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文档简介
专题一:等差数列与等比数列(解析卷)
考点1:数列的概念与简单表示法..................................................................................................2
考法1:利用数列的通项公式求指定项...............................................................................2
考法2:数列的单调性判断...................................................................................................3
考点2:等差数列的判断与证明......................................................................................................4
考法3:利用定义证明等差数列...........................................................................................4
考点3:等差数列的通项公式与基本量计算..................................................................................5
考法4:已知等差数列两条件求通项...................................................................................5
考法5:等差数列的角标性质应用.......................................................................................7
考点4:等差数列前n项和..............................................................................................................8
考法6:等差数列求和公式的基本量计算...........................................................................8
考法7:等差数列前n项和的最值问题.............................................................................10
考法8:等差数列前n项和与通项的关系.........................................................................12
考点5:等比数列的判断与证明....................................................................................................13
考法9:利用定义证明等比数列.........................................................................................13
考点6:等比数列的通项公式与基本量计算................................................................................14
考法10:已知等比数列两条件求通项...............................................................................14
考法11:等比数列的角标性质应用...................................................................................17
考点7:等比数列前n项和............................................................................................................18
考法12:等比数列求和公式的基本量计算.......................................................................18
考法13:等比数列前n项和的性质...................................................................................19
考点8:等差与等比的综合运用....................................................................................................20
考法14:等差等比综合计算...............................................................................................20
注意事项
1.本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点.
2.练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性.
3.解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
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12345
证明见解
BBA析
�
67��=2(�8=1,2,3)910
证明见解析CBC
14��
1112±131415
证明见解析,9=�(�+2)
CACCD
1
1617181920
��=�
或
BDA
2�=1
2122�2−39�2425
�=16
CABCABACD
262728291370
,证明29
ACD见解析BDA
�1=5,�2=10
3132333435
;
BCDAC4�−18D
(3)5−�
34���
363738�−13940
5(9)=3−2
DAAB
414243
11
DA
��
�=�−21�−1,�
考点1:数列的概=念2与简单表示法
考法1:利用数列的通项公式求指定项
1.(单选)已知数列满足,则()
A.{��}B�.1=2,��+1=3��−�C.�3=D.
【答案】
1B4131211
【解析】由题意,,
则�1=2,
�2=3�1−1=3×2−1=5.
【点拨】已知递推公式求数列的项,直接依次代入计算即可,注意角标的对应关系
�3=3�2−2=3×5−2=13.
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2.(单选)已知数列通项公式为,若,则()
�−2,1≤�≤9
{��}��=��=21�=
A.B.2�+1,�C≥.10D.
【答案】
9B101112
【解析】若,则,解得,不合题意;
若,1则≤�≤9��=�,解−得2=21,符�合=题2意3.
【�点拨≥】10分段数��列=求2项�数+,1需=分21类讨论,�将=值1代0入各段通项公式求解,并检验结果是否满足该段
的定义域.
3.(解答)设是项数为且各项均不相等的正项数列,满足下列条件
∗
的数列称为{��}的“�等(�比≥关3联,�数∈列�”):
①数列{��}的项{数��为}�−;
�(�−1)∗
②中{�任�}意两项乘积都2是(�≥中3的,�项∈;�)
③{��}是公比大于的等比{数��列}.
({1�)�}已知数列1是的“等比关联数列”,且,,,求数列
的通项公式{;��}{��}3−�1=1�2=2�3=4
{��}
【答案】
�
【解析】�解�:=(21()�由=题1,2意,3,)是的“等比关联数列”,
则的项数为,且{��各}项{为��}3−……2分
3×(3−1)
因{为��}是公比大于2的=等3比数列,�1�2=2,�1�3=4,�2�3=8
所以{��}1…………4分
所以�1=是2首,�2项=为4,�,3公=比8为的等比数列,
其通{项��公}式为22………………6分
�
【点拨】理解新��定=义2数(�列=的1性,2,质3),根据定义列出有限项,再结合等比数列的通项公式求解.
考法2:数列的单调性判断
4.(单选)设数列的通项公式为,则“”是“数列为单调
2
递增数列”的({��})��=�+��+2�>−2{��}
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也
不必要条件
【答案】A
【解析】数列为单调递增数列,等价于对任意恒成立,
∗
{��}��+1>���∈�
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即,化简得,
22
即(�+1)+�(对�+任1意)+2>�恒成+立��.+22�+1+�>0
∗
因�为>−2�−1的最大值�(∈当�时)为,所以.
