北师大版六年级数学上册第六单元《比的认识》第7课时练习五（教案）

北师大版六年级数学上册第六单元《比的认识》第7课时练习五（教案）一、教学内容分析【基础】本课时是北师大版小学数学六年级上册第六单元《比的认识》的练习课，对应教材第7677页“练习五”的内容。本单元属于“数与代数”领域，是在学生已经掌握了除法的意义、分数的意义及分数与除法的关系的基础上进行教学的。比在数学中是一个重要的概念，它既是前面所学知识的延伸与拓展，又是后续学习比例、百分数等相关知识的基础，在数学知识体系中起着承上启下的关键作用1。【重要】“练习五”作为单元收官之作，其编排意图绝非简单的重复演练，而是通过系统化、层次化的习题配置，帮助学生完成对本单元核心概念的深度内化、对易混易错点的精准辨析以及对实际应用能力的有效提升。具体涵盖的知识点包括：比的意义（两个数相除的关系）、比的读写法及各部分名称、比与除法及分数之间的内在联系与区别、比的基本性质（前项与后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变）、求比值与化简比的方法及其对比分析，以及按比例分配问题的两种基本解题策略（份数法和分数乘法法）1。【难点】从单元整体视角审视，本课时的难点在于引导学生透过纷繁的题型，把握知识之间的逻辑关联，构建系统化的认知结构。例如，比的基本性质可以看作是除法中商不变的规律和分数基本性质的另一种表现形式；求比值的结果是一个数（整数、小数或分数），而化简比的结果仍是一个比，二者表征着不同的数学意义。帮助学生打通这些“隔断墙”，是本节课教学设计的重要着力点。二、学情分析【基础】经过本单元的新课学习，六年级学生已经初步建立了比的概念，能够根据具体情境写出两个数的比，掌握了求比值和化简比的基本方法，并能解决一些简单的按比例分配问题。然而，学生的认知往往停留在零散的、点状的层面，缺乏对知识内在联系的深刻理解，容易混淆求比值和化简比的操作流程与结果表征，在解决稍复杂的实际问题时，灵活选择策略的能力尚显不足1。【重要】六年级学生已具备一定的抽象逻辑思维能力，能够进行简单的归纳和类比。他们乐于接受挑战性的任务，对具有现实背景的数学问题更感兴趣。同时，学生之间的认知差异逐渐显现，部分学生能够迅速抓住问题的本质，而部分学生仍需借助直观模型或具体情境来理解抽象的比的概念。因此，本节课的设计需兼顾不同层次学生的需求，既要有基础性的巩固练习，也要有拓展性的探究问题，并充分发挥合作交流的作用，让学生在互动中互相启发、共同提升。三、教学目标【基础】1.知识与技能：进一步理解比的意义及其与除法、分数之间的关系；熟练掌握求比值和化简比的方法，能正确区分二者的异同；能灵活运用按比例分配的知识解决生活中的实际问题，包括连续比和稍复杂的变式问题。【重要】2.过程与方法：通过独立练习、小组交流和全班分享，经历知识整理与查漏补缺的过程，学会用思维导图等工具建构知识网络；在辨析、对比、归纳中，提升分析、综合和灵活解决问题的能力，体会模型思想与变中有恒的数学思想1。【核心】3.情感态度与价值观：在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的广泛联系，体验数学的应用价值；培养认真审题、细心计算、自觉检验的良好学习习惯；通过合作学习，增强团队协作意识和表达交流能力。四、教学重难点【重点】1.教学重点：对比的意义、比的基本性质、求比值和化简比进行系统复习与巩固；能正确分析数量关系，解答不同类型的按比例分配问题1。【难点】2.教学难点：厘清比与除法、分数的联系与区别，能根据问题情境灵活选择解题策略；在复杂情境中正确寻找比与比的关联，解决如连比、差额等分等问题。五、教学方法与准备1.教学方法：主要采用“练—评—议—结”相结合的练习课教学模式，融合任务驱动法、合作学习法和比较归纳法。以核心问题串引领学生深入思考，以典型错例为资源组织辨析交流，以思维导图为工具促进知识结构化。2.教学准备：教师准备多媒体课件（包含分层习题、错例分析、拓展延伸材料）、矩形演示图；学生准备课本、练习本、尺子、圆规，以及课前初步尝试整理的单元知识思维导图草稿。六、教学实施过程（核心环节）【教学过程总起】本课时的教学将遵循“梳理导入—分层精练—拓展提升—反思总结”的逻辑路径展开，总用时40分钟。其中，“分层精练”环节将占25分钟左右，通过基础性、辨析性、应用性三个层次的练习，逐一突破重难点，确保学生的基础技能得以夯实，综合能力得以提升。（一）回顾梳理，构建网络（5分钟）1.展示思维，激活经验上课伊始，教师用亲切的语言引入：“同学们，第六单元《比的认识》的学习即将结束。课前，大家尝试用自己的方式整理了本单元的知识，谁来展示一下你的成果？”随即邀请两三位学生上台展示并简要介绍自己的思维导图或知识树。学生的整理可能形式多样，有的可能按“意义—性质—应用”三大块展开，有的可能更关注“比与分数、除法的关系”，教师应给予积极的鼓励和个性化的点评。2.聚焦核心，提炼主线在学生初步展示的基础上，教师顺势引导：“大家整理得都很用心！通过刚才的分享，你们觉得本单元最核心的知识点是什么？它们之间又有着怎样的联系呢？”引导学生聚焦到三个核心概念：比的意义、比的基本性质、比的应用。教师相机在黑板中央板书课题“练习五”，并围绕课题以网络图的形式勾勒出本单元的知识框架：1.3.比的意义：两数相除，又叫两个数的比。2.4.基本性质：前项与后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。3.5.比的应用：按比例分配。6.勾连旧知，点明关联教师用彩色粉笔在“比的意义”旁连线“除法”、“分数”，并引导学生齐说三者之间的关系（字母表示：a∶b＝a÷b＝a/b，b≠0）。强调：“比、除法、分数犹如三胞胎，它们同根同源，但又各有其独特的‘性格’和‘外貌’。今天的练习，就是要让我们和这‘三胞胎’成为真正的朋友，能准确辨认它们，并灵活运用。”此环节意在激活学生已有的知识储备，明确本节课的学习起点和方向，用时约5分钟。（二）分层精练，突破难点（25分钟）【基础练习——立足双基，全员达标】（8分钟）1.求比值与化简比的对比练习教师出示一组题，要求学生先独立完成在练习本上，并标注出哪些是求比值，哪些是化简比。（1）化简比：25∶352.7∶0.361/4∶3/8（2）求比值：25∶352.7∶0.361/4∶3/8学生完成后，教师组织同桌互评，并挑选有代表性的答案通过投影仪展示。重点围绕以下问题展开讨论：1.2.化简比的依据是什么？（比的基本性质）你是怎么操作的？（整数比除以最大公因数；小数比先化成整数比；分数比乘分母的最小公倍数）12.3.求比值的依据是什么？（比的意义，前项除以后项）结果可以是什么形式？（整数、小数、分数均可）3.4.同样是25∶35，为什么第一题答案是5∶7，第二题答案是5/7？这两个结果的意义一样吗？（不一样，5∶7是一个比，表示两数关系；5/7是一个数，表示比值。）【重要】教师顺势总结归纳求比值与化简比的联系与区别，并以表格形式呈现（此处用文字描述表格内容，实际教学中可板书）：1.5.联系：二者都可以依据比与除法的关系进行计算。2.6.区别：1.3.7.目的不同：化简比是为了得到一个最简单的整数比；求比值是为了得到一个数值。2.4.8.方法不同：化简比通常运用比的基本性质；求比值直接用前项除以后项。3.5.9.结果不同：化简比的结果必须是一个比（即使写成分数形式，也应理解为比的形式）；求比值的结果是一个数。10.基础填空，查漏补缺出示一组填空题，要求学生快速口答，并说明理由。