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文档简介

专题二:求数列的通项公式(解析卷)

考点1:由递推关系求通项——累加法..........................................................................................1

考法1:形如的累加法.......................................................................1

考点2:由递推关系求通项——累乘法..........................................................................................3

𝒂+�−𝒂=�(�)

考法2:形如的累乘法............................................................................3

考点3:由递推关系求通项——构造法..........................................................................................4

𝒂+�𝒂=�(�)

考法3:数列的周期性判断与应用.......................................................................................4

考法4:形如的构造法.....................................................................6

考点4:利用与的关系求通项................................................................................................7

𝒂+�=�𝒂+�(�)

考法5:已知与的关系求..........................................................................................7

𝒂𝒂

考法6:已知与的关系求通项.....................................................................................8

𝒂�𝒂

𝒂𝒂

12345

见解析,

BABA�

6320

678910

�(�+1)81,+∞

CBAC见解析

1112131415

见解析见解析64见−解1析见解析

1617181920

见解析见解析CD见解析见解析

2122232425

见解析见解析见解析AABD

考点1:由递推关系求通项——累加法

考法1:形如的累加法

𝒂+�−𝒂=�(�)

1.(单选)

【答案】B

【解析】设该数列为,则.

记,则{��}�1=2,�2=3,,�3=6,�4=11

可知��=��是+1以−1��为首项�,1=2为1,公�2差=的3,等�3差=数5列,

所以{��}.

当��=时1,+(�−1)×2=2�−1

�≥2��=�1+(�2−�1)+(�3−�2)+⋯+(��−��−1)

=2+�1+�2+⋯+��−1

第1页,共12页

.

(�−1)[1+(2�−3)]2

=当2+时,2=�−2�+3,满足上式.

2

所以�=11−2×.1+3=2=�1

2

当��=时�,−2�+3.

2

故选�=B.27�27=27−2×27+3=729−54+3=678

【点拨】本题考查利用累加法求数列的通项公式.对于形如的递推关系,通常采

用累加法求解,注意最后要检验的情况.��+1−��=�(�)

�=1

2.(多选)

【答案】AB

【解析】对于A,由,得,

222

则��=�+�Δ,��=(�+1)+(�+1)−(�+�)=2�+2

2

显然Δ当��=2(�时+,1)+2−(2�恒+成2)立=,2故A正确;

2

对于B:�由>2Δ��<�,得,

�−1�−1

当时,Δ��=(�+2)⋅2��+1−��=(�+2)⋅2

即�≥2��=�1+(�2−�1)+(�3−�2)+⋯+(��−,��−1)

012�−2

于是��=1+3×2+4×2+5×2+⋯+(�+1)×2,

012�−2�−1

两式相2�减�得=2×2+3×2+4×2+⋯+�×2+(�+1)×2

�−1

12�−2�−11−2�−1

,−��=1+1+2+2+⋯+2−(�+1)×2=1+1−2−(�+1)×2=

�−1

−因�此×2,显然满足上式,则,故B正确;

�−1�−1

对于�C�:=由�×2�1=1��=�×2,

��−1�−1

所以数列��+是1递−增��数=列(�,+则1)×有2最−小�值×21,无=最(大�+值2,)×2>0

当{��}时,不存在��,使得,故C错误;

对于0<D,�<1�∈��<�,由选项B得,

2

2��−1�−1Δ��4

��

显然数列Δ�=(是�递+3减)数⋅2列−,(且�+2)⋅2=((�+4)⋅)2,�=1+�

44∗

因此当1+时�,不存在,1使<得1+�≤5�成∈立�,故错误

2D.

∗Δ��

故选:A�B>.5�∈���>�

【点拨】本题考查了数列的新定义问题,涉及累加法求通项公式以及错位相减法的应用.在处理累

加法时,要注意项数的对应关系,并在最后验证时是否满足通项公式.

�=1

3.(单选)

【答案】A

【解析】由得,

��+2+��=2��+1+1��+2−��+1=��+1−��+1

第2页,共12页

所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,

则{��+1−��}�2−�1=2.

当��+1−时�,�=2+(�−1)×1=�+1

�≥2��=�1+(�2−,�1)+(�3−�2)+⋯+(��−��−1)

�(�+1)

当=1+2+时3,+⋯+�满=足上2式,故.

�(�+1)

1�

因为�=1�=,1所以�=2.

1111

����

则数列2�⋅�的=前150项和�为=2�=�(�+1)=�−�+1.

11111150

故选A.{��}�50=1−2+2−3+⋯+50−51=1−51=51

【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和.通过构造等差数列求出

,再利用累加法求出,是解决此类问题的通法.

