小学六年级数学上册《积随因数变化规律深度探究》教案

小学六年级数学上册《积随因数变化规律深度探究》教案

一、教学背景分析

（一）课标依据与【核心素养】导向

本课时教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段的要求，紧扣“数与代数”领域中的“数量关系”主题。课程设计不仅仅着眼于让学生掌握“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几”这一【基础】规律，更致力于通过系统的探究活动，发展学生的数学核心素养。具体包括：通过观察、猜想、验证、归纳等一系列数学活动，培养学生的合情推理能力（归纳推理与类比推理）；通过用准确、简洁的数学语言描述规律，提升学生的数学表达能力与抽象思维水平；通过辨析因数多种变化情况下积的变化结果，渗透函数思想，建立初步的变量对应关系模型，为后续学习正比例、反比例及解决更复杂的实际问题奠定坚实的基础。本课被视为培养学生数感、量感与推理意识的关键载体。

（二）【教材分析】与知识脉络

本课内容选自西师大版（或人教版等主流版本）小学数学六年级上册。在此之前，学生已经在三年级学习了多位数乘一位数、两位数乘两位数，并在四年级系统掌握了乘法运算律。教材在本册中安排此内容，旨在承上启下：一方面是对整数乘法运算的深化与拓展，另一方面是为后续学习小数乘法、分数乘法中因数与积的关系做铺垫，更是初中学习正比例函数、反比例函数的直观模型认知准备。教材编排通常从简单的乘法算式组入手，引导学生先探索“一个因数不变”时积的变化规律，再进一步探索“积不变”以及“两个因数同时变化”时的规律，体现了由特殊到一般、由简单到复杂的认知螺旋上升结构【非常重要】。

（三）学情分析（【难点】与【关键点】）

六年级学生已经具备了一定的观察、比较和初步的归纳能力，能够进行简单的计算和逻辑推理。然而，本课的教学对象虽然是六年级，但“积的变化规律”这一知识点本身在四年级已有渗透，因此学生的认知起点并不为零，甚至部分优等生已经能凭直觉说出结论。这既是优势也是挑战：优势在于学生有经验基础，挑战在于如何避免“照搬结论”，引导他们真正经历“再发现”的过程，深入理解规律的成因而非机械记忆。

1.已有知识基础：学生熟练掌握整数乘法及因数概念；理解“扩大”或“缩小”的倍数含义。

2.潜在【难点】：学生容易将规律反向使用，但对于“两个因数同时变化，积如何变化”的综合推理存在困难，特别是当一个因数扩大另一个因数缩小时，容易出错。此外，用抽象、严谨的数学语言完整表述规律，也是语言表达能力上的一个挑战。

3.认知冲突点：当因数变化不为整数倍（如扩大到原来的1.5倍）或涉及0的特殊情况时，原有的规律是否依然适用？这将激发学生更深层次的探究欲。

二、教学目标与重难点定位

（一）教学目标

1.知识与技能目标（【基础】）：学生通过自主探究与合作交流，理解和掌握“一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几”的规律。能够运用该规律直接写出算式的结果，并能解释简单实际问题中的数量关系。

2.过程与方法目标（【核心】）：经历“观察发现—提出猜想—举例验证—归纳概括—应用拓展”的探究过程，学习用“变化”的眼光看待数学问题，初步掌握研究数学规律的一般方法，发展合情推理能力和语言表达能力。

3.情感态度与价值观目标：在探究活动中感受数学的严谨性与规律的内在美，体验合作学习的乐趣，增强学好数学的信心。

（二）教学重难点

1.教学重点（【高频考点】）：理解并掌握“一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个数，积也乘（或除以）相同的数”的规律。

2.教学难点（【难点】）：探究“一个因数扩大（或缩小），另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变”的规律，并能灵活运用规律进行复杂变化的判断与计算。

三、教学准备与策略

1.教学准备：多媒体课件（包含动态演示因数与积变化的动画）、探究学习单、计算器（供验证时使用）。

2.教学方法：采用“引导—探究—发现”的教学模式，结合小组合作学习。核心策略是提供有结构的“数学材料”，让学生在计算、观察、对比中自主“做数学”，经历知识的形成过程。教师作为组织者、引导者与合作者，适时点拨，将学生的思维引向深入。

