小学数学六年级上册《百分数（一）》知识清单

小学数学六年级上册《百分数（一）》知识清单  一、百分数的意义和读写  （一）百分数的意义【核心概念】【基础】  1、定义：百分数表示一个数是另一个数的百分之几。它指的是两个数之间的比率关系，因此百分数也叫百分率或百分比。  2、理解要点：  （1）百分数是一种特殊的分数，它只表示两个数量之间的倍比关系，不表示具体的数量。  （2）百分数的后面不能带单位名称。例如，不能说“一根绳子长50%米”，因为50%米没有实际意义，它表示的是长度之间的比率，而非具体的长度。  （3）百分数的分子可以是整数，也可以是小数。例如，5%、12.5%、0.5%、100%、200%等。  （4）百分数可以表示部分与整体的关系，例如“某班及格人数占全班人数的98%”；也可以表示两个独立量之间的关系，例如“今年小麦产量是去年的110%”。  （二）百分数的读写【基础】【技能】  1、写法：写百分数时，通常不写成分数形式，而是采用专门的符号“%”来表示。先写分子，再写百分号。例如，百分之二十五写作25%；百分之三点七写作3.7%；百分之一百二十写作120%。  2、读法：读百分数时，先读百分号“%”（读作“百分之”），再读分子。百分号前的数按整数或小数的读法来读。例如，45%读作百分之四十五；0.8%读作百分之零点八；150.5%读作百分之一百五十点五。  3、易错点提示【易错点】：  （1）混淆读写顺序：部分学生在书写时，容易先写百分号，再写分子，这是错误的。  （2）分子部分的读法：对于分子是小数的百分数，如3.14%，要正确读作“百分之三点一四”，而不是“百分之三又一百一十四分之一”。  二、百分数、分数和小数的互化【关键技能】【高频考点】  （一）百分数与小数的互化  1、小数化成百分数：【方法】将小数点向右移动两位（位数不够时用“0”补足），同时在后面添上百分号。    例如：0.75→75%  1.2→120%  0.035→3.5%  2、百分数化成小数：【方法】去掉百分号，同时将小数点向左移动两位（位数不够时用“0”补足）。    例如：25%→0.25  8%→0.08  150%→1.5  3、【重要】原理剖析：小数化成百分数的过程，本质上是将小数乘以100%的过程，因为乘以100%相当于乘以1，数值大小不变，但形式改变了。  （二）百分数与分数的互化  1、分数化成百分数：    （1）一般方法：先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。      例如：3/5=0.6=60%  1/3≈0.333=33.3%    （2）特殊方法（通分法）：如果分数的分母是100的因数，可以利用分数的基本性质，将分数直接化为分母是100的分数，再改写成百分数。      例如：7/25=28/100=28%  3/4=75/100=75%  2、百分数化成分数：【方法】先把百分数写成分母是100的分数，再根据分数的基本性质，将其化成最简分数。    例如：35%=35/100=7/20  12.5%=12.5/100=125/1000=1/8    【注意】如果百分数的分子是小数，需要先应用分数的基本性质，将分子和分母同时扩大到原来的若干倍，使分子变成整数，再进行约分。  （三）互化中的常见题型与考点【高频考点】  1、直接互化：给出小数、分数或百分数，要求进行互化。  2、比较大小：将给定的分数、小数、百分数统一化成同一种形式（通常化成小数或百分数）后，再进行比较。    【解题步骤】①观察数据特点，选择统一成小数或百分数；②进行转化；③比较并排列大小。  3、填空形式：在括号里填上合适的百分数、小数或分数，考察互化的熟练度和准确性。    例如：（  ）÷8=0.375=3:（  ）=（  ）%。  三、用百分数解决问题  （一）求一个数是另一个数的百分之几（求百分率）【基础】【核心应用】  1、数量关系：【核心公式】比较量÷单位“1”的量（标准量）=百分率    这里的百分率指的是“比较量”占“单位1的量”的百分之几。  2、解题思路：与“求一个数是另一个数的几分之几”的解题方法相同，只是结果要化成百分数。    步骤：①找准单位“1”的量（标准量）；②找出与它相比较的量（比较量）；③用比较量除以单位“1”的量；④将计算结果化成百分数。  3、常见的百分率问题【高频考点】：    （1）达标率：达标人数÷总人数×100%    （2）发芽率：发芽种子数÷试验种子总数×100%    （3）出勤率：实际出勤人数÷应出勤人数×100%    （4）合格率：合格产品数÷产品总数×100%    （5）出粉率：面粉质量÷小麦质量×100%    （6）成活率：成活棵数÷种植总棵数×100%    【特别提示】这些百分率都不会超过100%，因为部分量不可能大于总量。但像增长率、利润率等，则可以大于100%。  （二）求一个数的百分之几是多少【关键能力】  1、数量关系：【核心公式】单位“1”的量×百分率=比较量  2、解题思路：这个问题的类型与“求一个数的几分之几是多少”的解题方法完全相同。