所以−“2�−1”是“�”=的1充分不必−要3条件.�>−3
【点拨】�>判−断2数列的单�>调−性3,常转化为(或)恒成立问题,再利用分离参数法求
参数范围,最后结合充分必要条件的定义��+进1行−判��断>.0<0
考点2:等差数列的判断与证明
考法3:利用定义证明等差数列
为奇数
5.(解答)已知数列的首项是,
为偶数
��+1,�,
{��}1��+1=
(1)证明:的奇数项成等差数列;��+2,�.
{��}
【答案】证明见解析
【解析】证明:(1)当为奇数时,为偶数,
为奇数��+1
由得……………2分
为偶数
��+1,�
��+1=��+1=��+1
则��+2,�……………………4分
即��+2=��+1+,2=(��+1)+2=��+3
故��+2的−奇��数=项3是首项为,公差为的等差数列……6分
【{点��拨}】证明奇数项成等�差1数=列1,只需证3明为常数即可,利用递推关系连续代换两
次.�2�+1−�2�−1
6.(解答)已知数列的前项和为,且.
∗
(3)设,求证{�:�}数列�中任�意�不同的2�三�=项都��不+能2(构�成∈�等差)数列.
1
��=��{��}
【答案】证明见解析
【解析】证明:(3)由,当时,,得……2
分2��=��+2�=12�1=�1+2�1=2
当时,,两式相减得,即…………4分
所�以≥2是首2项�为�−1=,�公�−比1为+2的等比数列,2��−2�…�−…1=…�…�……�…�…=…2�…�−…1…………6分
�
所以{��}2………2…��…=…2………8分
111�
�
��=��=2=2
第4页,共21页
假设中存在不同的三项(不妨设)构成等差数列,
����
则{�},即�,�,�……�…<…�<…�…………………10分
1�1�1�
两边2�同�=乘��,+得��22=2+……2………12分
��−�+1�−�
因为2,2所以=2+1,,
所以�左<边�为<偶�数,右边�−为�奇+数1,≥矛2盾�…−…�…≥…2………………14分
故中任意不同的三项都不能构成等差数列……………15分
【{点��拨}】证明数列中不存在三项成等差数列,常用反证法,假设存在,利用等差中项性质导出矛
盾.
考点3:等差数列的通项公式与基本量计算
考法4:已知等差数列两条件求通项
7.(单选)设等差数列的前项和为,若,,则()
A.{��}B.����4=C7.�9=90�7=D.
【答案】
2C0181615
【解析】设等差数列的公差为,
由得{��},�所以.
9(�1+�9)
又�9=90,所以公2差=9�5=90.�5=10
则�4=7�=�5−�.4=3
【�点7拨=】�5等+差2数�=列1求0和+公6式=与16等差中项的结合应用,灵活运用可简化计算.
�2�−1=(2�−1)��
8.(单选)已知是公差不为的等差数列,,若成等比数列,则
()|��|0�1=−2�1,�4,�6�3=
A.B.C.D.
【答案】−20141618
14
【解析】±设等9差数列的公差为,
因为,所以{|��|}.�(�≠0)
则�1=−2|�1|=2,.
因|为�4|=|�1|成+等3�比=数2列+,3�所以|�6|=|�1|+,5�=2+5�
2
即�1,�4,�6.�4=�1�6
2
所|以�4|=�1�6.
2
因为(2+3�)=−,2�所6以.
2
所以(2+3�)≥0�6≤.0
�6=−|�6|=−(2+5�)
第5页,共21页
代入得,
2
展开得(2+3�)=−2[−(2+5�,)]即=4+10�.
22
因为4+,1解2�得+9�=.4+10�9�+2�=0
2
所以�≠0�=−9.
214
31
所以|�|=|�.|+2�=2+2×(−9)=9
14
【点�拨3】=利±用9等差数列的通项公式将条件转化为关于首项和公差的方程,结合等比中项的性质求
解.
9.(多选)已知数列的前项和为,满足,
则(){��}���2��+1=��+2+��,�1=2025,�2025=2025
A.存在,使得
∗
B.�∈���=0
存�在,使得
C.�=2027−2�
∗
的最�∈大�值为��=0
D.2
1013
【答案】�B�C2
【解析】由知为等差数列.
由2��+1=��+2+��,{得��}.
2025(�1+�2025)
因�为2025=,2所以=2025�1+�2025=2.
公差�1=2025�2025=2−2.025=−2023
�2025−�1−2023−2025
所以�=2024=2024=−2.
