小学六年级数学上册（北师大版）圆的认识（一）知识清单

小学六年级数学上册（北师大版）圆的认识（一）知识清单一、概念与原理篇：圆的本质与基本元素【基础】▲（一）圆的初步认识与定义【基础】1、圆的感性认识：圆是生活中常见的平面图形，它是由曲线围成的封闭图形。区别于由线段围成的三角形、长方形等直线图形，圆是一个曲线图形。2、圆的理性定义（描述性定义）：在平面内，一条线段绕着它固定的一端旋转一周，其另一端所画出的封闭曲线叫作圆。【重要】3、圆的集合定义（深层理解）：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。这一定义揭示了圆的本质属性：圆上每一个点到中心点的距离都相等。（二）圆的各部分名称及其作用【高频考点】1、圆心（O）【基础】（1）定义：画圆时，圆规带有针尖的脚固定的那一点叫作圆心。通常用大写字母“O”表示。（2）作用：圆心决定了圆的位置。圆心在哪里，圆就在哪里。【重要】（3）性质：圆心到圆上任意一点的距离都相等。2、半径（r）【高频考点】（1）定义：连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径。通常用小写字母“r”表示。（2）来源：用圆规画圆时，圆规两脚之间的距离就是半径的长度。（3）作用：半径决定了圆的大小。半径越长，画的圆越大；半径越短，画的圆越小。【重要】3、直径（d）【高频考点】（1）定义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。通常用小写字母“d”表示。（2）关键点理解：直径必须同时满足两个条件：一是经过圆心，二是两端都在圆上。二者缺一不可。【易错点】4、易混淆概念辨析：【难点】（1）半径与直径都是线段，不是直线或射线，因此它们都有固定的长度。（2）判断半径：一端在圆心，另一端在圆上。（3）判断直径：必须通过圆心，且两端都在圆上。圆内最长的线段就是直径。（三）圆的基本性质与特征【基础】1、圆的对称性【重要】（1）轴对称：圆是轴对称图形。将圆沿着任何一条直径所在的直线对折，两侧的部分都能够完全重合。（2）对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。由于圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。【高频考点】2、寻找圆心的方法【操作考点】（1）折叠法：将圆形纸片进行两次对折（注意：两次折痕要相交），两条折痕的交点就是圆心。（2）悬挂法（适用于物体）：通过重心悬挂，但小学阶段主要掌握折叠法。二、方法与技能篇：画圆与测量【操作技能】（一）圆规画圆的标准步骤（三步法）【基础】1、定长：将圆规的两脚分开，确定两脚之间的距离，即确定半径（r）的长度。2、定点：把有针尖的一脚固定在一点上，确定圆心（O）的位置。3、旋转：让装有铅笔的一脚旋转一周，针尖保持不动，两脚距离保持不变，即可画出一个标准的圆。4、注意事项：【操作误区】（1）画圆过程中，圆心不能移动。（2）画圆过程中，圆规两脚之间的距离（即半径）不能改变，否则画出的图形不是圆。（3）旋转时要保持匀速，使线条流畅。（二）定长画圆与定点画圆1、给定半径画圆：按照上述三步法，首先将圆规两脚分开至给定半径的长度。2、给定直径画圆：先将直径除以2得到半径（r=d÷2），再按照半径画圆。3、指定圆心画圆：将圆规针尖对准指定点，以此为圆心进行旋转。（三）生活中的画圆方法（拓展应用）1、绳笔画圆：在绳子一端拴上笔，另一端固定作为圆心，拉直绳子旋转一周。这里绳子的长度相当于半径。2、实物描圆：利用硬币、瓶盖等圆形物体的边缘描出一个圆。此方法只能得到圆，无法直接确定圆心。三、规律与关系篇：半径与直径的内在联系【重难点】（一）半径与直径的数量关系【必考】1、基本公式：在同一个圆或等圆（指半径相等的两个圆）中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。（1）d=2r（2）r=d÷2=d/22、文字表述：【重要】“直径是半径的2倍”这一结论，前提必须是“在同圆或等圆中”。如果没有这个前提，这个说法是错误的。因为一个大圆的半径可能与一个小圆的直径相等。【易错点】（二）半径与直径的存在性【基础】1、在同一个圆内，可以画出无数条半径。