专题1.6 正方形的判定-北师大版九年级《数学》上册高效培优讲义

内容概览内容概览知识点01:正方形的判定知识点02:特殊平行四边形之间的关系题型01正方形的判定定理理解题型02添一个条件使四边形是正方形题型03证明四边形是正方形题型04根据正方形的性质与判定求解题型05与正方形有关的作图问题(含无刻度作图)题型06正方形的性质与判定的综合问题教学目标、教学重难点教学目标、教学重难点2.利用判定定理解决相关问题.教学重难点1.重点：掌握正方形的判定方法；2.难点：会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.知识清单知识清单知识点01:正方形的判定1.下列条件不能判定平行四边形ABCD是正方形的是()C.AC⊥BD且AC=BDD.AB=BC且AC=BD【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可.BAB=AD;不能判断平行四边形ABCD是正方形，故选项B符阳平行四边形ABCD,AC⊥BD,故选B.【详解】解：如图，作CE⊥BC,AE⊥CE于E,连接DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.(3)若正方形ABCD的面积为9,且CE=2AE,求正方形DEFG的面积.(3)过E作EM⊥BC于M点，过E作ENI⊥CD于N点，勾股定理求得AC=3√2,根据已知条件得出在_FEM和DEN中，在RtABC中，AC=AE+CE=AC=√2AD,CE=2√2有一个角是直角，且有一组邻边相等是直角平行四边形1.下列说法不正确的是()【答案】【答案】B2.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是()DDDDBB菱形CDBA.(1)处可填∠A=90°B.(C.(3)处可填AD=CBD.(4)处可填∠A=90°(4)在(3)问的基础上，ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?请说明理由.(4)利用正方形的判定可求解.(2)解：(2)解：OE=OF.理由如下2OE=OF.图当点0运动到AC中点时，四边形AECF为矩形.由(3)得当点0运动到AC中点时，四边形AECF为矩形.题型精讲题型精讲【典例1】有以下说法：(1)四条边相等的四边形是正方形；(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；(3)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；(4)两条对角线互相垂直的矩形是正方形.其中说法正确的个数为()A.1B.2【变式2】下列命题成立的是()之间转换的条件，其中填写错误的是()①①②③④故选：D.【答案】【答案】AC=BD(答案不唯一)菱形ABCD是正方形.故答案为：AC=BD(答案不唯一).【变式1】在矩形ABCD中，AB=CD,BC=DA,对角线AC与BD相交于点0,要使得矩形ABCD是正【答案】【答案】AB=BC(答案不唯一)【答案】【答案】AC=BD且AC⊥BD同理EF//AC,2?AB=2√2;2DE//BC,EF//AC,【分析】(1)利用矩形的性质证明四边形AGEC和四边形AFHC是平行四边形，得AG=EC,(2)证明∠BAC=∠ACB=45°,得BA=BC,进而即可求证.BAD//BC,AB//CD,∠BAD=∠B=(2)证明：(2)证明：BEF//AC,【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性熟练掌握以上知识点是解题的关键.【变式3】如图，菱形BDEF的对角线BE,DF交于点A,过点B作BC//DF,过点D作CD//BE,BC,CD交于点C.(1)根据BC//DF,CD//BE,判定四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的性质可得∠BAD=90°,从(2)当∠DEF=90°,可证明四边形∴四边形ABCD是矩形.,DF=BE.由(1)知四边形ABCD是矩形，【答案】D3∠ACG=∠ACT=45°,C在Rt₆ABG中，由勾股定理得AB²=AG²+BG²,即(x+6)²=6²+(x+3)²,【答案】8②【变式2】如图，∠ABC=90°,点D为AB上一定点，BD=3,BC=5,点E为射线DA上一动点，△CBECC【答案】2或12画出图形，过点C作CH⊥DF,证明四边形BCHD是矩形，得出CH=BD=3,DH=BC=5,勾股定理求出HF=4,得出DF=9,设DE=x,则BE=3+x=EF,在RtDEF中根据勾股定理列方程求出DE=x=12,3∠EFC=∠B=90°,BE=EF,CFCCBDE=BE-BD=5-3=2;即9²+x²=(3+x)²,综上，则DE的长为2或12;故答案为：2或12.【答案】(2)过点A作AG⊥DF交FD延长线于点G,先证明四边形ACFG是正方形，得到AG=AC=2,出∠DAE的度数.【详解】解：(1)如图，取BC的中点F,连接DF,(2)过点A作AG⊥DF交FD延长线于点G,则∠G=90°,题型05与正方形有关的作图问题(含无刻度作图)【典例1】如图，在。ABCD中，∠B=45°,AB=2,BC=2√2,E为AD的中点.键.(1)利用尺规过点A作BC的垂线AF即可；(2)利用平行四边形的性质得到AD=BC=2√2,AD//BC,由(1)作图可得∠AFB=∠AFC=90°,结(2)证明(1)中得到的四边形EGFH是正方形.HG【变式2】如图，在正方形ABCD中，以AD为边向上作等腰直角三角形ADE,AE=图1图2(1)连接AC,BD交于的0,作直线OE交AD于点F,根据正方形的性质可得点O在AD的垂直平分线上，【详解】(1)解：如图1,点F即为所作；EB图1(2)解：如图2,点G即为所作；(1)如图1,以A为圆心，适当长度为半径作弧，交BD于点E,F,连接AE,AF,CE,CF.