浙江省温州市十校联盟2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题含答案

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高二数学学科练习

注意事项：

1.本题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。

4.结束后，只需上交答题卡。

选择题部分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数z在复平面内对应的点为（-2,1），则z=()

A.−2−iB.−2+iC.2−iD.2+i

2.已知集合A={0，1，2,3}，B={xlnx<1}，则AB=()

A．φB．{1,2}C．{1，2,3}D．{0,1,2}

3.展开式中的常数项为()

A．1B．2C．3D．4

4.在三角形ABC中，M是线段BC上的一个动点，且满足求

的最小值()

A.2B.4C.8D.1

5．如图是函数y=f(x)的导函数y=f,(x)的图像，则在下列

区间内，f(x)一定存在最大值的是()

A．（一3，2）B．（一3，4）

第5题图

C．（0，4）D．（一2，5）

6．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，

ΔABC的面积为3，则b+c=()

A.4B.6C.D.

7．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet），他在1829

年定义了一个“奇怪的函数”：f(x，其中R为实数集，Q为有理数集．

RQ

高二数学学科第1页(共4页)

则关于函数f(x)的如下四个命题中，不．正．确．的是()

A.▽x∈R，都有f(f(x))=1

B.▽x∈R，y∈Q，都有f(x+y)=f(x)

C.▽x,y∈R，都有f(xy)≥f(x).f(y)

D.▽x,y∈R，都有f(x+y)≤f(x)+f(y)

8.一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯中，内部装有高度为h的水，现将一个半径为

2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如右上图），则h3=()

A.100B.120C.144D.216

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的有()

A.若α+β=π,则cosα=cosβ

B.若则sinα=cosβ

C.若tanα=2，则3sinαcosα_sin2α=2

D.若sinα+cos则sinαcos

10.某学校数学兴趣小组在“探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况”的数学建模活动中，

c2x

将时间x（分钟）与温度y（摄氏度）的关系用模型y=c1e（其中e为自然对数的底数）

拟合.设z=lny，变换后得到一组数据：

x22.533.54

z4.044.013.98t3.91

由上表可得线性回归方程z=_0.06x+4.16，则()

A.样本数据x的下四分位数为2.5B．t=3.96

当时，残差为4.16

C.x=40.01D.c1=e

11.已知正方体ABCD_A1B1C1D1棱长为2，E,F分别为边AB，A1B1的中点，且存在点

P，满足AP=λAB+μAD,λ,μ∈（0,1],则下列选项中正确的是()

若直线平面点的轨迹长度为

A.C1P//AB1D1,P22

B.若λ=μ,则直线D1P与A1C1所成角的取值范围是

C.若λ=2μ,则平面AB1P⊥平面DEF

若则的最小值为

D.，|D1P|+|PF|·21

高二数学学科第2页(共4页)

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线f(x)=ex+x在x=0处的切线方程为

为奇数

an

13.若正项整数数列{an}满足，an，已知a4=3,则a1的所有可能取值

an为偶数

的和为

14.暑假即将来临，某同学制定了一个5天游玩5个不同景点的旅游攻略，他计划每天游玩

一个景点，但第一天不去A景点，第二天不去B景点，最后一天不去C景点，其余两天没

有限制，则不同的游玩日程安排有种.（用数字作答）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量=(sinx,cos2x)，=(2cosx,-3)，若函数f(x)=.，

（1）求f的值；

（2）求不等式f(x)≥1的解集.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=PD,

PA丄PD，PB=6.

(1)求证：平面PAD丄平面ABCD；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

高二数学学科第3页(共4页)

17.某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了100件产品，整

理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为10）：

（1）求图中a的值及平均值x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似

2

为样本平均数x，方差σ=121.利用该正态分布求P(65.5<Z<98.5)；

（3）现从生产线中取出5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件为次品，需对5

件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止

时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望.

参考数据：

若Z~N(μ,σ2)，则P(μ_σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ_2σ<Z<μ+2σ)=0.9545

*

18.数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，已知2Sn=n（2+an），n∈N.

（1）求证：{an}是等差数列；

（2）已知a2=3，

an

(Ⅰ)若bn=（an_1）.3，求数列{bn}的前n项和；

n*且

(Ⅱ)若在ak和ak+1之间插入{2}的前k项（k∈N），得到新数列{cn}，{cn}的前n

项和为Tn，求Tn>2026时，n的最小值.

19.已知flnx+x_2a；

（1）讨论f(x)的单调性；

（）若，且；

2f(x1)=f(x2)=0x1<x2

求的取值范围；求证：

(Ⅰ)a(Ⅱ)x1+x2>2a.

高二数学学科第4页(共4页)

高二期末数学参考答案

一、单选题

12345678

ABCBCADB

二、多选题

91011

BDABDACD

三、填空题

12.y=2x+113.2414.64

15.解：（1）f(x)=2sinxcosx_3cos2x

=sin2x_3cos2x

π

=2sin（2x_)………………4分

3

（如果化简过程写在第二问，则在第二问中加2分，下面直接求值即给4分）

fsin…………6分

（说明：向量的数量积对了给1分，二倍角公式对了给1分；若函数没有化简，直接算出答案给4分）

π

（2）由（1）知2sin（2x_)≥1

3

π1

sin（2x_)≥8分

32

2kk∈z…………………11分

所以kx≤k

π7π

即不等式的解集为[kπ+,kπ+],k∈z………………13分

412

16.（1）在四棱锥P-ABCD中，

∵PA=PD，PA⊥PD，∴三角形PAD为等腰直角三角形.

