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文档简介

专题一:等差数列与等比数列(解析卷)

考点1:数列的概念与简单表示法..................................................................................................2

考法1:利用数列的通项公式求指定项...............................................................................2

考法2:数列的单调性判断...................................................................................................3

考点2:等差数列的判断与证明......................................................................................................4

考法3:利用定义证明等差数列...........................................................................................4

考点3:等差数列的通项公式与基本量计算..................................................................................5

考法4:已知等差数列两条件求通项...................................................................................5

考法5:等差数列的角标性质应用.......................................................................................7

考点4:等差数列前n项和..............................................................................................................8

考法6:等差数列求和公式的基本量计算...........................................................................8

考法7:等差数列前n项和的最值问题.............................................................................10

考法8:等差数列前n项和与通项的关系.........................................................................12

考点5:等比数列的判断与证明....................................................................................................13

考法9:利用定义证明等比数列.........................................................................................13

考点6:等比数列的通项公式与基本量计算................................................................................14

考法10:已知等比数列两条件求通项...............................................................................14

考法11:等比数列的角标性质应用...................................................................................17

考点7:等比数列前n项和............................................................................................................18

考法12:等比数列求和公式的基本量计算.......................................................................18

考法13:等比数列前n项和的性质...................................................................................19

考点8:等差与等比的综合运用....................................................................................................20

考法14:等差等比综合计算...............................................................................................20

注意事项

1.本试卷涵盖等差数列与等比数列专题的重点考点.

2.练习时请注意公式的准确运用及计算的规范性.

3.解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

第1页,共21页

12345

证明见解

BBA析

67��=2(�8=1,2,3)910

证明见解析CBC

14��

1112±131415

证明见解析,9=�(�+2)

CACCD

1

1617181920

��=�

BDA

2�=1

2122�2−39�2425

�=16

CABCABACD

262728291370

,证明29

ACD见解析BDA

�1=5,�2=10

3132333435

BCDAC4�−18D

(3)5−�

34���

363738�−13940

5(9)=3−2

DAAB

414243

11

DA

��

�=�−21�−1,�

考点1:数列的概=念2与简单表示法

考法1:利用数列的通项公式求指定项

1.(单选)已知数列满足,则()

A.{��}B�.1=2,��+1=3��−�C.�3=D.

【答案】

1B4131211

【解析】由题意,,

则�1=2,

�2=3�1−1=3×2−1=5.

【点拨】已知递推公式求数列的项,直接依次代入计算即可,注意角标的对应关系

�3=3�2−2=3×5−2=13.

第2页,共21页

2.(单选)已知数列通项公式为,若,则()

�−2,1≤�≤9

{��}��=��=21�=

A.B.2�+1,�C≥.10D.

【答案】

9B101112

【解析】若,则,解得,不合题意;

若,1则≤�≤9��=�,解−得2=21,符�合=题2意3.

【�点拨≥】10分段数��列=求2项�数+,1需=分21类讨论,�将=值1代0入各段通项公式求解,并检验结果是否满足该段

的定义域.

3.(解答)设是项数为且各项均不相等的正项数列,满足下列条件

的数列称为{��}的“�等(�比≥关3联,�数∈列�”):

①数列{��}的项{数��为}�−;

�(�−1)∗

②中{�任�}意两项乘积都2是(�≥中3的,�项∈;�)

③{��}是公比大于的等比{数��列}.

({1�)�}已知数列1是的“等比关联数列”,且,,,求数列

的通项公式{;��}{��}3−�1=1�2=2�3=4

{��}

【答案】

【解析】�解�:=(21()�由=题1,2意,3,)是的“等比关联数列”,

则的项数为,且{��各}项{为��}3−……2分

3×(3−1)

因{为��}是公比大于2的=等3比数列,�1�2=2,�1�3=4,�2�3=8

所以{��}1…………4分

所以�1=是2首,�2项=为4,�,3公=比8为的等比数列,

其通{项��公}式为22………………6分

【点拨】理解新��定=义2数(�列=的1性,2,质3),根据定义列出有限项,再结合等比数列的通项公式求解.

考法2:数列的单调性判断

4.(单选)设数列的通项公式为,则“”是“数列为单调

2

递增数列”的({��})��=�+��+2�>−2{��}

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】A

【解析】数列为单调递增数列,等价于对任意恒成立,

{��}��+1>���∈�

第3页,共21页

即,化简得,

22

即(�+1)+�(对�+任1意)+2>�恒成+立��.+22�+1+�>0

因�为>−2�−1的最大值�(∈当�时)为,所以.

