第13讲 一次函数函数的实际应用（解析版）

第十三讲一次函数的实际应用知识导航知识导航必备知识点一、最优解问题1、根据实际情景确立数学模型2、列出一次函数表达式3、确定自变的取值范围4、根据一次函数的单调性在比变量取值范围内确定最优解二、最佳方案选择1、根据实际情景确立数学模型2、列出各方案的数学表达式3、求出两函数图像的交点4、根据实际情况确定最佳方案考点一一次函数的实际应用1．在2019年全国青少年信息学联赛中，巴蜀中学创历史新高，有69人获得“全国信息学联赛一等奖”，充分展现了巴蜀人探索求知的精神，实力冠绝重庆．学校想借此提升信息课的教学质量，准备更换一批硬件设备，包括电脑主机，显示器和鼠标．其中学校通过招标拟采购两种类型的鼠标，分别为无线鼠标和有线鼠标．根据计划的采购清单，采购12个无线鼠标和16个有线鼠标共花费972元，采购25个无线鼠标比采购8个有线鼠标多花费909元．（1）求采购的无线鼠标和有线鼠标单价各为多少？（2）学校本次计划拟采购两种鼠标一共420个，若采购的无线鼠标数量不少于有线鼠标的数量，用W（单位：元）表示本次计划采购的总费用，请求出W的最小值．【解答】解：（1）设采购的无线鼠标的单价为x元，采购的有线鼠标的单价为y元，由题意得，解得，答：采购的无线鼠标的单价为45元，采购的有线鼠标的单价为27元；（2）设采购的无线鼠标有a个，则采购的有线鼠标有（420﹣a）个，由题意得a≥420﹣a，∴a≥210，∵W＝45a+27（420﹣a）＝18a+11340，18＞0，∴当a＝210时，W的值最小，W的最小值为15120元．答：W的最小值为15120元．2．某商场新进一批A，B两种型号的节能防近视台灯，每台进价分别为200元、170元，近两周的销售情况如表．销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台2100元第二周4台10台3600元（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）（1）求A，B两种型号的台灯的销售单价；（2）若该商场准备用不多于7250元的金额再购进这两种型号的台灯共40台，求A种型号的台灯最多能购进多少台？（3）在（2）的条件下，能否求出该商场销售完这40台台灯所获得的最大利润，若能，求出最大利润；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）设A、B两种型号的台灯的销售价分别为x、y元，则：，解得：，答：A、B两种型号台灯的销售介分别为300元和240元．（2）设采购A种型号台灯a台，则采购B种型号的台灯扇（40﹣a）台，则200a+170（40﹣a）≤7250，解得：a≤15，答：最多采购A种型号的台灯15台．（3）根据题意得：所得利润＝（300﹣200）a+（240﹣170）（40﹣a）＝30a+2800，∵30＞0，∴所得利润随着a的增大而增大，∴最大利润＝15×30+2800＝3250（元）．3．为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：进价（元/斤）售价（元/斤）鲢鱼a6草鱼b销量不超过200斤的部分销量超过200斤的部分98.5已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要140元．（1）求a，b的值；（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；②元旦节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元（m＞0），草鱼售价全部定为8.5元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得：，解得；（2）①由题意得，销售鲢鱼获利y1＝（6﹣4）x＝2x（80≤x≤120），（Ⅰ）当300﹣x≤200时，100≤x≤120，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×（300﹣x）＝﹣3x+900；∴当100≤x≤120时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣3x+900）＝﹣x+900，（Ⅱ）当300﹣x＞200时，80≤x＜100，销售草鱼获利y2＝（9﹣6）×200+（8.5﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣2.5x+850；∴当80≤x＜100时，每天销售获利y＝y1+y2＝2x+（﹣2.5x+850）＝﹣0.5x+850，综上所述，y＝；②设销售获利W元，由题意得：W＝（6﹣m﹣4）x+（8.5﹣6）×（300﹣x）＝（﹣0.5﹣m）x+750，其中80≤x≤120，∵当﹣0.5﹣m≥0时，W＝（﹣0.5﹣m）x+750≥750，不合题意，∴﹣0.5﹣m＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝120时，W的值最小，由题意得：（﹣0.5﹣m）×120+750＝630，解得m＝0.5，∴m的值为0.5．4．随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视，某APP顺势推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“A课程”、“B课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“A课程”3课时与“B课程”5课时共需付款410元，购买“A课程”5课时与“B课程”3课时共需付款470元．（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“B课程”1课时多少元？（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“B课程”1课时获利20元，临近春节，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课时，请问购买“A课程”多少课时才使得APP的获利最高？【解答】解：（1）设购买“A课程”1课时x元，购买“B课程”1课时y元．依题意，得：，解得：，答：购买“A课程”1课时70元，购买“B课程”1课时40元．（2）设购买“A课程”a课时，则购买“B课程”(60﹣x)课时．依题意，得：，解得：20≤a≤40，设利润为w，w＝25a+20（60﹣a）＝5a+1200，5＞0，w随着a的增大而增大，故当a＝40时，w最大．答：购买“A课程”40课时才使得APP的获利最高．5．我国大部分地区已进入森林草原春季防火期，某校为加强学生的防火意识，开展了以“防火常识进校园，自防自救保安全”为主题的防火知识竞赛活动．王老师要为活动购买一些笔记本作为奖品，经了解，现有甲、乙两个文具店出售相同的笔记本，甲店该种笔记本的价格是6元/本，乙店为了吸引顾客制定如下方案：若一次性购买该种笔记本不超过20本时，价格为7元/本；一次性购买数量超过20本时，则超出部分的价格为5元/本．设王老师在同一文具店一次性购买x本笔记本，在甲店购买需花费y1元，在乙店购买需花费y2元．（1）分别求y1、y2关于x的函数关系式；（2）若王老师要购买35本笔记本，请你通过计算说明在哪个店购买更省钱？【解答】解：（1）由题意，得y1＝6x，当0＜x≤20时，y2＝7x，当x＞20时，y2＝20×7+（x﹣20）×5＝5x+40，∴y2＝；（2）当x＝35时，y1＝6×35＝210（元），y2＝5×35+40＝215（元），210＜215，所以在甲店购买更省钱．6．某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：运力（箱/辆）租金（元/辆）大货车45400小货车35320（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【解答】解：（1）由题意可得，y＝400x