2027届高考数学一轮总复习2.8对数函数【课件】

第8节对数函数课标解读

1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).强基础•固本增分1.对数函数的概念函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是

.

微点拨

对数函数解析式y=logax的三个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)真数是自变量x且x>0;(3)系数为1.(0,+∞)2.对数函数的图象与性质

函数y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1图象

图象特征在y轴右侧,过定点(1,0)

这是因为loga1=0当x逐渐增大时,图象是上升的当x逐渐增大时,图象是下降的函数y=logax(a>0,且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0,+∞)值域R单调性在(0,+∞)上单调递增在(0,+∞)上单调递减函数值变化规律当x=1时,y=0当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0微点拨

在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.也就是说,在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.微思考

如何确定对数型函数y=kloga(mx+n)+b(a>0,且a≠1,m≠0)图象所过的定点?

3.反函数一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为

,它们的定义域与值域正好互换.

微点拨

1.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.2.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.反函数

×解析

自变量在底数位置,不是对数函数.√×解析

当0<a<1时,x>1,logax<0.故错误.√2.(人A必修一教材习题改编)如图所示,关于三个对数函数的图象,下列选项正确的是(

)A.0<c<b<1<aB.0<b<c<1<aC.1<b<c<aD.1<c<b<aA解析

作直线y=1,则该直线与三个函数图象交点的横坐标为相应的底数,可得0<c<b<1<a.故选A.

D

4.(北师必修一教材习题)若b>a>1,则函数y=loga(x+b)的图象不经过(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D解析

因为b>a>1,所以函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,图象过一、四象限,又因为函数y=loga(x+b)的图象是由函数y=logax的图象向左平移b个单位长度得到,而b>1,所以函数y=loga(x+b)的图象不经过第四象限.故选D.

A

研考点•精准突破考点一对数函数的图象及应用例1

(1)(2025·福建泉州模拟)函数f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则必有(

)A.a>1,1<b<2B.0<a<1,1<b<2C.a>1,-2<b<-1D.0<a<1,-2<b<-1A解析

由题图可知,f(x)在定义域上单调递增,而y=x+b是增函数,根据复合函数单调性可知a>1.因为f(0)=logab∈(0,1),所以1<b<a.由题图可知当y=0时,x+b=1,x=1-b∈(-1,0),又b>1,所以b∈(1,2).故选A.

A

规律方法

对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,数形结合求解.[对点训练1](1)已知a>0,b>0,且ab=1,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是(

)B

考点二对数函数的性质及其应用考向1

比较对数式的大小例2

(1)(2025·天津模拟)已知a=0.60.4,b=log0.60.4,c=log0.64,则a,b,c的大小关系是(

)A.b<a<c B.c<b<aC.a<b<c D.c<a<bD解析

因为y=0.6x在R上是减函数,所以有0<0.60.4<0.60=1,则0<a<1;因为函数y=log0.6x是(0,+∞)内的减函数,所以有log0.60.4>log0.60.6=1,0=log0.61>log0.64,所以b>1,c<0,故c<a<b.故选D.(2)(多选题)若实数a,b,c满足loga2<logb2<logc2,则下列关系中可能成立的是(

)A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<bBCD解析

因为loga2<logb2<logc2,所以在同一平面直角坐标系中画出y=logax,y=logbx,y=logcx的图象,如图所示,有四种情况,所以a,b,c的关系有如下四种可能:①1<c<b<a;②0<a<1<c<b;③0<b<a<1<c;④0<c<b<a<1.图1图2图3图4可知B,C,D可能成立.故选BCD.规律方法

比较对数式大小的方法

若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论若底数不同,真数相同可以先用换底公式化为同底后,再进行比较若底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较

D

D

D

规律方法

求解对数不等式的两种类型及方法类型方法logax>logab借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论logax>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解

考向3

求单调区间或参数取值范围例4

(1)(2025·安徽亳州模拟)若函数y=lg(2+mx)在区间[1,+∞)内单调递增,则实数m的取值范围是(

)A.(-∞,-1) B.(0,+∞) C.[-2,0) D.(0,1]B

ABD

规律方法

对数型函数f(x)=logag(x)单调性的求解方法(1)根据“同增异减”确定函数的单调区间,务必注意函数定义域的限制,即单调区间应满足g(x)>0.(2)已知f(x)=logag(x)的单调性求参数范围时,除按照“同增异减”确定参数满足的条件外,还应使参数满足在给定的区间上g(x)>0恒成立.

B

教材衍展指、对、幂的大小比较指、对、幂“比大小”是高考中的经典题型,命题者常将其设计为选择题,综合考查幂函数、指数函数、对数函数等的运算和单调性等知识.这类题目难度灵活多变,解答时,可从代数与几何双角度切入,灵活运用函数性质与图象进行分析求解.典例(1)(2024·天津,5)设a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<bD解析

因为y=4.2x在R上是增函数,且-0.2<0<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20<4.20.2,所以0<4.2-0.2<1<4.20.2,即0<a<1<b.因为y=log4.2x在(0,+∞)内是增函数,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以c<a<b.故选D.(2)(2025·山东德州模拟)设2024a=2025,b=log20232026,2022c=2026,则(

)A.a>c>b B.a>b>cC.b>c>a D.c>b>aD

(3)(2025·浙江金华二模)已知a=log32,b=log54,c=log98,