��+1−����

考点2:由递推关系求通项——累乘法

考法2:形如的累乘法

𝒂+�

𝒂=�(�)

4.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(2)设的公差为,的公比为,则依题意有,

因为,{��},�{��},��>0

�1=�1=1�3�2=50�5+�2=�3+�4+5

所以,解得或11.

�=−2

(1+2�)�=50�=225

�=8

由于(1+是4各�)项+都�为=正(1整+数2�的)等+比(1数+列3�,)+所5以.�=6

所以{��},�=2,�=.8

�−13�−3

因为��=1+(�,−所1以)×2=2�−1�…�…=…8……=…2………………2分

3�−3

所以��=2log2��+1,=3�

−8+3�

18−3�

����+1=2=2……………………4分

8−3(�+1)5−3�

�两�+式1�相�+除2得=:2=…2…………6分

��+21

由,��=8,得…………8分

8−3

所以�1=16�1�2是=以2=32为首项�2,=以2为公比的等比数列;

1

1351

�,�,�是,以⋯�为=首1项6,以为公比8的等比数列……10分

1

�2,�4,�6,⋯�2=28

所以当为奇数时,�−1,

122

���=16×8=1624

第3页,共12页

当为偶数时,�−2……11分

122

��=2×8=164为奇数

所以的通项公式2………………12分

1624,�为偶数

���

{�}�=2

【点拨】本题考查了等差、等1比6数4列,的基本�量计算,以及利用累乘法或奇偶项讨论求数列的通项

公式.处理形式的递推式时,通常通过两式相除,转化为奇偶

项的等比(�或��等�+差1=)�数(�列)求解.��+1��+2=�(�+1)

5.(填空)

【答案】;

6320

【解析】�解(�:+1由)于81,+∞,

3�13�23��111�∗

所以当时,有�2+�3+⋯+��+1=1+2+3+⋯+�+2(�∈�,)

3�13�23��−1111�−1

两式相减�可≥得2�2+�3+,⋯即+当��=1时+,2+3+⋯+,�−1+2

3��11�+2��+16�

当时,求��得+1=�+2,=即2�也�符≥合2该递推�关�系=,�+2

�2

�=1�2=6�1=2

所以.

�−1�

����−1�26(�−1)!6

(�+1)!

��−1�−211

�=�⋅�⋯��=2×3=�(�+1)

由于,令,

��

�22

���≥4⇒�≥3⋅�(�+1)��=3�(�+1)

由于2�+1,

��+13(�+1)(�+2)2�+424

2�

��3�33�

当时=,3�(�+,1)当=时=单调+递增,当时单调递减,

所以�=4�4=�5�<4,故数列最�大>项4为,即.

320320

【点拨�1】<本�2题<考�查3<了�由4递=推�5关>系�6求>数⋯列的通项公式以及数8列1的最值�≥问题81.通过作差法求出相邻两项

的比值,再利用累乘法求出通项公式是解题的关键.

考点3:由递推关系求通项——构造法

考法3:数列的周期性判断与应用

6.(单选)

【答案】C

【解析】由得.

1+��

(1−��)(1+��+1)=2��+1=1−��

因为,所以,,1,1.

1+21−311−211+3

12341511

�=2�=1−2=−3�=1−(−3)=−2�=1−(−2)=3�=1−3=2=�

第4页,共12页

所以数列是周期为4的周期数列.

则{��}.

1

故选�10C0.0=�4×250=�4=3

【点拨】本题考查了由递推关系求数列的项.对于非线性的递推关系,通常通过计算前几项寻找数

列的周期性,进而求出高次项的值.

7.(单选)

【答案】B

【解析】由得.

因为��+1=,��+2+����+2=��+1−��

所以�1=6,�2=3,,,,

�3=3−6=−,3�4=−3−3=−6.�5=−6−(−3)=−3�6=−3−(−6)=3�7=

3所−以(数−列3)=6是=周�1期为�86=的6周−期3数=列3=.�2

因为{��},

所以2025=337×6.+3

故选�B2.025=�3=−3

【点拨】本题考查了数列周期性的判断与应用.遇到形式的递推关系,可通过写

出前几项发现其周期为6,这是解决此类问题的常用�技�+巧2=.��+1−��

8.(多选)

【答案】AC

【解析】由且,

11

�+1�1

得�=,1故−�A正�确;=−3

13

21

�=1−(−3)=4

,.

111

3

341−431

所�以=数1−列4=4是�周=期为=3−的周=期�数列,故C正确;

因为{��,}所以不是递增数列,故B错误;

因为�3>�4{,��所}以,故D错误.

故选2A0C2.5=675×3�2025=�3=4

【点拨】本题考查了由递推公式求数列的项及周期性.对于分式线性递推数列,常通过计算前几项

寻找周期规律.

9.(填空)

【答案】

−1

第5页,共12页

【解析】由,,

1

1�+1�

得�=−,1�=1−�,.

