专题02 二次根式的运算的七种考法（解析版）

专题02二次根式的运算的七种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、最简二次根式 2类型二、同类二次根式 4类型三、二次根式的混合运算 6类型四、二次根式中的分母有理化 8类型五、利用二次根式有关运算比较大小 12类型六、二次根式中的新定义型探究问题 16类型七、二次根式中的规律探究问题 19压轴能力测评（15题） 23解题知识必备知识点1二次根式的乘法法则1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广:，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广：知识点2二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广：.知识点3最简二次根式1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号.知识点4同类二次根式同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如知识点5二次根式的加减二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。知识点6二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）压轴题型讲练类型一、最简二次根式例题：（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可．【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误；B．是最简二次根式，故该选项正确；C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误；D．被开方数含有分母，故该选项错误．故选：B．【变式训练1】（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可．【详解】解：∵，，，∴是最简二次根式，故选：A．【变式训练2】（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可．【详解】解：A.，故不是最简二次根式；B.是最简二次根式；C.，故不是最简二次根式；D.，故不是最简二次根式；故选：B．【变式训练3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简、化为最简二次根式【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可．【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意；C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意；故选：B．类型二、同类二次根式例题：（24-25九年级上·四川宜宾·期中）下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】同类二次根式、最简二次根式的判断【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项．【详解】解：A.，不能与合并，故该选项不符合题意；B.，能与合并，故该选项符合题意；

C.，不能与合并，故该选项不符合题意；

D.，不能与合并，故该选项不符合题意；故选：B．【变式训练1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）在，，中与可以合并的个数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念解答即可．【详解】解：，与可以合并，，与可以合并；，与不可以合并；则与可以合并的个数有2个．故选：C．【变式训练2】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】A【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键．先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可，【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误．故选：A．【变式训练3】（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（