对于�A�,=令�1+(�−1)�=2025,−得2(�−1)=20,2不7−是2整�数,故A错误;
对于B,��=2027−2,�故=B0正确�;=1013.5
对于C,��=2027−2�.令,得,存在,
�(�−1)2
故C正确�;�=��1+2�=2025�−�(�−1)=−�+2026���=0�=2026
对于D,.当时,取得最大值,故D
2222
错误.��=−�+2026�=−(�−1013)+1013�=1013��1013
【点拨】根据递推关系判定数列为等差数列,利用求和公式求出公差和通项,再结合二次函数的
性质求最值.
10.(解答)已知数列中,,,且数列为等差数列.
��
(1)求的通项公{式��;}�1=3�3=15{�}
{��}
第6页,共21页
【答案】
【解析】�解�:=(�(1�)+设2等)差数列的公差为,
��
由得{�…}…………�……………2分
�1�3
所�以1=3,�3=151=3,3,=解5得………………4分
�3�1
所以2�=3−1=5−3=2�=1…………6分
���1
即�的=通1项+公(�式−为1)�=3+(�−1…)…=…�…+2………………8分
【{点��拨}】将新数列看�作�一=个�(整�+体2,)利用等差数列的通项公式求出其公差和通项,再还原出原数列
的通项.
11.(解答)已知数列满足,且.
��
�1�+1�
(1)求证:是等{差�数}列,�并=求1的�通项=公�式+;1
1
{��}{��}
【答案】证明见解析,
1
�
【解析】解:(1)由�=�,取倒数得……3分
��1��+11
�+1��+1��
即………�………=…�+…1……………�……=……�…=…�…+…1……5分
11
�+1�
所�以数−列�=1是首项为,公差为的等差数列………………7分
11
�1
所以{�}�=1…………1……………………9分
1
�
故�的=通1项+公(�式−为1)×1=…�…………10分
1
【{点��拨}】对于形如��=�的递推公式,常采用取倒数的方法构造等差数列求解.
��
��+1=���+�
考法5:等差数列的角标性质应用
12.(单选)已知等差数列的公差为,则()
A.{�B�}.−3�11−C.�2=D.
【答案】
3C−9−2730
【解析】由等差数列的通项公式性质可知,.
【点拨】熟练掌握等差数列的性质�11−�2=可(1快1−速2求)�解=.9×(−3)=−27
��−��=(�−�)�
13.(多选)设是等差数列的前项和,若,则下列结论正确的是
�7
()��{��}��15<0,�8<−1
A.
B.�<0
78
|�|<|�|第7页,共21页
C.时,最大
D.�使=7的��的最大值为
【答案】A�C�>0�13
【解析】由,得.
又,�因15为=15�8<,0所以�8<0.
�7
所�以8<−1�8,<公0差�7>−�8>,0故A正确;
因为�7>0,�8,<所0以�=�8,−故�7B<错0误;
因为�7>−�8,|所�7以|>前|�8项|为正,从第项开始为负,所以最大,故C正确;
�7>0,�8<0,7,所以8使的的最大�值7为,故D错误.
�【14点=拨7】(�利7+用�等8)差>数0列前�15项=和15公�8式<的0性质��>0�确定中间1项4的符号,再结合公差判
断各项的正负情况.��2�−1=(2�−1)��
考点4:等差数列前n项和
考法6:等差数列求和公式的基本量计算
14.(单选)设等差数列的前项和为,若,则()
A.{��}B.����2=C.6,�4=16�6=D.
【答案】
2C6283032
【解析】在等差数列中,成等差数列.
因为,�2,�4−�2,,�6−�4
所以�2=6�4−�2=16−6=1.0
则�6−�4=10+(10−6)=.14
【�点6拨=】�4利+用14等=差1数6列+前14=项3和0的性质:成等差数列,可大大简化计算.
���,�2�−��,�3�−�2�
15.(单选)等差数列前项的和为,已知,则
238
(){��}�����−1+��+1−3��=0,�2�−1=3
�=A.B.C.D.
【答案】
7D8910
【解析】由等差数列性质,,代入条件得,解得或
2
.��−1+��+1=2��2��−3��=0��=0
2
�又�=3.
38
2�−1�
若�=,(则2�−1)�=3,不合题意.
38
��=0�2�−1=0≠3
第8页,共21页
若,则,解得,即.
2238
【�点�拨=】3灵活(运2�用−等1差)中×项3=性3质2�−1=19及前�项=和10性质.
��−1+��+1=2����2�−1=(2�−1)��
16.(单选)等差数列中,,,则数列的前项和为
(){��}�3+�7=12�5⋅�8=54{��}10
A.B.C.D.
【答案】
5B565110130
【解析】由等差数列性质得,所以.