1111

23141

�=1−(−1)=2�=1−2=2�=1−2=−1=�

所以数列是周期为3的周期数列.

因为{��},

所以100=33×3+.1

【点拨�1】00本=题�1考=查−了1数列周期性的应用.通过递推公式依次求出数列的前几项,发现周期为3是解

题的关键.

考法4:形如的构造法

�+��

10.(解答)�=��+�(�)

【答案】见解析

【解析】证明:(1)由,两边同除以得……2

��+13��1

��+1�+1�

分��+1=3��+222=2⋅2+2

因为,所以…………4分

��31

���+1�

即�=2�…=…2�…+…2………………6分

3

又��+1+1=2(��+1),

�13

1

所以�数+列1=2+1是=以2≠0为首项,为公比的等比数列……8分

33

【点拨】本{�题�+考1查}了利用2构造法证2明等比数列.对于形如的递推关系,通常两边同

除以转化为的形式,再构造等比数列��求+1解=.���+�

�+1

���+1=���+�

11.(解答)

【答案】见解析

【解析】证明:(1)由,两边同除以得………………2分

��+1��+1��1

�+1��+1�

因为,所�以−3�=3………………3………3……−…3…=…3……4分

��1

−��

又��=3�,�=3��+1−��=3

�1

1

所以�数=列3=1是以1为首项,为公差的等差数列……………6分

1

【点拨】本{�题�}考查了利用构造法3证明等差数列.对于形如的递推关系,两边同除以

即可构造出等差数列.��+1=���+�

�+1

12.(解答)

【答案】见解析

第6页,共12页

【解析】证明:(2)在由正整数构成的数列中,恰为1阶相邻递增数列的情形

可以由以下两种方法进行构造:1,2,3,⋯,�,�+1

①在递减数列中任选一项的右边放,使此数列为1阶相邻递增数列,共有

种排法;�,�−1,⋯,1�+1

1

�②�在=由�正整数构成1阶相邻递增数列中,若只有第项满足,则将放在

的右侧或者放1,2在,3,⋯,的�左侧即可,此时共有种排法………�………�…�…<�3�+分1�+1

�故�…�1……………2…��………5分

所以��+1=2��+�……7分

易知��+1+,(�则+1)+1=2��+,2�+2=2(��+�+1)

所以�1=0�是1+首1项+为12=,2公比为2的等比数列………………9分

所以{��+�+1},即………………11分

��

【点拨��】+本�题+考1查=了2利用递��推=关2系−求�数−列1通项公式以及排列组合的构造思想.通过分类讨论建立

与的递推关系是解决本题的难点,随后利用待定系数法构造等比数列即可求出通项.

��+1��

考点4:利用与的关系求通项

𝒂𝒂

考法5:已知与的关系求

��

13.(填空)���

【答案】64

【解析】当时,;

2

当时,�=1�1=�1=2−2=2,

�+1��

当�≥2时,��=��满−足��上−1式=,2故−2−(.2−2)=2

因为�=1�1=2,��=2

所以�+�=10(�,�∈�),

�����+�10

当且仅��当+��=2+时2等≥号2成2立⋅.2=22=22=64

所以�=的�最=小5值为64.

【点拨��】+本��题考查了利用与的关系求通项公式,以及基本不等式求最值.注意在求通项公式

时,必须检验的情况��是否�符�合时的通项公式.

�=1�≥2

14.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)由题意知……2分

3�−1�−1�

所以…�……=…3…⋅3……=…3…………4分

3�−1

��=3

第7页,共12页

当时,……………………5分

2

11

当�=1时,�=�=3……………7分

3�−13�−4

���−1��−1

�≥2�=�−…�……=……3…−…3………8分

3�−1−3(3�−4)11−6�

��

当=3时,=3,

11−65

�=13=3≠�1

故2………10分

3,�=1

�11−6�

�=�

【点拨】本3题考,查�了≥利2用与的关系求通项公式.在利用求解时,务必单独检

验时的情形,若不符��合则�需�写成分段函数的形式.��=��−��−1

�=1

15.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)当时,………………2分

1

当时,�=1……�…1…=…�1…=…2…×1…×…2…=…1……4分

�≥2��=��−��…−1……………6分

11

=2�(�+1)−2(�−1)�……………………7分

1

=当2�(�+时1,−�+1)也=满�足上式,

所以�数=列1�的1=通1项公式为…………8分

【点拨】本{�题�}考查了利用与��=�的关系求通项公式.熟练掌握并运用公式

是解题的基础.������=��−��−1(�≥2)