所以−“2�−1”是“�”=的1充分不必−要3条件.�>−3

【点拨】�>判−断2数列的单�>调−性3,常转化为(或)恒成立问题,再利用分离参数法求

参数范围,最后结合充分必要条件的定义��+进1行−判��断>.0<0

考点2:等差数列的判断与证明

考法3:利用定义证明等差数列

为奇数

5.(解答)已知数列的首项是,

为偶数

��+1,�,

{��}1��+1=

(1)证明:的奇数项成等差数列;��+2,�.

{��}

【答案】证明见解析

【解析】证明:(1)当为奇数时,为偶数,

为奇数��+1

由得……………2分

为偶数

��+1,�

��+1=��+1=��+1

则��+2,�……………………4分

即��+2=��+1+,2=(��+1)+2=��+3

故��+2的−奇��数=项3是首项为,公差为的等差数列……6分

【{点��拨}】证明奇数项成等�差1数=列1,只需证3明为常数即可,利用递推关系连续代换两

次.�2�+1−�2�−1

6.(解答)已知数列的前项和为,且.

(3)设,求证{�:�}数列�中任�意�不同的2�三�=项都��不+能2(构�成∈�等差)数列.

1

��=��{��}

【答案】证明见解析

【解析】证明:(3)由,当时,,得……2

分2��=��+2�=12�1=�1+2�1=2

当时,,两式相减得,即…………4分

所�以≥2是首2项�为�−1=,�公�−比1为+2的等比数列,2��−2�…�−…1=…�…�……�…�…=…2�…�−…1…………6分

所以{��}2………2…��…=…2………8分

111�

��=��=2=2

第4页,共21页

假设中存在不同的三项(不妨设)构成等差数列,

����

则{�},即�,�,�……�…<…�<…�…………………10分

1�1�1�

两边2�同�=乘��,+得��22=2+……2………12分

��−�+1�−�

因为2,2所以=2+1,,

所以�左<边�为<偶�数,右边�−为�奇+数1,≥矛2盾�…−…�…≥…2………………14分

故中任意不同的三项都不能构成等差数列……………15分

【{点��拨}】证明数列中不存在三项成等差数列,常用反证法,假设存在,利用等差中项性质导出矛

盾.

考点3:等差数列的通项公式与基本量计算

考法4:已知等差数列两条件求通项

7.(单选)设等差数列的前项和为,若,,则()

A.{��}B.����4=C7.�9=90�7=D.

【答案】

2C0181615

【解析】设等差数列的公差为,

由得{��},�所以.

9(�1+�9)

又�9=90,所以公2差=9�5=90.�5=10

则�4=7�=�5−�.4=3

【�点7拨=】�5等+差2数�=列1求0和+公6式=与16等差中项的结合应用,灵活运用可简化计算.

�2�−1=(2�−1)��

8.(单选)已知是公差不为的等差数列,,若成等比数列,则

()|��|0�1=−2�1,�4,�6�3=

A.B.C.D.

【答案】−20141618

14

【解析】±设等9差数列的公差为,

因为,所以{|��|}.�(�≠0)

则�1=−2|�1|=2,.

因|为�4|=|�1|成+等3�比=数2列+,3�所以|�6|=|�1|+,5�=2+5�

2

即�1,�4,�6.�4=�1�6

2

所|以�4|=�1�6.

2

因为(2+3�)=−,2�所6以.

2

所以(2+3�)≥0�6≤.0

�6=−|�6|=−(2+5�)

第5页,共21页

代入得,

2

展开得(2+3�)=−2[−(2+5�,)]即=4+10�.

22

因为4+,1解2�得+9�=.4+10�9�+2�=0

2

所以�≠0�=−9.

214

31

所以|�|=|�.|+2�=2+2×(−9)=9

14

【点�拨3】=利±用9等差数列的通项公式将条件转化为关于首项和公差的方程,结合等比中项的性质求

解.

9.(多选)已知数列的前项和为,满足,

则(){��}���2��+1=��+2+��,�1=2025,�2025=2025

A.存在,使得

B.�∈���=0

存�在,使得

C.�=2027−2�

的最�∈大�值为��=0

D.2

1013

【答案】�B�C2

【解析】由知为等差数列.

由2��+1=��+2+��,{得��}.

2025(�1+�2025)

因�为2025=,2所以=2025�1+�2025=2.

公差�1=2025�2025=2−2.025=−2023

�2025−�1−2023−2025

所以�=2024=2024=−2.