四、教学实施过程（【核心环节】，详细展开）

本过程设计为两课时连上（大课）或两课时递进，总计约80分钟，确保学生有充分的时间进行深度探究与交流。

（一）创设情境，激趣导入（约5分钟）

1.问题引入：课件出示学校“爱心义卖”活动现场。六（1）班准备出售手工制品，定价为每件6元。如果卖出了2件，总收入多少元？卖出了4件呢？卖出了8件呢？20件呢？

2.列式计算：学生口答，教师依次板书乘法算式：

6×2=12（元）

6×4=24（元）

6×8=48（元）

6×20=120（元）

3.引发思考：请同学们仔细观察这一组算式，你发现了什么？随着卖出数量的变化，总收入发生了怎样的变化？这里面是否隐藏着某种数学规律？今天，我们就来当一次“数学侦探”，深入探究“积随因数变化”的奥秘。【重要】

（二）聚焦核心，初探规律（“一个因数不变”）（约15分钟）

1.明确观察任务（【基础】环节）：

（1）教师提出观察要求：请同学们以上述四道算式为研究对象，以第一道算式6×2=12为基准，将后面的算式与它进行比较。

（2）引导学生从横向和纵向两个维度进行观察：

纵向：看每个因数是怎么变化的？

横向：看积是怎么变化的？

2.小组合作探究（约8分钟）：

（1）发放探究学习单（一），围绕核心问题展开讨论：

问题1：与第一道算式相比，第二个算式中的哪个因数没变？哪个因数变了？怎么变的？积又是怎么变的？

问题2：第三、第四个算式呢？你能用“扩大”或“缩小”来描述这种变化吗？

问题3：你能尝试用自己的话说一说你发现的规律吗？

（2）学生分组活动，教师巡视指导，提醒学生注意“比较的标准要一致”，必须是同一个算式作为参照。

3.汇报交流，初步建模（约7分钟）：

（1）小组代表汇报发现。学生可能会说：第二个算式与第一个比，因数6不变，因数2乘了2变成了4，积12也乘了2变成了24。

（2）教师根据汇报，借助多媒体动态演示对应关系：用连线清晰地展示“因数不变，另一个因数×2，积×2”。

（3）顺势引导，依次完成第三个算式（因数×4，积×4）、第四个算式（因数×10，积×10）的分析。

（4）归纳总结（【重要】规律）：

师引导学生用数学语言概括：在乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。

（5）逆向思考与完善（【重要】环节）：

师：如果我们将算式反过来观察，从第四个算式看到第一个算式，因数是怎么变的？积呢？

引导学生发现：一个因数不变，另一个因数除以几（如除以10、除以4、除以2），积也除以几。

（6）完善板书规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。

（7）【特别提醒】：为什么要强调“0除外”？学生讨论后明确，如果除以0，算式无意义，这是数学的严谨性。

（三）数形结合，验证规律（约8分钟）

1.几何直观验证：

（1）课件出示一个长方形，长6厘米，宽2厘米，面积多少？（6×2=12平方厘米）

（2）如果长不变，宽乘2，变成4厘米，现在面积是多少？引导学生观察面积是否也乘2。（24平方厘米）

（3）如果长不变，宽除以2，变成1厘米，面积又是多少？面积是否也除以2？（6平方厘米）

2.学生举例验证：

（1）鼓励学生自己写出一个乘法算式（如3×5=15），然后尝试改变其中一个因数，看看积的变化是否也符合刚才发现的规律。

（2）交流验证结果，强化规律的普适性。此环节旨在让学生从具体的算例和几何图形中确信规律的客观存在，将抽象的规律直观化、深刻化。

（四）思维进阶，深探变式（“积不变”与“双变”规律）（约25分钟，【难点】突破与【热点】）

1.制造冲突，引出新问题：

（1）课件出示两组算式，要求学生快速口算：

第一组：4×12=8×6=16×3=

第二组：18×2=9×4=6×6=

（2）计算后，你有什么发现？学生发现每组算式的积都相等（48和36）。

（3）设疑：这些算式里的因数都发生了变化，为什么积却保持不变呢？这里面又藏着什么秘密？

2.探究“积不变”规律（【难点】突破）：

（1）以第一组算式（积为48）为例，引导学生将第一个算式4×12作为基准，与后面两个算式进行比较。

（2）组织讨论：

比较4×12和8×6：第一个因数4怎样变化？（乘2）第二个因数12怎样变化？（除以2）积呢？（不变，还是48）

比较4×12和16×3：第一个因数4怎样变化？（乘4）第二个因数12怎样变化？（除以4）积呢？（不变）

（3）小组讨论：你能用一句话概括这种变化规律吗？

（4）学生汇报，师生共同归纳：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。【非常重要】【高频考点】