代入,得�3+,�所7以=2�5=.12�5=6
公差�5⋅�8=546�.8=54�8=9
�8−�59−6
�=3=3=1.
10(�1+�10)
�【10点=拨】利2用等=差5数(�列3+的�性8)质=5(�5−2�+�8)=5(6−2+9)=求6出5关键项,再代入求和公式.
��+��=��+��(�+�=�+�)
(单选)已知等差数列的公差,且,当时,数列
17.22
sin�3−sin�7
的前项和取得最小{值��,}则首项�∈的(0取,1值)范围是sin((�3+�7))=−1�=10
{��}A.���B.�1C.D.
5�9�5�9�5�9�5�9�
【答案】(D−8,−16)[−8,−16](−4,−8)[−4,−8]
【解析】.
221−cos2�31−cos2�7cos2�7−cos2�3
373737
所以sin�−sin�=,2即−2=.2=−sin(�+�)sin(�−�)
−sin(�3+�7)sin(�3−�7)
37
因为sin(�3+�7),且=−1,sin所(�以−�)=1.
由�3−�7=−4�得�∈(0,1),在−4�∈(−内4只,0)有符合,所以,即.
����
当sin(−4时�),=1取得−最4�小=值−,2说+明2��(−且4,0).−2−4�=−2�=8
�=10���10≤.0�11≥0
9�9�
�10=�1+9�=�1+8≤0⇒�1≤−8.
5�5�
�所11以=�1+10�=�1+.4≥0⇒�1≥−4
5�9�
【点�拨1】∈利[−用4三,角−恒8等]变换化简条件求出公差,再根据前项和取最小值的条件(末项非正,下一
项非负)列不等式组求解.�
18.(填空)已知是等差数列的前项和,设为数列的前项和,若,
��
,则��_____{_��.}���{�}��6=12
�【12答=案1】68��=
2
【解析】�数列−9�是等差数列.设其首项为,公差为.
��
{�}��
第9页,共21页
由得,.
�6�12
所�以6=12,�12=,1686=2.12=14
解得�+5�=2�+1,1�=14.
所以6�=12⇒�=2�=2−10=.−8
��
�=−8+(�−1)×2=2�−10
��.
�(�+)
��(−8+2�−10)2
�【�点=拨】2熟记=等差数2列前=项�和(�的−性9质)=:�数列−9�也是等差数列,利用此性质可快速求出通项并求
��
和.�{�}
19.(解答)在等差数列中,.
(2)记等差数列的{前��}项和为�2=,6求,�6=2时的值.
{��}�����=���
【答案】或
【解析】�解=:1(2)�由=16,得公差
�6−�22−6
首项�2=6,�6=2�=4=4=−1
所以�1=�2−�=6−(−1)=7
��=7+(�−1)(−1)=8−�分
2……………2
�(�−1)15�−�
�
令�=7�+,即2(−1)=2……………………5分
2
15�−�
整�理�得=��2=8−…�…………8分
2
解得�−或17�+16…=…0………………11分
所以�=1时�=的1值6为或……………………13分
【点�拨�】=先��求出�等差数列1的基16本量,写出通项公式和前项和公式,再根据等量关系建立关于的
方程求解.��
考法7:等差数列前n项和的最值问题
20.(单选)等差数列的前项和为,公差,,则使的
的最大值为(){��}����<0�2024⋅�2025<0��>0�
A.B.C.D.
【答案】
1A012101320242025
【解析】.
2024(�1+�2024)
�2024=.2=1012(�1012+�1013)
因为,所以递减
�2025=2025�1013.
�<0��
第10页,共21页
,
�即2024⋅�2025<0⇒1012(�.1012+�1013)⋅2025�1013<0
因(为�1012+,�1所01以3)�1013<0.
若�<0,则�1012>�,1013,矛盾.
所�以1013>0.�1012>0(�1012+�1013)�1013>0
此时�要10使13乘<积0小于,必须.
因为,且0�1012+�,10所13以>0.
所以�1013<0,�1012+.�1013>0�1012>−�1013>0
因此�使1012>0的�1的01最3<大0值为.
【点拨】��利>用0等差�数列前项和10的1性2质将条件转化为相邻两项的符号关系,结合公差判断正负项的
分界点.�
21.(单选)等差数列的公差为,前项和为,若,,则当
∗
取得最大值时,({��}(�)∈�)�����3=27�3=7��
A.�=B.C.D.
【答案】
4C567
【解析】由,得.
公差�3=3�2=27�.2=9
�=�3−�2=7−9=−2.