对于�A�,=令�1+(�−1)�=2025,−得2(�−1)=20,2不7−是2整�数,故A错误;

对于B,��=2027−2,�故=B0正确�;=1013.5

对于C,��=2027−2�.令,得,存在,

�(�−1)2

故C正确�;�=��1+2�=2025�−�(�−1)=−�+2026���=0�=2026

对于D,.当时,取得最大值,故D

2222

错误.��=−�+2026�=−(�−1013)+1013�=1013��1013

【点拨】根据递推关系判定数列为等差数列,利用求和公式求出公差和通项,再结合二次函数的

性质求最值.

10.(解答)已知数列中,,,且数列为等差数列.

��

(1)求的通项公{式��;}�1=3�3=15{�}

{��}

第6页,共21页

【答案】

【解析】�解�:=(�(1�)+设2等)差数列的公差为,

��

由得{�…}…………�……………2分

�1�3

所�以1=3,�3=151=3,3,=解5得………………4分

�3�1

所以2�=3−1=5−3=2�=1…………6分

���1

即�的=通1项+公(�式−为1)�=3+(�−1…)…=…�…+2………………8分

【{点��拨}】将新数列看�作�一=个�(整�+体2,)利用等差数列的通项公式求出其公差和通项,再还原出原数列

的通项.

11.(解答)已知数列满足,且.

��

�1�+1�

(1)求证:是等{差�数}列,�并=求1的�通项=公�式+;1

1

{��}{��}

【答案】证明见解析,

1

【解析】解:(1)由�=�,取倒数得……3分

��1��+11

�+1��+1��

即………�………=…�+…1……………�……=……�…=…�…+…1……5分

11

�+1�

所�以数−列�=1是首项为,公差为的等差数列………………7分

11

�1

所以{�}�=1…………1……………………9分

1

故�的=通1项+公(�式−为1)×1=…�…………10分

1

【{点��拨}】对于形如��=�的递推公式,常采用取倒数的方法构造等差数列求解.

��

��+1=���+�

考法5:等差数列的角标性质应用

12.(单选)已知等差数列的公差为,则()

A.{�B�}.−3�11−C.�2=D.

【答案】

3C−9−2730

【解析】由等差数列的通项公式性质可知,.

【点拨】熟练掌握等差数列的性质�11−�2=可(1快1−速2求)�解=.9×(−3)=−27

��−��=(�−�)�

13.(多选)设是等差数列的前项和,若,则下列结论正确的是

�7

()��{��}��15<0,�8<−1

A.

B.�<0

78

|�|<|�|第7页,共21页

C.时,最大

D.�使=7的��的最大值为

【答案】A�C�>0�13

【解析】由,得.

又,�因15为=15�8<,0所以�8<0.

�7

所�以8<−1�8,<公0差�7>−�8>,0故A正确;

因为�7>0,�8,<所0以�=�8,−故�7B<错0误;

因为�7>−�8,|所�7以|>前|�8项|为正,从第项开始为负,所以最大,故C正确;

�7>0,�8<0,7,所以8使的的最大�值7为,故D错误.

�【14点=拨7】(�利7+用�等8)差>数0列前�15项=和15公�8式<的0性质��>0�确定中间1项4的符号,再结合公差判

断各项的正负情况.��2�−1=(2�−1)��

考点4:等差数列前n项和

考法6:等差数列求和公式的基本量计算

14.(单选)设等差数列的前项和为,若,则()

A.{��}B.����2=C.6,�4=16�6=D.

【答案】

2C6283032

【解析】在等差数列中,成等差数列.

因为,�2,�4−�2,,�6−�4

所以�2=6�4−�2=16−6=1.0

则�6−�4=10+(10−6)=.14

【�点6拨=】�4利+用14等=差1数6列+前14=项3和0的性质:成等差数列,可大大简化计算.

���,�2�−��,�3�−�2�

15.(单选)等差数列前项的和为,已知,则

238

(){��}�����−1+��+1−3��=0,�2�−1=3

�=A.B.C.D.

【答案】

7D8910

【解析】由等差数列性质,,代入条件得,解得或

2

.��−1+��+1=2��2��−3��=0��=0

2

�又�=3.

38

2�−1�

若�=,(则2�−1)�=3,不合题意.

38

��=0�2�−1=0≠3

第8页,共21页

若,则,解得,即.

2238

【�点�拨=】3灵活(运2�用−等1差)中×项3=性3质2�−1=19及前�项=和10性质.

��−1+��+1=2����2�−1=(2�−1)��

16.(单选)等差数列中,,,则数列的前项和为

(){��}�3+�7=12�5⋅�8=54{��}10

A.B.C.D.