考法6:已知与的关系求通项

��

16.(解答)��

【答案】见解析

【解析】证明:(1)由得……2分

当时,�,�即+��=1,�解�=得1−��…………4分

1

当�=1时,�1+�1=12�1=1�1=2…………6分

整理�得≥2��=,��即−��−1=(…1…−�…�…)−…(…1−…�…�−…1)…8分

��1

��−1

又2�=,���−1=2

1

1

所以�数=列2≠0是以为首项,为公比的等比数列……10分

11

【点拨】本{�题�}考查了2利用与2的关系证明等比数列.遇到含有与的混合关系式时,通常

利用消去��,转�化�为只含的递推关系.����

��−��−1=������

第8页,共12页

17.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)由①,

2

当时,2��=2��+�−1………………2分

2

①-�②≥得2:2��−1=2��−1+(�−1)−1②………4分

22

即2��−2��−1=2��−2…�…�−1…+…�…−…(…�…−1…)………6分

整理2�得�=2��−2��−1+,2即�−1…………………8分

1

�−1�−1

所以2�=(2�−1)……�………=…�−…2…………………10分

1

【点拨��】=本�题+考2查�了≥利1用与的关系求通项公式.通过写出第项的关系式并作差,是消

去的标准处理方法.�����−1

��

18.(多选)

【答案】CD

【解析】已知,则,所以A错误;

由��+1=�1+�2+⋯,+可�得�=���2,=�1=1

可得��+1=�1+�2+⋯+��=��,即��+2=��+1,

当��+2时−,��+1=��+,1即−�数�列=��+1自第二��项+2开=始2是��+以11为首项,2为公比的等比数列,即

32�

�=1�=2,�所以B错误{�;}

1,�=1

��=�−2,所以正确,

2,�≥2C

�当2=�1+时�,2=1+1,=符2合条件,

当�=1�1=时1,,所以正确;

�−1D

∗01�−21−2�−1

故选�:≥C2D,�.∈���=1+2+2+⋯+2=1+1−2=2

【点拨】本题考查了由与的关系求通项公式及前项和.通过作差法找到从第二项起成

等比数列是解题的关键,��注意�首�项的特殊性.���

19.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)由

2

可得��+��=2…��…+…2…①………………2分

2

由②-�①�+得1+��+1=2��+1+2②,

22

即��+1−��+��+1−…��…=…2…��…+1…………………4分

22

��+1−,��−��+1−��=,0

∵��>0∴��+1…+…�…�>…0……………………6分

∴��+1−��=1

第9页,共12页

又当时,得,解得或(舍去)……8分

2

可得数�列=1是首�项1为+�21,=公2差�1为+12的等差数�1列=,2�1=−1

即{��}…………10分

【点��拨=】�本+题1,考�查∈了�利用与的关系求通项公式.作差后利用因式分解提取公因式,结合数列

各项为正的条件得出等差数��列的�结�论是核心步骤.

20.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)因为,所以……2分

��2

当时,�+�=��+1��+�=…�…��…+…�…①…4分

2

①-�②≥得2:��−1+(�−1)=(�−1)��−1+�−1②………6分

22

所以��−��−1+�−(�−1)=���,−(�−1)��−1+1

所以��+2�−1=���−(�−1)��−1+1,

所以2(�−1)=(�−…1…)�…�…−…(�…−…1)…��…−1………8分

因为��−��,−1所=以2是以1为首项,2为公差的等差数列,

所以�1=1{��}……………………10分

【点拨��】=本1题+考2(查�了−利1)用=2�与−1的关系求通项公式.先将分式化为整式,再利用作差法消去,

化简得到等差数列的定义式��即可�求�解.��

21.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)当时,且,解得………………1分

当时,�=1�,�>0�1=1

两式�相≥减2得2��−1=��−1(��−1+1)…………3分

22

即2��=��+��−��−1−,��−1

(��+,��则−1)(��−��−1−,1)=0

∵��>0��+��−1…>…0……………………5分

∴��−是��以−11=为1(首�项≥,2)1为公差的等差数列,所以……6分

∴设{数��列}的公比为,则��=�,

�23427

即{�},解得�(�>0)…�…=…�…=……3,�……=…�…=…2…7………………8分

�1�=3

3�1=1,�=3

所以�1�=27……………………10分

�−1

【点拨��】=本3题考查了利用与的关系求通项公式以及等比数列的基本运算.作差后利用因式分

解得出等差数列是解题关键��.��

第10页,共12页

22.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)当时,且,解得…………2分

当时,�=1,2�1=�1+2�1=2

两式�相≥减2得2��−1=��−1+,2即……6分

所以是2以��2−为2首��项−1,=2�为�公比的��等=比2�数�−列1,

所以{��}…………8分

【点拨��】=本2题考查了利用与的关系求通项公式.直接写出第项的表达式并作差,即可

发现数列成等比数列.�����−1

23.(解答)

【答案】见解析

【解析】解:(1)因为,

所以��+2−…��…=…�…�+…2+…�…�+…1………………2分

即�

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