）A．3 B． C．1 D．0【答案】C【知识点】同类二次根式【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求的值．【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，，解得：，故选：C．类型三、二次根式的混合运算例题：（24-25八年级上·全国·期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题考查了二次根式的混合运算；（1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式训练1】（24-25八年级下·全国·阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】二次根式的混合运算、化简绝对值、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查二次根式的混合运算：（1）先计算二次根式的乘法，化简二次根式、绝对值，再合并同类二次根式即可；（2）先计算二次根式的乘除，再进行二次根式的加减运算．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式训练2】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题主要考查了二次根式混合运算．（1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式训练3】（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则．（1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题；（2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．类型四、二次根式中的分母有理化例题：（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．请仿照上面的方法，解决下列问题：(1)计算：，；若n为正整数，请你猜想．(2)计算：；【答案】(1)；；(2)2023【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．【详解】（1）解：；；；（2）解：原式．【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题：(1)填空：_______，_______；(2)化简：．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：（1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．【详解】（1）解：，，故答案为：；；（2）解：．【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．例如：．(1)用上述方法化简；(2)．【答案】(1)(2)2024【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）根据例题的方法，分母有理化即可求解；（2）将每一项都分母有理化，继而即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的:请你根据小明的分析过程，解决如下问题(1)化简：(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点．（1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可；（2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案．【详解】（1）解：；（2）解：，∴，∴．类型五、利用二次根式有关运算比较大小例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．（1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）；[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化简：．[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：（3）试利用分子有理化比较和的大小．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键．（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；（2）根据所得规律计算即可；（3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可．【详解】（1）解：∵，∴的有理化因式是；∵，∴的有理化因式是；故答案为：，；（2）解：；（3）．理由如下：∵，，∵，∴，∴．【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题：(1)化简：______，______；(2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：（1）仿照题意求解即可；（2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，．【详解】（1）解：；，故答案为：，；（2）解：，，∵，∴，∴，故答案为：．【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；(2)化简：；(3)比较，的大小，说明理由．【答案】(1)，(2)(3)，理由见解析【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键．（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可；（2）分子分母同乘以即可得出答案；（3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小．【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案为：，；（2）；（3）；；，．【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)化简；(2)比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)2(2)，理由见解析【分析】本题考查的是分母有理化：（1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案；（2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数，再比较大小即可．【详解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．类型六、二次根式中的新定义型探究问题例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则称x和y是关于1的平衡数．(1)4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数；(2)已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由．【答案】(1)(2)不是，理由见解析【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算【分析】本题考查二次根式的运算，掌握新定义，是解题的关键：（1）根据平衡数的定义，进行求解即可；（2）根据，求出的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可．【详解】（1）解：，；故答案为：；（2）解：不是，理由如下：，∴，，∴；∴，∴与不是关于1的平衡数．【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．(1)若与是关于15的友好二次根式，求；(2)若与是关于4的友好二次根式，求．【答案】(1)(2)【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键：（1）根据定义，得到，求解即可；（2）根据定义，得到：，求解即可．【详解】（1）解：由题意，，∴；（2）由题意：∴，∴．【变式训练2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值；(2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)(2)【知识点】分母有理化、二次根式的应用【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．（1）由题意得：，即可求解；（2）由题意得：，化简即可求解；【详解】（1）解：由题意得：，∴；（2）解：由题意得：，∴，∴；【变式训练3】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和．(1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿；(2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿；(3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿；(4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值．【答案】(1)和(2)(3)(4)6或【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键．（1）根据新定义即可得出结论；（2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论；（3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论；（4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论．【详解】（1）解：，有序数对的一对“对称数对”是和，故答案为：和；（2）解：有序数对的一对“对称数对”相同，，，故答案为：；（3）解：有序数对的一个“对称数对”是，，，故答案为：；（4）解：有序数对的一个“对称数对”是，或，或，或．即的值为6或．类型七、二次根式中的规律探究问题例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．（1）根据前个的规律即可得出答案；（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：等式④：；（2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，证明如下：等式左边右边；（3）解：∵（均为正整数），∴，，∴．【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）观察下列各式及验证过程：，验证；，验证，验证(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明．【答案】(1)，验证见解析(2)，验证见解析【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外；（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：．【详解】（1）验证：；（2）．验证：．【变式训练2】10．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程，验证：，验证：(1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明．【答案】(1)猜想，验证见详解(2)，验证见详解【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键．（1）根据题目中所提供的方法进行验证即可；（2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可．【详解】（1）解：猜想，验证：；（2）解：，验证：．压轴能力测评（15题）一、单选题1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；C、是最简二次根式，本选项符合题意；D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意；故选：C．2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列根式中能与合并的二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．【详解】解：A.，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B.，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C.，与是同类二次根式，能合并，符合题意；D.，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；故选：C．3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根数的运算法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意，C．，故该选项计算正确，符合题意，D．，故该选项计算错误，不符合题意．故选：C．4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先求得，即，然后利用运算程序计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．二、填空题5．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）若最简二次根式与是同类根式，则．【答案】9【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式【分析】本题考查了同类二次根式，以及最简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同类二次根式的概念进行解答即可．【详解】解：由题意可知，，，解得，，；故答案为：9．6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，．【答案】1【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案．【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数，∴正整数m的值可以为1或3等，故答案为：1（答案不唯一）．7．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如最简二次根式与能进行合并，且，化简：．【答案】4【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、化简绝对值、整式的加减运算【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键．同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解．【详解】解：由题意可知：，解得，，，，，．8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么．【答案】【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、分母有理化【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键．三、解答题9．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减即可；（2）先计算算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值，再计算加减即可；（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解；（4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．10．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值．【答案】【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算【分析】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照新定义运算规则求解即可得到答案，看懂新定义实数运算是解决问题的关键．【详解】解：，，，则，，．11．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用：(1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；(2)化简：；(3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)，(2)(3)，理由见解析【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小【分析】本题考查了二次根式的混运算；（1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解；（2）分别分母有理化，然后再合并二次根式，即可求解；（3）比较两数的倒数的大小，即可求解．【详解】（1）解：；故答案为：，；（2）；（3）理由如下：由题意得：，，∵，∴．12．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式．(1)与是关于______的共轭二次根式；(2)若与是关于2的共轭二次根式，则______；(3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值．【答案】(1)1；(2)；(3)．【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．（1）根据共轭二次根式的定义，即可得解；（2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；（3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可；【详解】（1）解：，∴与是关于1的共轭二次根式，故答案为：1；（2）解：∵与是关于2的共轭二次根式，∴∴，故答案为：；（3）解：∵与是关于12的共轭二次根式，∴∴，∴．13．（24-25九年级上·吉林长春·期末）阅读材料，回答下列问题．【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．（1）的有理化因式是______，的有理化因式是______；（写出一个即可）【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．（2）利用分母有理化化简：；【材料三】与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．例如：．（3）用分子有理化直接比较和的大小．【答案】（1）；；（2）；（3）【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键．（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；（2）根据所得规律计算即可；（3）利用分母有理化得到，，然后比较，大小即可．【详解】（1）解：∵，∴的有理化因式是；∵，∴的有理化因式是；故答案为：；；（2）解：．（3）．理由如下：∵，，∵，∴，∴．14．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律，特例1：特例2：特例3：＝特例4：；（填写一个符合上述运算特征的例子）(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：；(3)请证明你的猜想；(4)应用运算规律计算：．【答案】(1)；(2)；(3)见解析；(4)．【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、数字类规律探索【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据材料提示计算即可；（2）由材料提示，归纳总结即可；（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；（4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可．【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例4为：，故答案为：；（2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：，故答案为：；（3）解：，等式左边等式右边；（4）解：．15．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律：；；；…利用发现的规律解决下列问题．(1)化简式子______；(2)直接写出式子的值：；(3)计算：（n为正整数）．【答案】(1)；(2)2023；(3)．【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答．（2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答．（3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答．【详解】（1）解：依题意，，故答案为：；（2）解：．故答案为：2023，（3）解：依题意，．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤1