2026年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一阶段检测数学试题（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页哈三中2025—2026学年度下学期高一学年6月月考数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则（

）A． B． C． D．2．如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（

）A． B． C． D．3．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．4．已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则5．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（

）A．14 B．15 C．16 D．176．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知，若向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（

）A．B．若，，则三角形为锐角三角形C．若，，则D．若，且三角形有两解，则10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与所成角的余弦值为D．11．已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有（

）A．当在线段上运动时，三棱锥体积为定值B．当在线段上运动时，存在点使直线与的夹角为C．当在底面内运动时，若，则轨迹长度为D．当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12．已知向量、满足，若为单位向量，则_________．13．若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________；14．已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若，的面积为，求的周长．16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点．(1)求证：平面；(2)设为中点，，求直线与所成角的余弦值．17．如图，在平面四边形中，，为等边三角形．(1)若，，求；(2)若，求四边形面积的取值范围．18．在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点．(1)证明：平面平面；(2)若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，．①求的值；②求平面与平面夹角的余弦值．19．如图，直角梯形中，，，，，，点为线段（不含端点）上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．(1)若，求的长；(2)求异面直线与所成角余弦值的最小值；(3)若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】由，则.2．C【分析】利用直观图与原图之间的面积关系求解即可.【详解】由直观图可得，则.3．C【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积；【详解】已知平面，平面，因此,又因为，可得两两互相垂直，将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度，设外接球的半径为，所以，进而求得球的表面积.4．D【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判定定理，性质定理，即可求解.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则或，或与相交，故B错误；对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则，过相交直线作平面，设，，因为，，所以，又，且都在平面γ内，所以，因为，根据平行线的线面垂直性质，得，又，根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确.5．A【分析】根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值.【详解】根据正弦定理，由得，因为，所以，又，所以，所以.在中，，所以.在中，由正弦定理得，所以.6．B【分析】过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值.【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为，因此圆台的高（即等腰梯形的高）为下底圆的直径，故下底圆半径，因为在下底圆周上，是直径，所以，，在中，，过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上），得，且下底面，过作，垂足为，连接，则就是二面角的平面角，因为的面积，其中（为下底圆心），是到的距离，又，所以，解得，在中，，因此二面角的余弦值.7．A【分析】将沿旋转至与在一个平面，则当共线时，取得最小值，再利用余弦定理解即可.【详解】如图，将沿旋转至与在一个平面，当共线时，取得最小值，在中，，则，在中，，在中，，由余弦定理得，所以，即的最小值为.8．C【分析】易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为，所以，所以，则可设，设，由，得，即，化简整理得，所以，所以，所以，即的最大值为.9．AC【分析】选项A通过射影定理得：，直接判定正确；选项B结合余弦定理计算最大边所对角的余弦值，可知该角为钝角，三角形为钝角三角形，故B错误；选项C运用正弦定理求出，再根据大边对大角舍去不合理解，得到，C正确；选项D依据三角形两解的条件推出b的取值范围为开区间，原选项区间有误，D错误.【详解】对于A项，在中，由射影定理得：，将其代入条件，可得：因为，所以，故选项A正确；对于B项，已知，该三角形最大边为c，则最大的角为角C，由余弦定理：所以角C为钝角，为钝角三角形，故选项B错误；对于C项，已知，由正弦定理​得：。又，根据大边对大角，得，所以，故选项C正确；对于D项，已知，，当三角形有两解时，满足条件：，解得：，故，故选项D错误.10．ABD【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可.【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点，因，，则，则，即，故A正确；对于B，由A知，，则，即得，故B正确；对于C，由A知，，，则，则，即与所成角的余弦值为，故C错误；对于D，由A项知，，，则，故D正确.11．ABD【详解】对于A，因为平行于平面，所以到平面的距离为定值，又因为，所以为定值，A选项正确；对于B，当在线段上运动时，当点与点重合，直线与的夹角为，当点与点重合，平面，平面，则，直线与的夹角等于，当点在线段上从运动到时，直线与的夹角从变化到，所以存在点使直线与成角为，B选项正确；对于C，当在底面内运动时，，在底面内的投影为，所以，为中点，连接与相交于点，则有，，所以，则点轨迹为线段，长度为，C选项错误；对于D，三棱锥是棱长为的正四面体，为的中心，连接，则平面，，由，解得，当在三角形内运动，且时，则，轨迹是半径为的圆，位于内的部分，又因为等边的边长为，其内切圆的半径，如图所示，过点O作，可得点M为的中点，且，可得，所以，则，所以动点P的轨迹为的3倍，其长度为，所以D正确.12．##【分析】由条件平方求出.【详解】由已知，故由两边平方得，所以.13．##【分析】求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.【详解】设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点，上、下底面三角形的高分别为，，所以，，所以，又，所以正三棱台的高为，上底面积为，下底面积为，所以正三棱台的体积为.故答案为：.14．【分析】先计算△的面积与外接圆半径；利用外接球半径求球心到平面的距离；求到平面的最大距离，得到四面体体积的最大值.【详解】因为，，由余弦定理得，所以，所以，设△ABC的外接圆半径，则，设四面体的外接球球心为，△的外接圆圆心为，则平面，由外接球半径，得因为,所以，所以，当四点共面时，到平面ABC的距离取得最大值，过作平面ABC交于点,过作交于点，则点到平面ABC的距离的最大值是，设,则，由，得即由，所以，所以，即，所以，解得，此时，所以点到平面ABC的距离的最大值是，所以四面体体积的最大值为15．(1)(2)【分析】（1）根据商的关系和两角差的正弦公式化简可得，结合内角和关系求；（2）结合三角形面积公式和余弦定理列方程求，由此可得结论.【详解】（1）由已知，交叉相乘得，，所以，整理得，又，，所以或（舍去）或（舍去），所以，解得；（2）由已知，得①，由余弦定理，得②，由①②可得，所以的周长.16．(1)证明：取中点，连接，，，，，，为平行四边形，又平面，平面平面(2)【分析】（1）先应用平行四边形得出，再应用线面平行判定定理证明；（2）先根据线面垂直判定定理得出平面，再得出面面垂直，应用面面垂直性质定理得出，最后计算边长得出线线角的余弦.【详解】（1）略（2）取中点，连接，，则或其补角为直线与所成角，，又，，平面，平面，又平面，∴平面平面，平面平面，又，平面，平面，平面，且，，，，，所以直线与所成角的余弦值为．.17．(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理计算得到结果；（2）设，在中，利用余弦定理计算，再结合三角形面积公式计算，，，利用角的范围和三角函数范围计算面积；【详解】（1）因为为等边三角形，，所以．在中，，又因为，即，解得；（2）设在中，，，，，，．18．(1)在菱形中，，为中点，由题可知，所以，因为，，平面，所以平面又平面，所以平面平面．(2)①；②【分析】（1）根据条件证明平面即可；（2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，表示出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值求出的值，进而得出结论；②求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.【详解】（1）略（2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系二面角的大小为，即因为，，所以，，则，，，，所以，，设，则，所以．设平面的法向量为，则，取，得，，则．设直线与平面所成角为，则，整理得，解得或，当时，，则；当时，，则．因为，所以②由①,设平面的法向量为，由，即，取，则，所以.设平面的法向量为，,，即，取，则，所以设平面与平面所成角为，则.19．(1)(2)．(3)【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，最后应用相似计算求解；（2）先根据异面直线夹角定义得出即为异面直线与所成的角，再设，应用两角差正切公式结合基本不等式计算最值即可；（3）先得出点轨迹为两平面的交线轨迹为线段，再应用棱锥体积公式结