1.11.①8∶（）＝0.25＝（）/12＝4÷（）12.12.②把10克糖溶解在90克水中，糖与糖水的质量比是（），比值是（）。3.13.③大正方形边长6cm，小正方形边长4cm，大、小正方形的周长比是（），面积比是（）。针对第①题，引导学生回顾比、分数、除法、小数之间的互化方法。针对第②题，【高频考点】提醒学生注意“糖水”是糖与水的和，避免出现糖∶水的错误。针对第③题，引导学生发现：边长比＝周长比，而面积比是边长平方的比，渗透“比”在不同维度中的变化规律。【辨析练习——聚焦易错，深化理解】（7分钟）1.判断与选择，厘清概念教师依次出示几道判断题和选择题，要求学生用手势判断（对√，错×），并随机请学生说明判断依据。1.2.（1）一场足球赛的比分是3∶0，所以比的后项可以为0。（×）【难点】引导学生辨析：数学中的“比”表示的是两个量之间的倍比关系，是一种除法关系，后项不能为0；而比赛中的“比”记录的是得分情况，是一种差比关系，含义截然不同。2.3.（2）甲数与乙数的比是5∶4，则乙数比甲数少1/5。（×）引导学生分析：甲数5份，乙数4份，乙数比甲数少1份，少的这一份是相对于甲数（5份）而言的，所以少1/5是正确的？不，这里需要小心。再次追问：如果换成“乙数比甲数少（）%”？学生会发现，少1份，占甲数的1/5＝20%，因此这个判断题本身是正确的。教师借此强调“单位1”的转化在比中的应用。3.4.（3）一个三角形三个内角的度数比是2∶3∶5，这个三角形是直角三角形。（√）【高频考点】引导学生用按比例分配的方法求出最大角：180°×5/（2+3+5）＝180°×5/10＝90°，从而判断为直角三角形1。5.错例分析，警示防范教师投影展示几份学生课前练习或预设中的典型错例，让学生当“小老师”进行批改。1.6.错例1：化简比1.2∶0.4＝3∶1？有学生可能错误地化简为12∶4。引导学生分析：应该先将1.2和0.4同时乘10，得到12∶4，再除以4得3∶1。强调化简比必须化成最简单的整数比，即前项和后项要互质。2.7.错例2：求比值3/4∶1/2＝3/4÷1/2＝3/4×2＝3/2，有学生可能将结果写成3∶2。引导学生辨析：3/2是比值，是一个数；3∶2是化简比的结果，是一个比。二者形式不同，意义不同。【应用练习——解决问题，提升能力】（10分钟）1.经典按比例分配——份数法与分数法对比出示例题：“学校把栽210棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班。一班有46人，二班有44人，三班有48人。三个班各应栽树多少棵？”1学生独立完成，教师巡视，收集两种典型的解题方法。1.2.方法一（份数法）：总份数46+44+48＝138（份），每份数210÷138≈1.52（棵），再分别乘各班份数。2.3.方法二（分数法）：总人数138人，一班占总数的46/138＝23/69，用210×46/138计算。组织学生对比两种方法，【重要】总结出按比例分配问题的结构特征：已知总量和几个部分量的比，求各部分量。解题关键是先求出总份数，再找到各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘对应的几分之几。强调用分数法计算更简洁、精确。4.变式练习——连续比问题出示例题：“已知甲∶乙＝3∶4，乙∶丙＝3∶2，那么甲、乙、丙三个数的连比是多少？”1此题为【难点】，先让学生独立思考，尝试解决。大多数学生可能不知从何下手。教师引导：1.5.两个比中都有谁？（乙）2.6.乙在第一个比中是4份，在第二个比中是3份，份数不一样，能直接连起来吗？（不能）3.7.怎么办？（利用比的基本性质，把乙变成相同的份数。）