3.探究“两个因数同时乘或除以”的规律：

（1）继续挑战：如果两个因数不是这样“一乘一除”，而是同时乘一个数，或者同时除以一个数，积又会怎么变？

（2）以4×12=48为例，猜想：

如果两个因数都乘2，即8×24，积是多少？是48乘几？

如果两个因数都除以2，即2×6，积是多少？是48除以几？

（3）学生独立计算验证猜想。得出：两个因数都乘几，积就乘两次，即积乘几的平方；同理，两个因数都除以几，积就除以几的平方。此环节不作统一要求全员掌握，但鼓励优等生挑战，体现教学的弹性与层次性【热点】。

4.变式训练，深化理解：

（1）判断题：一个因数乘5，另一个因数除以5，积不变。（√，强调必须是非零的相同数）

（2）填空题：如果A×B=300，那么（A×2）×（B÷2）=（300）。

（3）填空题：如果A×B=100，那么（A×3）×（B×3）=（900）。

（五）分层练习，巩固应用（约15分钟）

本环节设计三个层次的练习，以满足不同层次学生的需求。

1.【基础练习】直接运用规律（全员必做）：

（1）先找出规律，再直接写得数。

36×15=54016×17=272

（36×2）×15=（16×4）×17=

36×（15÷3）=16×（17÷2）=

（2）完成教材“练习六”相关习题（如第1-3题），要求学生说出计算依据，巩固对基本规律的理解。

2.【综合练习】解决实际问题（【高频考点】）：

（1）一块长方形绿地，长是24米，宽是12米，面积是多少平方米？如果将长扩大到原来的2倍，宽缩小到原来的一半，绿地面积变化吗？如果长扩大到原来的3倍，宽不变，面积怎么变？

（2）超市促销，某种酸奶每箱原价48元，买4箱需要多少钱？如果单价不变，数量增加到原来的3倍，总价是多少钱？如果总价不变，单价降到原来的一半，可以买到多少箱？

设计意图：将数学规律融入具体情境，引导学生分析数量关系，理解积的变化规律在实际生活中的应用，体会数学的价值。

3.【拓展练习】开放性探究（【难点】挑战）：

（1）在乘法算式a×b=c（a、b、c均不为0）中，如果a增加10%，b不变，c如何变化？如果a减少20%，b增加20%，c比原来增加了还是减少了？

（2）你能自己设计一组算式，体现“积的变化规律”吗？并说说你是怎么设计的。

此环节不要求所有学生当堂完成，可作为课后思考题，供学有余力的学生深入探究，培养其创新意识和综合应用能力。

（六）课堂小结，构建体系（约7分钟）

1.知识梳理：

（1）师：同学们，通过今天这节“深度解析”课，你收获了什么？

（2）引导学生从知识、方法、情感三个维度进行总结：

知识层面：我们发现了积随因数变化的几种规律（基本规律、积不变规律）。

方法层面：我们经历了“观察—猜想—验证—归纳—应用”的探究过程，这是数学家发现规律常用的方法。

情感层面：通过小组合作，我们共同攻克了难题，感受了团队合作的力量和数学的严谨美。

2.思维导图（口述或板书勾勒）：

以“积的变化规律”为中心，发散出“一个因数不变”、“积不变”、“两个因数都变”等分支，以及各自的变化规则。

3.点睛之笔：揭示本节课的【核心思想】——函数思想。在乘法算式中，因数与积之间存在着一种确定的依赖关系，一个量变化，另一个量也随之变化，这正是一种最简单的函数关系。

五、板书设计

小学六年级数学上册《积随因数变化规律深度探究》

规律一：【基础】【重要】规律二：【难点】【高频考点】

一个因数不变，一个因数乘几，

另一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以相同的数（0除外），

积也乘（或除以）几。积不变。

举例：举例：

6×2=124×12=48

↓不变↓×2↓×2↓×2↓÷2不变

6×4=248×6=48

（逆向变化同理）（乘与除可互换）

【核心思想】：函数思想——变量之间的依赖关系。

【探究方法】：观察→猜想→验证→归纳→应用

六、教学反思与预设

（一）预设生成与应对策略

1.在初次探究时，学生可能会忽略“相同的数”这一关键要素，语言表述不严谨。教师要通过追问“是任意数吗？”来引发认知冲突，强调“相同的数”的重要性。

2.在探究“积不变”规律时，学生容易忽略“0除外”的条件。教师可设置陷阱题，如“一个因数乘0，另一个因数除以0”，让学生辨析，从而深化对规律适用条件的理解。

3.对于学习困难的学生，在“双变”规律环节，教师应提供更多的