将分数替换为百分数即可。    步骤：①找准单位“1”的量；②确定要求的百分率；③用乘法计算。  3、典型例题：    例：某小学六年级有学生400人，其中60%参加了兴趣小组。参加兴趣小组的有多少人？    分析：单位“1”是六年级总人数（400人），百分率是60%，求比较量（兴趣小组人数）。    解答：400×60%=400×0.6=240（人）。  （三）已知一个数的百分之几是多少，求这个数【难点】【逆向思维】  1、数量关系：【核心公式】比较量÷百分率=单位“1”的量  2、解题思路：    （1）方程法：设单位“1”的量为x，根据“单位‘1’的量×百分率=比较量”列方程求解。    （2）算术法：直接用比较量除以它所对应的百分率。  3、典型例题：    例：一本书，小明已经看了全书的40%，正好是120页。这本书一共有多少页？    分析：单位“1”是全书的总页数，未知。比较量是已看的120页，对应的百分率是40%。求单位“1”。    解答（算术法）：120÷40%=120÷0.4=300（页）。    解答（方程法）：设全书有x页，则40%x=120，解得x=300。  （四）求一个数比另一个数多（或少）百分之几【重点】【难点】【高频考点】  1、数量关系：    （1）求甲比乙多百分之几：【公式】（甲乙）÷乙=多的百分率      理解：多出的部分是相对于“乙”（单位“1”）而言的，所以要用多出的数量除以乙。    （2）求乙比甲少百分之几：【公式】（甲乙）÷甲=少的百分率      理解：少的数量是相对于“甲”（单位“1”）而言的，所以要用少的数量除以甲。  2、【重要】辨析与易错点：在“比”字句中，单位“1”通常是“比”字后面的那个量。找准单位“1”是解题的关键，也是常见的易错点。    例如：5比4多（  ）%？  单位“1”是4，列式为(54)÷4=1÷4=25%。        4比5少（  ）%？  单位“1”是5，列式为(54)÷5=1÷5=20%。  3、解题步骤：    ①找准单位“1”和比较量。    ②求出两个数量的差（即多出或减少的量）。    ③用差量除以单位“1”的量。    ④将结果化成百分数。  （五）求比一个数多（或少）百分之几的数是多少【重要应用】  1、数量关系：    （1）求比一个数多百分之几的数：【公式】单位“1”的量×(1+百分率)=所求的量    （2）求比一个数少百分之几的数：【公式】单位“1”的量×(1百分率)=所求的量  2、理解与推导：可以将“比一个数多（或少）百分之几”理解为，这个数相当于单位“1”的(1±百分率)倍。  3、典型例题：    例：某工厂计划生产零件500个，实际比计划增产了15%。实际生产了多少个？    分析：单位“1”是计划产量（500个），增产15%意味着实际产量是计划的(1+15%)。    解答：500×(1+15%)=500×1.15=575（个）。  4、常见题型变式【难点】：题目中给出的百分率与所求量的对应关系可能不直接。例如，“先降价10%，再涨价10%”，最终价格与原价的关系。  （六）已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数【综合难点】  1、数量关系：    （1）已知比一个数多百分之几的数，求这个数：【公式】已知量÷(1+百分率)=单位“1”的量    （2）已知比一个数少百分之几的数，求这个数：【公式】已知量÷(1百分率)=单位“1”的量  2、解题思路：    （1）方程法：设单位“1”的量为x，根据乘法关系（x乘以1±百分率等于已知量）列方程求解。    （2）算术法：确定已知量占单位“1”的百分之几（即对应分率），然后用除法。  3、典型例题：    例：某果园今年的苹果产量是4200千克，比去年增产了5%。去年苹果产量是多少千克？    分析：单位“1”是去年产量，未知。今年的产量相当于去年的(1+5%)。已知今年的具体量，求单位“1”。    解答（算术法）：4200÷(1+5%)=4200÷1.05=4000（千克）。    解答（方程法）：设去年产量为x千克，则(1+5%)x=4200，解得x=4000。  四、折扣与成数【生活应用】【拓展知识】  （一）折扣  1、意义：商品按原价的百分之几出售，叫做折扣，通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。    例如：八折表示80%，六五折表示65%。  2、数量关系：    现价=原价×折扣    原价=现价÷折扣    折扣=现价÷原价  3、【考点】解决折扣问题时，核心是将其转化为百分数问题进行求解。例如“打八五折出售”，即按原价的85%出售。  （二）成数  1、意义：在工农业生产和日常生活中，常用成数来表示生产的增长和降低情况。几成就是十分之几，也就是百分之几十。    例如：增产三成，就是增产30%；今年小麦收成是去年的九成五，就是去年收成的95%。  