【基础】2、在同一个圆内，可以画出无数条直径。【基础】3、在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。【重要】（三）半径、直径与圆的大小的变化规律【高频考点、难点】1、缩放规律：在同一个圆中，半径扩大或缩小若干倍，直径也随之扩大或缩小相同的倍数。【重要】2、推理示例：如果半径扩大到原来的3倍（r→3r），那么直径也会从2r扩大到6r，即也扩大到原来的3倍。（四）圆内特殊的线段关系1、直径是圆内最长的线段。这一点可以解释生活中的现象（如下水井盖为什么是圆的，因为无论怎么旋转，直径都大于井口的宽度，不会掉下去）。【热点】四、易错点、考点与解题策略【应试指南】（一）判断题高频陷阱【必考】1、命题：“通过圆心的线段叫作直径。”（×）辨析：必须满足“两端都在圆上”且“通过圆心”两个条件。如图，如果一条线段只过圆心但端点不在圆上，它不是直径。2、命题：“所有的半径都相等，所有的直径都相等。”（×）辨析：缺少前提条件“在同圆或等圆中”。不同大小的圆，半径和直径是不相等的。3、命题：“直径是半径的2倍。”（×）辨析：同样缺少前提条件“在同圆或等圆中”。4、命题：“圆有无数条对称轴，对称轴是圆的直径。”（×）辨析：对称轴是直线，而直径是线段。正确的表述是“对称轴是直径所在的直线”。5、命题：“画圆时，圆规两脚间的距离是圆的直径。”（×）辨析：圆规两脚间的距离是圆心到圆上一点的距离，即半径的长度。（二）填空题核心考点【基础】1、圆的位置由（圆心）决定，圆的大小由（半径）决定。2、在一个边长为6cm的正方形中画一个最大的圆，圆的半径为（3cm）。【点拨】最大圆的直径等于正方形的边长。3、在一个长10cm、宽8cm的长方形中画一个最大的圆，圆的直径为（8cm），半径为（4cm）。【点拨】以较短边（宽）为直径。4、圆有（无数）条半径，有（无数）条直径，有（无数）条对称轴。5、将一个圆对折，折痕印重合的线就是圆的（直径），对折两次的交点就是圆的（圆心）。（三）解答题与操作题指南1、作图题步骤规范：（1）要求画半径为某值的圆：首先在图上点一点（标注O作为圆心），然后打开圆规量取长度，最后旋转。（2）要求标注直径：必须画一条通过圆心，且两端在圆上的线段，并标上“d”。2、解释生活现象题：【热点】（1）问题：为什么车轮是圆的？车轴应装在哪里？解答：车轮做成圆形，是因为从圆心（车轴位置）到圆上（地面接触点）的距离（半径）处处相等。这样车辆行驶时，车轴到地面的距离不变，车子才会平稳。车轴应装在圆心的位置。【非常重要】（2）问题：为什么绝大多数井盖是圆的？解答：因为圆的直径都相等。无论井盖如何旋转，都不会掉入井中。如果做成方形，方形的对角线比边长长，可能会掉下去。（四）思维拓展与跨学科视野1、“一中同长”的哲学思想：早在春秋战国时期，我国著名思想家墨子在其著作《墨经》中就记载：“圆，一中同长也。”这一精辟的论述比西方早了1000多年。【核心素养】（1）“一中”指的是一个中心，即圆心。（2）“同长”指的是从圆心到圆周的距离（半径）都相等。（3）这句话概括了圆最本质的特征。2、体育与数学的融合：（1）套圈游戏：为什么站成圆形比站成方形更公平？因为圆形（排成圆圈）时，圆心（奖品）到每个人的距离（半径）都相等，保证了公平性；而方形时，边上的点到中心距离不同。3、美学价值：圆具有旋转对称性（绕圆心旋转任意角度都能与自身重合），具有完美的和谐感，在建筑（天坛）、艺术（圆形构图）中广泛应用。（五）本课时考点全景归纳1、概念辨析：区分半径与直径，掌握“同圆”前提。2、数量计算：已知半径求直径（d=2r）；已知直径求半径（r=d÷2）。3、实际操作：会用圆规画指定半径或直径的圆；会找圆心。4、生活应用：解释车轮、井盖等设计原理。5、文化素养：了解墨子“一中同长”的论述。（六）易错题专项训练（模拟练习）[1]题目：一张圆形纸片，小明从中间剪了最长的线段，量得长是10厘米，那么这个圆的半径是多少？解题步骤：圆内最长的线段是直径→直径d=10厘米→半径r=d÷2=10÷2=5（厘米）。答案：5厘米。[2]题目：要画一个直径为8厘米的圆，圆规两脚的距离应该调整为多少？解题步骤：圆规两脚距离=半径→r=d÷2=8÷2=4（厘米）。答案：4厘米。[3]题目：判断：两端都在圆上的线段就是直径。（）