取AD中点O，连接OB.则OP⊥AD………………2分

∵四边形ABCD为正方形，∴OB=5，OP=1，∴OB2+OP2=PB2.∴OP⊥OB.…………………4分

又∵OB∩AD=O，且OB,ADC平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD.………………6分

1

又∵OPC平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.………………7分

（2）法一：（建系）由（1）得，如图，以OA为x轴，垂直AD为y轴，OP为z轴.

P（0,0,1），B（1,2,0），C（-1,2,0），D（-1,0,0）………………9分

（建系正确，并给出两个点坐标，给2分）

∴DP=(1,0,1)，DC=(0,2,0)，PB=（1,2,_1）

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，

令z=1,则，………………12分

（若法向量错误，有法向量运算列式，给2分）

3

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为………………15分

3

（答案错误，有向量运算公式，给2分）

法二：（补型）直三棱柱PAD-QBC，可证→BQ丄平面PDCQ

∴∠BPQ为直线PB与平面PDC所成角的平面角.

在RtΔPBQ中，sinLBPQ

法三：（等体积）由得：，解得：

VB_PDC=VP_BCDSΔPDC.dBSΔBDC.OPdB=2.

（以上法二、法三不同解法，酌情给分）

17.（1）a=0.035；x=76.5………………6分

（a和x各3分）

…………………10分

2

X234

P133

10105

………13分

E……………………15分

（分布列对直接给3分，分布列错，一个概率对给1分，E（X）错的话，有列式给1分）

18.（1）法一：当n=1时，a1=2

2Sn=n(2+an)

:2Sn_1=(n_1)(2+an)(n≥2)

2an=2Sn_2Sn_1=nan_(n_1)an_1+2

:(n_2)an_(n_1)an_1+2=0(n≥3)…………1

……3

是常数列，设该常数为k，则an=k(n_1)+2，（n≥2)，

…………

a2=k+2，a2_a1=k也符合上式，因此{an}是等差数列。5分

法二：

3

2Sn=n(2+an)

:2Sn_1=(n_1)(2+an)(n≥2)

2an=2Sn_2Sn_1=nan_(n_1)an_1+2

(n_2)an_(n_1)an_1+2=0①......................................1

2Sn_2=(n_2)(2+an-2)(n≥3)

:(n_3)an-1_(n_2)an_2+2=0②...................................2

②-①

an+an_2=2an_1................................................................................................................4

.........................................................................................................................................

则数列{an}是等差数列5分

法三：

当n=1时，解得a1=2

当n=3时，2S3=3（2+a3)=3(a1+a3)

即2（a1+a2+a3)=3(a1+a3)

.........................................................................

:2a2=a1+a3,a1,a2,a3成等差数列1

猜想an=a1+(n_1)d,d=a2_a1

（i）n=1,2,3时，a1,a2,a3成等差数列，:猜想显然正确，

（ii）假设n≤k（k≥3)时猜想正确

即ak=a1+d,Sk=kad……………………2

则当n=k+1时，2Sk+1=(k+1)(a1+ak+1)

2（Sk+ak+1)=(k+1)a1+(k+1)ak+1.................................................................3

2ka1+k(k_1)d=(k+1)a1+(k_1)ak+1

（k_1)ak+1=(k_1)a1+k(k_1)d....................................................................4

k≥3,:k_1≠0

:ak+1=a1+kd=a1+[(k+1)__1]d

:n=k+1时，猜想也正确，

4

*

综上所述，an=a1+(n__1)d,对▽n∈N都成立，5

：{an}是等差数列

n+1……………

(2）(Ⅰ)a2_a1=3_2=1，an=2+(n__1)×1=n+1，bn=n.3，7分

（说明：算出a1给1分，算出an给1分，若第一问没写出来，直接用第一问结论解决第二问，同样可以得

分）

设数列{bn}的前n项和为Hn

234n+1①

Hn=1×3+2×3+3×3++n.3

34n+1n+2②

3Hn=1×3+2×3++(n_1).3+n.3

②_①

234n+1n+2

_2Hn=3+3+3++3_n.38

9(1_3n)

=_n.3n+2

1_3

3n+2_9

=_n.3n+2

2

(1_2n).3n+2_9

=........................................................................................10

2

…………………分

Hn11

（2）(Ⅱ)插入的k项之和为：21+22++2k=2k+1_2;

11212k

新数列{cn}为：a1,2,a2,2,2,a3,ak,2,2,2,ak+1，………………12分

11，21，2k

将此数列分成若干组，a1,2为第一组；a2,22为第二组；ak,22,,2为第k组

k+1

ak与ak+1之间的k项数列的和为：_2

数列{Cn}取到ak后的第k项时：n=k

前k组之和为：

11212k

Tn=a1+2+a2+2+2++ak+2+2+2

234k+1

=(a1+a2+ak)+(2+2+2+2_2k)

5

15分

{Tn}显然随k的增大而增大，

当k=8时，n

2026-1048=978，a44再往后取m项，使m项的和大于978，

12mm+1

即：a9+2+2+2=2+8>978，

：2m+1>970,当m=8时，29=512<970,m=9时,210=1024>970

：44+10=54，：n有最小值为54.17分