2、数量关系：与百分数问题完全一致，只是将百分率换成了成数。    例如：今年的产量比去年增加二成，即今年的产量是去年的(1+20%)。  3、【重要】折扣和成数问题，本质上都是“求一个数的百分之几是多少”或“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”等基本模型的实际应用。  五、易错点与难点精析【★重要】  （一）概念混淆型错误  1、百分数不带单位：在解决问题时，经常出现“一根绳子用去了30%米”的错误表述。必须强调百分数只表示比率，不能表示具体数量。  2、百分数与分数的区别：    （1）意义不同：分数既可以表示一个具体数量（如3/5米），也可以表示两个量之间的关系（如已看全书的3/5）；百分数只能表示关系。    （2）写法不同：分数有分数线和分子分母，百分数有特定的“%”符号。    （3）单位要求不同：分数表示具体数量时可带单位，百分数任何时候都不能带单位。  （二）单位“1”判断错误【高频易错点】  1、典型错误：在求“A比B多百分之几”与“B比A少百分之几”时，学生容易混淆除数，导致计算错误。  2、纠错策略：牢牢抓住“比”字后面的量就是单位“1”，也就是问题的标准量。多或少的部分是与这个标准量比较得出的结果。  3、无“比”字的情况：如“发芽率”、“出勤率”等，单位“1”通常是总量或总人数，即分母。  （三）计算与互化错误  1、小数和百分数互化时小数点移动方向错误：向左还是向右混淆。记忆技巧：小数化百分数，小数点右移（数字变大，加上百分号使其形式上变小，保持平衡）；百分数化小数，小数点左移（去掉百分号，数字形式上变大，小数点左移保持平衡）。  2、分数化百分数除不尽时，保留位数错误：通常要求除不尽时，百分号前保留一位小数。这意味着小数需要计算到小数点后第四位（因为要四舍五入到千分位，再化成百分位后的小数）。    例如：1/7≈0.……，要化成百分数，先算到0.1429，再化成14.3%。  （四）实际问题中的隐含条件  1、“增加了”与“增加到”的区别【易错点】：“增加了”指多的部分，“增加到”指最终的结果。例如，从5增加到8，可以说“增加了3”或“增加了60%”，也可以说“增加到8”或“增加到原数的160%”。  2、连续变化问题：【难点】如“先涨价10%，再降价10%”，最终价格比原价低。这是因为单位“1”发生了变化，第一次涨价是在原价基础上，第二次降价是在涨价后的价格基础上。  六、解题方法与思想渗透【★核心素养】  （一）解题步骤规范化（以复杂的百分数应用题为例）  1、审题：读清题意，找出已知条件和所求问题。  2、找关键句：圈出带有百分率的句子，如“比……多（少）百分之几”、“是……的百分之几”等。  3、确定单位“1”：根据关键句，准确判断哪个量是单位“1”。  4、分析数量关系：画线段图帮助理解（特别是较复杂的题目），写出数量关系式。  5、列式解答：根据关系式，选择算术法或方程法进行解答。  6、检验与作答：检查结果是否合理，是否符合实际，最后写出答语。  （二）数学思想渗透  1、转化思想：将百分数问题转化为分数问题，利用已有的分数知识解决百分数问题。将折扣、成数等问题转化为标准的百分数模型。  2、数形结合思想：通过画线段图，直观地表示出单位“1”与各部分量之间的关系，尤其是“多（少）百分之几”的问题，线段图能有效帮助理解。  3、模型思想：总结归纳出百分数应用题的几种基本模型（如求百分率、求比较量、求标准量），形成解题模式，提升解题效率。  4、方程思想：在逆向思维问题（已知比较量和百分率求标准量）中，方程是化逆为顺的有力工具，能有效降低思维难度。  （三）拓展视野：百分数在生活中的广泛应用  1、金融领域：利率（本金、利息、利率、存期）、税率（应纳税额、各种税率）、折扣（购物、打折促销）。  2、科技领域：浓度问题（溶液的含盐率、酒精浓度）、增长率（GDP增长、人口增长率）。  3、统计领域：各种统计图表中的百分比（扇形统计图的核心就是百分数）、概率（中奖率、降水概率）。  七、考点与考向分析【★高频考点】  （一）常规考点  1、百分数的读写与意义判断题。  2、小数、分数、百分数的互化。  3、求常见的百分率，如发芽率、出勤率、合格率等。  4、求一个数的百分之几是多少。  5、已知一个数的百分之几是多少，求这个数。  6、求一个数比另一个数多（或少）百分之几。  7、解决与折扣、成数有关的简单实际问题。  （二）综合与拓展考点  1、百分数与统计图（扇形统计图）的结合：根据百分数计算各部分数量，或根据数量计算百分数，并绘制或分析统计图。  2、百分数与方程的结合：在复杂的应用题中，列方程求解含有百分数的未知量。  3、百分数与比、分数的结合：给定一个比或分数，要求转化为百分数，或将百分数转化为最简整数比。  4、生活中的数学问题：例如，商场促销（“满100减30”与“打七折”的比较）、银行存贷款利息的计算（需理解本息和、年利率等概念）、个人所得税的计算（分段计税）。  5、分段计费与百分数：【拓展】如水费、电费分段计费问题中，有时会涉及超过一定额度后加价百分