【答案】

5B565110130

【解析】由等差数列性质得,所以.

代入,得�3+,�所7以=2�5=.12�5=6

公差�5⋅�8=546�.8=54�8=9

�8−�59−6

�=3=3=1.

10(�1+�10)

�【10点=拨】利2用等=差5数(�列3+的�性8)质=5(�5−2�+�8)=5(6−2+9)=求6出5关键项,再代入求和公式.

��+��=��+��(�+�=�+�)

(单选)已知等差数列的公差,且,当时,数列

17.22

sin�3−sin�7

的前项和取得最小{值��,}则首项�∈的(0取,1值)范围是sin((�3+�7))=−1�=10

{��}A.���B.�1C.D.

5�9�5�9�5�9�5�9�

【答案】(D−8,−16)[−8,−16](−4,−8)[−4,−8]

【解析】.

221−cos2�31−cos2�7cos2�7−cos2�3

373737

所以sin�−sin�=,2即−2=.2=−sin(�+�)sin(�−�)

−sin(�3+�7)sin(�3−�7)

37

因为sin(�3+�7),且=−1,sin所(�以−�)=1.

由�3−�7=−4�得�∈(0,1),在−4�∈(−内4只,0)有符合,所以,即.

����

当sin(−4时�),=1取得−最4�小=值−,2说+明2��(−且4,0).−2−4�=−2�=8

�=10���10≤.0�11≥0

9�9�

�10=�1+9�=�1+8≤0⇒�1≤−8.

5�5�

�所11以=�1+10�=�1+.4≥0⇒�1≥−4

5�9�

【点�拨1】∈利[−用4三,角−恒8等]变换化简条件求出公差,再根据前项和取最小值的条件(末项非正,下一

项非负)列不等式组求解.�

18.(填空)已知是等差数列的前项和,设为数列的前项和,若,

��

,则��_____{_��.}���{�}��6=12

�【12答=案1】68��=

2

【解析】�数列−9�是等差数列.设其首项为,公差为.

��

{�}��

第9页,共21页

由得,.

�6�12

所�以6=12,�12=,1686=2.12=14

解得�+5�=2�+1,1�=14.

所以6�=12⇒�=2�=2−10=.−8

��

�=−8+(�−1)×2=2�−10

��.

�(�+)

��(−8+2�−10)2

�【�点=拨】2熟记=等差数2列前=项�和(�的−性9质)=:�数列−9�也是等差数列,利用此性质可快速求出通项并求

��

和.�{�}

19.(解答)在等差数列中,.

(2)记等差数列的{前��}项和为�2=,6求,�6=2时的值.

{��}�����=���

【答案】或

【解析】�解=:1(2)�由=16,得公差

�6−�22−6

首项�2=6,�6=2�=4=4=−1

所以�1=�2−�=6−(−1)=7

��=7+(�−1)(−1)=8−�分

2……………2

�(�−1)15�−�

令�=7�+,即2(−1)=2……………………5分

2

15�−�

整�理�得=��2=8−…�…………8分

2

解得�−或17�+16…=…0………………11分

所以�=1时�=的1值6为或……………………13分

【点�拨�】=先��求出�等差数列1的基16本量,写出通项公式和前项和公式,再根据等量关系建立关于的

方程求解.��

考法7:等差数列前n项和的最值问题

20.(单选)等差数列的前项和为,公差,,则使的

的最大值为(){��}����<0�2024⋅�2025<0��>0�

A.B.C.D.

【答案】

1A012101320242025

【解析】.

2024(�1+�2024)

�2024=.2=1012(�1012+�1013)

因为,所以递减

�2025=2025�1013.

�<0��

第10页,共21页

�即2024⋅�2025<0⇒1012(�.1012+�1013)⋅2025�1013<0

因(为�1012+,�1所01以3)�1013<0.

若�<0,则�1012>�,1013,矛盾.

所�以1013>0.�1012>0(�1012+�1013)�1013>0

此时�要10使13乘<积0小于,必须.

因为,且0�1012+�,10所13以>0.

所以�1013<0,�1012+.�1013>0�1012>−�1013>0

因此�使1012>0的�1的01最3<大0值为.

【点拨】��利>用0等差�数列前项和10的1性2质将条件转化为相邻两项的符号关系,结合公差判断正负项的

分界点.�

21.(单选)等差数列的公差为,前项和为,若,,则当

取得最大值时,({��}(�)∈�)�����3=27�3=7��

A.�=B.C.D.

【答案】

4C567

【解析】由,得.

公差�3=3�2=27�.2=9

�=�3−�2=7−9=−2.

