方，解题首.先探究出前几个算术平方根值的规律，是完成猜想的关键，然后利用规律即可解决问题.三、解答题19．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？，，，，．【答案】，，，18是有理数；是无理数．【解析】【分析】有理数包括整数、有限小数、分数、无限循环小数等；无理数是无限不循环小数，据此对每个数进行判断即可．解：有理数包括整数、有限小数、分数、无限循环小数等；无理数是无限不循环小数，由此可得：有理数有：，，，18；无理数有：．【点睛】题目主要考查有理数和无理数的识别，理解有理数和无理数常见的几种类型是解题关键．20．把下列各数分别填在相应的括号内．﹣，0，0.16，，，﹣，，，﹣，﹣3.14有理数：{}；无理数：{}；负实数：{}；正分数：{}．【答案】有理数：﹣，0，0.16，，，﹣3.14；无理数：，﹣，，﹣；负实数：﹣，﹣，﹣，-3.14；正分数：0.16，．【解析】【分析】利用正数，分数，正负数，有理数与无理数的定义判断即可．解：有理数：﹣，0，0.16，，，﹣3.14；无理数：，﹣，，﹣；负实数：﹣，﹣，﹣，-3.14；正分数：0.16，．【点睛】本题考查了有理数与无理数，正数和分数，正负数的定义，正确理解定义是解题的关键．21．把下列各数填入相应的集合内．、π、－、、、、0、－、、0.3737737773…（相邻两个3之间的7逐次加1个），(1)有理数集合{

…

}(2)无理数集合{

…

}(3)负实数集合{

…}【答案】(1)－，，0，(2)，π，，，，0.3737737773(3)－，，【解析】【分析】（1）根据有理数的定义进行判定即可得出答案；（2）根据无理数的定义进行判定即可得出答案；（3）根据负实数的定义进行判定即可得出答案．(1)有理数集合：{－，,0，…}(2)无理数集合：{，π，，，，0.3737737773……}(3)负实数集合：{－，，…}【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键.22．利用计算器求下列各式的值（结果精确到）：（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】利用计算器计算，结果保留五位小数即可．（1）≈；（2）≈；（3）≈≈；（4）≈；（5）≈7.48331+1.6=；（6）≈1.44225-1.41421=．【点睛】本题考查了计算器和近似数，会用计算器求一个数的开方是解题的关键．23．已知的算术平方根是3，的平方根是，是的整数部分，求的平方根．【答案】【解析】【分析】先根据题意已知式子的算数平方根和平方根求出式子的值，继而可求出，，并求出的整数部分，然后把、、的值代入即可得出本题答案．解：根据题意可得，解得；，把代入可得；因为是的整数部分，所以；把，，代入得；故答案为．【点睛】本题主要考查了已知式子的算数平根和平方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识．24．（1）设面积为的正方形的长为，是有理数吗？说说你的理由．（2）估计的值（结果精确到），并用计算器验证你的估计．（3）如果结果精确到呢？【答案】（1）不是有理数，理由见解析；（2），验证见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式可得，再利用平方根解方程可得的值，由此即可得；（2）利用无理数的估算方法即可得，再利用计算器进行验证；（3）根据无理数的估算、精确度的定义即可得．解：（1）由题意得：，解得或（不符题意，舍去），是开方开不尽的数，是无限不循环小