引导学生找到4和3的最小公倍数12，于是：甲∶乙＝3∶4＝9∶12乙∶丙＝3∶2＝12∶8所以，甲∶乙∶丙＝9∶12∶8。接着追问：“如果已知甲、乙、丙三数的和是87，你能求出这三个数分别是多少吗？”引导学生将连续比转化为按比例分配问题，进一步巩固知识间的联系。8.拓展延伸——比的应用出示情境：“人的上身长与下身长之比约为0.618∶1时，视觉效果最美，这个比被称为比。张阿姨上身长约60cm，下身长约92cm，她要穿大约多少厘米高的高跟鞋，才能达到比的美感效果？”1这个问题极具挑战性和趣味性。教师引导学生分析：1.9.穿上高跟鞋后，改变的是下身长度（增加鞋跟高度），上身长度不变。2.10.比例：上身∶下身＝0.618∶1，即上身/下身＝0.618。3.11.设鞋跟高度为x厘米，则可列方程：60/(92+x)＝0.618。4.12.解方程：92+x＝60÷0.618≈97.09，x≈97.0992≈5.09（厘米）。教师也可以引导学生用份数法思考：上身占0.618份，下身占1份，根据上身长度60cm，求出1份代表多少：60÷0.618≈97.09cm，再减去原下身长度。通过此题，让学生感受数学与生活的美妙联系，体会数学的文化价值。（三）拓展提升，思维进阶（5分钟）1.开放性问题，培养创新意识出示例题：“用48厘米长的铁丝焊接成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1。这个长方体的体积是多少？”1此题需提醒学生注意：48厘米是棱长总和，而长、宽、高的比是指一组长、宽、高的比。因此，应先求出一组长宽高的和：48÷4＝12（厘米）。然后再按比例分配：总份数：3+2+1＝6（份）每份：12÷6＝2（厘米）长：2×3＝6（厘米）宽：2×2＝4（厘米）高：2×1＝2（厘米）体积：6×4×2＝48（立方厘米）。通过此题，培养学生认真审题的习惯，避免形成思维定式。2.跨学科融合——调配问题出示情境：“甲、乙、丙三位同学调制蜂蜜水。甲用25毫升蜂蜜和125毫升水；乙用2小杯蜂蜜和8小杯水；丙用的水是蜂蜜的6倍。谁调制的蜂蜜水最甜？”1引导学生转化为比的问题：甲：蜂蜜∶水＝25∶125＝1∶5乙：蜂蜜∶水＝2∶8＝1∶4丙：蜂蜜∶水＝1∶6比较比值（蜂蜜占水的几分之几）：1/4＞1/5＞1/6，所以乙调制的蜂蜜水最甜。引导学生总结：比较甜度，实际上是比较蜂蜜与水的比值，比值越大越甜。（四）反思总结，完善认知（3分钟）1.完善思维导图请学生拿出课前绘制的思维导图，结合本节课的练习与收获，对自己的思维导图进行补充、修改和完善。教师巡视，对个别学生进行指导，鼓励学生用不同颜色标注出易错点、重点和新的发现。2.畅谈收获与困惑教师引导学生回顾：“通过今天的练习五，你对‘比’有了哪些新的认识？你觉得自己哪些地方掌握得更好了？还有哪些困惑？”学生可能回答：“我明白了求比值和化简比的区别”“我会用连比解决三个量的关系了”“我还不明白为什么比看起来最美”等等。教师对学生的收获给予肯定，对存在的困惑进行简要梳理，鼓励学生课后继续探究。3.教师总结提升“同学们，比不仅仅是两个数之间的关系，它更是描述世界的一种数学语言。从调配蜂蜜水到设计建筑，从绘制地图到研究摄影构图，比无处不在。希望同学们带着今天的收获和思考，继续在数学的海洋里探索，用数学的眼光去发现更多生活中的美与规律。”七、板书设计练习五——比的认识（知识网络图）比的意义比的基本性质比的应用（两数相除）（前项与后项同时（按比例分配）乘或除以同一个数↓（0除外），↓a∶b＝a÷b＝a/b比值不变）方法1：份数法(b≠0)↓方法2：分数法↓（化简依据）求比值（结果是一个数）↓化简比（结果是一个比）┄┄┄┄┄┄对比辨析┄┄┄┄┄┄易错警示：后项≠0（比赛比分除外）关键步骤：统一单位、找准对应、转化份数八、作业设计1.