令,得,即

��=�2+(�−2)�=9−2(�−2)=1.3−2�

所�以�≥013−,2�≥0.�≤6.5

当�1,⋯时,�,6>取0得�最7大<值0.

【�点=拨6】求等�差�数列前项和的最大值,只需找出所有非负项,令通项求解即可.

���≥0

22.(多选)已知数列的前项和,则下列说法正确的是()

2

A.的最大值为{��}���=9�−�

B.��成等比2数0列

C.�数1,列�7,�4为单调递减数列

��

D.数列{�}为单调递增数列

��

【答案】ABC{�}

【解析】对于A,.当或时,取得最大值,

9281

�,�故=−A(正�−确2;)+4�=4�=5���4=36−16=20

�对5于=B45,−25=20.

22

,��=��,−��−1=.因9�为−�−[9(�,−1)−(�,−所1)以]=10−2成�等比数列,故B正确;

2

�1=8�7=−4�4=2�1�4=16�7=16�1,�7,�4

第11页,共21页

对于C,,为单调递减数列,故C正确;

��

对于D,�=9−�,为单调递减数列,故D错误.

��10−2�10

【点拨】已�知=�求=利�用−2,求最值可利用二次函数的性质,注意自变量为正整数.

������=��−��−1�

23.(多选)数列的前项和为,则下列说法不正确的是()

A.若{��},�则数列��的前项和最大

B.若等��比=数−列2�+1是3递减数列{,��则}公比5满足�5

C.已知等差数{列��}的前项和为,若�0<,�<则1

D.已知为等差{�数�}列,�则数列��也是�等20差25数>列0�1013>0

��

【答案】AB{��}{�}

【解析】对于A,,令.所以前项为正,最大,且

,��=−2,�所+以13最大值��不>唯0一⇒,2选�项<说13⇒最�大≤是6错误的(6应为和�同6为最大

�值6)=,1,故�7A=错−误1;�5=�6�5�5�6

对于B,若等比数列是递减数列,若,则时也是递减数列,公比不一定满足

,故B错误{�;�}�1<0�>1�

0对<于�C<,1,故C正确;

对于D,�2025=2025�1013>0⇒�1013>,是0关于的一次函数,所以是等差数列,故D正确.

���−1��

题目要求选�=不正�1确+的2,�故=选2�A+B.(�1−2)�

【点拨】等差数列前项和的最值可能在相邻两项取得(当某项为时);等比数列的单调性与首

项的符号和公比的范围�均有关.0

考法8:等差数列前n项和与通项的关系

24.(多选)已知数列的前项和为,则下列说法正确的是()

2

A.数列为递减{�数�}列���=−�+11�

��

B.当且仅{�当}时,取得最大值

C.�=5��

�是等比数列

D.�=−2�+12

��

【答案】{2ACD}

【解析】对于A,,为递减数列,故A正确;

��

对于B,�=−�+11,当或时取得最大值,故B错误;

112121

对于C,��=−(�−2)+4�=5�=6,故C正确;

22

��=��−��−1=−�+11�−[−(�−1)+11(�−1)]=−2�+12

第12页,共21页

对于D,,是等比数列,故D正确.

��−2�+1212�

【点拨】2利用=2=2求⋅(通1/项4),注意检验时是否符合;指数型数列的底数恒定,指数

成等差数列,则��该=数��列−为�等�−1比数列.�=1

25.(填空)设两个等差数列的前项和分别为,若对任意正整数都有

��

�����

,则的值为_{�_}_,{�_}__.��,���=

2�−1�2�8

【3�+答2案】�4+�6+�3+�7

17

【解析】2由9等差数列的性质,.

�2�8�2�8�2+�82�5�5

463755555

根据等差数列前项和的性质,�+�+�+�=2�+2.�=2�=2�=�

�5�92×9−117

59

【点拨】等差数�列中,�是=常�用=的3重×9要+2性=质29,结合等差中项可快速化简求值.

���2�−1

��=�2�−1

考点5:等比数列的判断与证明

考法9:利用定义证明等比数列

26.(多选)已知为数列的前项和,若,,则下列选项正确的是

()��{��}��1=3��+1=��

A.

数2列是等比数列

B.�=3

C.{��}

�−1

D.��=3⋅2

【答案】

�A�C≥D��

【解析】对于A,,故A正确;

对于B,当时�2,=�1=�1=3.所以从第二项起是公比为的等比

数列,但�≥2��+1=�,�所=以��−1+不��是=等�比�+数�列�,=故2�B�错误;2

对于C,�2/�1,=3/3=1≠2,{��}

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