令,得,即
��=�2+(�−2)�=9−2(�−2)=1.3−2�
所�以�≥013−,2�≥0.�≤6.5
当�1,⋯时,�,6>取0得�最7大<值0.
【�点=拨6】求等�差�数列前项和的最大值,只需找出所有非负项,令通项求解即可.
���≥0
22.(多选)已知数列的前项和,则下列说法正确的是()
2
A.的最大值为{��}���=9�−�
B.��成等比2数0列
C.�数1,列�7,�4为单调递减数列
��
D.数列{�}为单调递增数列
��
【答案】ABC{�}
【解析】对于A,.当或时,取得最大值,
9281
�,�故=−A(正�−确2;)+4�=4�=5���4=36−16=20
�对5于=B45,−25=20.
22
,��=��,−��−1=.因9�为−�−[9(�,−1)−(�,−所1)以]=10−2成�等比数列,故B正确;
2
�1=8�7=−4�4=2�1�4=16�7=16�1,�7,�4
第11页,共21页
对于C,,为单调递减数列,故C正确;
��
对于D,�=9−�,为单调递减数列,故D错误.
��10−2�10
【点拨】已�知=�求=利�用−2,求最值可利用二次函数的性质,注意自变量为正整数.
������=��−��−1�
23.(多选)数列的前项和为,则下列说法不正确的是()
A.若{��},�则数列��的前项和最大
B.若等��比=数−列2�+1是3递减数列{,��则}公比5满足�5
C.已知等差数{列��}的前项和为,若�0<,�<则1
D.已知为等差{�数�}列,�则数列��也是�等20差25数>列0�1013>0
��
【答案】AB{��}{�}
【解析】对于A,,令.所以前项为正,最大,且
,��=−2,�所+以13最大值��不>唯0一⇒,2选�项<说13⇒最�大≤是6错误的(6应为和�同6为最大
�值6)=,1,故�7A=错−误1;�5=�6�5�5�6
对于B,若等比数列是递减数列,若,则时也是递减数列,公比不一定满足
,故B错误{�;�}�1<0�>1�
0对<于�C<,1,故C正确;
对于D,�2025=2025�1013>0⇒�1013>,是0关于的一次函数,所以是等差数列,故D正确.
���−1��
题目要求选�=不正�1确+的2,�故=选2�A+B.(�1−2)�
【点拨】等差数列前项和的最值可能在相邻两项取得(当某项为时);等比数列的单调性与首
项的符号和公比的范围�均有关.0
考法8:等差数列前n项和与通项的关系
24.(多选)已知数列的前项和为,则下列说法正确的是()
2
A.数列为递减{�数�}列���=−�+11�
��
B.当且仅{�当}时,取得最大值
C.�=5��
�是等比数列
D.�=−2�+12
��
【答案】{2ACD}
【解析】对于A,,为递减数列,故A正确;
��
对于B,�=−�+11,当或时取得最大值,故B错误;
112121
对于C,��=−(�−2)+4�=5�=6,故C正确;
22
��=��−��−1=−�+11�−[−(�−1)+11(�−1)]=−2�+12
第12页,共21页
对于D,,是等比数列,故D正确.
��−2�+1212�
【点拨】2利用=2=2求⋅(通1/项4),注意检验时是否符合;指数型数列的底数恒定,指数
成等差数列,则��该=数��列−为�等�−1比数列.�=1
25.(填空)设两个等差数列的前项和分别为,若对任意正整数都有
��
�����
,则的值为_{�_}_,{�_}__.��,���=
2�−1�2�8
【3�+答2案】�4+�6+�3+�7
17
【解析】2由9等差数列的性质,.
�2�8�2�8�2+�82�5�5
463755555
根据等差数列前项和的性质,�+�+�+�=2�+2.�=2�=2�=�
�5�92×9−117
59
【点拨】等差数�列中,�是=常�用=的3重×9要+2性=质29,结合等差中项可快速化简求值.
���2�−1
��=�2�−1
考点5:等比数列的判断与证明
考法9:利用定义证明等比数列
26.(多选)已知为数列的前项和,若,,则下列选项正确的是
()��{��}��1=3��+1=��
A.
数2列是等比数列
B.�=3
C.{��}
�−1
D.��=3⋅2
【答案】
�A�C≥D��
【解析】对于A,,故A正确;
对于B,当时�2,=�1=�1=3.所以从第二项起是公比为的等比
数列,但�≥2��+1=�,�所=以��−1+不��是=等�比�+数�列�,=故2�B�错误;2
对于C,�2/�1,=3/3=1≠2,{��}
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