求证：四边形AECF是菱形.(1)连接AC,根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,(2)连接AC,交BD于点0,以点O为圆心，OA为半径画弧，交BD于点M、N,连接AM、CN、AN、AB<D根据作图可知：AE=AF,【典例1】如图1,四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE,BE.图1(2)如图2,过点E作EF⊥DE,交边BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.(2)解：①证明：如图，作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N,图2过点G作GF⊥CB,垂足为F,GH⊥AB,垂足为H,连接DG,交AB于I.(3)由(2)可知IE=EM=EC+CM=EC+AI,则BEI的周长为在△DCE与EFG中，即BF=CE,(2)证明：如图，延长EC到点M,使得CM=AI,连接DM,DHMBB(3)解：由(2)可知△EDM≌EDI,【变式2】如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,点D是FF(3)延长CE到G,使得EG=BF,连接DG,证明DFB≌DEG(SAS)DG=DB,∠EDG=∠FDB,再B∠BAE+∠ABF=180°-∠CAB+180°-∠(2)证明：如图所示，过点D作DH⊥AB于H,F2DF=DB,∠EDF=∠F=∠AED=3∠ADE+∠FDB=∠ADE+∠EDG3∠ADG=45°=∠ADB,2AG=AE+EG,ABDF得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F.连接DE.(1)试判断四边形BEFE'的形状.并说明理由；(2)如图②.若DA=DE.请猜想线段CF与FE的数(3)如图①,若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长.式算DE的长.由(1)知四边形BEFE'是正方形，(3)如图①所示，作DG⊥AE于G,DGACFB2AE=CE'=12,EF'=BE=2AG=BE=9,2GE=AE-AG=3,A.AB=BCB.AB=CDC2.已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O,下列结论正确的有()①②③④⑤处分别填上转换需要的条件：①一组邻边相等；②有一个直角；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤有一个直角且一组邻边相等.其中填写错误个数有()③③①⑤平行四边形②④形CCA.2αB.45°+αC.22.5°+a【分析】过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥AD,交DA的延长线于N,设EF与AD交于T,先证明四边则∠1=∠2=45°-α,进而得∠EDH=∠1+∠ADB=90°-α,则∠HDG=∠EDG-∠EDH=α,由此可得【详解】解：过点E作EM⊥AB于点M,作EN⊥AD,交DA的延长线于N,设EF与AD交于T,如图所N.GDBB∠BEF=∠BAD=∠EFG=∠ADC=∠EDG=93∠2=180°-∠EAF-∠AEF=180°-B∠EDH=∠1+∠ADB=45°-α+453∠BHF=∠DHG=90°-∠HDG=90°-难点.EH=FH=CE=5.在RtBCE中，由勾股定理得，BE=√BC²-CE²=4,则DF=4,DH=DF-FH=1,【答案】AC=BD(答案不唯一)故答案为：AC=BD(答案不唯一)BM=AB′=B'′M=AB=3,可得OM=OB+BM=4,OM=B'M-B'O′=2,进而可得答案.B∠ABM=90°,∠BAB′=90°,∠AB'O'=∠ABO=90°,AB'=AB=3,B'O′=OB=1.【答案】设BE=x,则AB=BH=x+2则四边形AGCT是矩形，DB【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA(AAS)综四边形DFPG的面积=正方形PMDN的面积=16cm²,S.ec=SPME,得到PM=PN=DN=DM=4cm,四边形BEPH的面积=正方形PRBS的面积=23cm²,SpE=Spn,则RP=PS==BS=BR=√23cm,则四边形AEPG与四边形CHPF的面积之和=矩形ARPN和矩形PSCM的面积之和，即可得到答案.【详解】解：过点P作PM⊥CD于点M,MP的延长线与AB相交于点同理可证，PRBS是正方形，SPRe=SPsH,11.如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点.过点A作AF//BC交BE的3D是BC中点，12.在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,点E,FAC=EF,连接AE,CE,CF,AF.长形的判定与性质是解题的关键.(1)利用菱形的性质得出AO=CO,BO=DO,AC⊥EF,再利用BE=DF,得出EO=FO,得出四边形AECF是平行四边形，再由AC=EF,AC⊥EF,即可得证；(2)先利用勾股定理求出AO=√AB²-O【详解】(1)解：⑧四边形ABCD是菱形，又?AO=CO,2AO=OE=OF=OC,(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD,根据菱