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文档简介
专题二:求数列的通项公式(解析卷)
考点1:由递推关系求通项——累加法..........................................................................................1
考法1:形如的累加法.......................................................................1
考点2:由递推关系求通项——累乘法..........................................................................................3
𝒂+�−𝒂=�(�)
考法2:形如的累乘法............................................................................3
考点3:由递推关系求通项——构造法..........................................................................................4
𝒂+�𝒂=�(�)
考法3:数列的周期性判断与应用.......................................................................................4
考法4:形如的构造法.....................................................................6
考点4:利用与的关系求通项................................................................................................7
𝒂+�=�𝒂+�(�)
考法5:已知与的关系求..........................................................................................7
𝒂𝒂
考法6:已知与的关系求通项.....................................................................................8
𝒂�𝒂
𝒂𝒂
12345
见解析,
BABA�
6320
678910
�(�+1)81,+∞
CBAC见解析
1112131415
见解析见解析64见−解1析见解析
1617181920
见解析见解析CD见解析见解析
2122232425
见解析见解析见解析AABD
考点1:由递推关系求通项——累加法
考法1:形如的累加法
𝒂+�−𝒂=�(�)
1.(单选)
【答案】B
【解析】设该数列为,则.
记,则{��}�1=2,�2=3,,�3=6,�4=11
可知��=��是+1以−1��为首项�,1=2为1,公�2差=的3,等�3差=数5列,
所以{��}.
当��=时1,+(�−1)×2=2�−1
�≥2��=�1+(�2−�1)+(�3−�2)+⋯+(��−��−1)
=2+�1+�2+⋯+��−1
第1页,共12页
.
(�−1)[1+(2�−3)]2
=当2+时,2=�−2�+3,满足上式.
2
所以�=11−2×.1+3=2=�1
2
当��=时�,−2�+3.
2
故选�=B.27�27=27−2×27+3=729−54+3=678
【点拨】本题考查利用累加法求数列的通项公式.对于形如的递推关系,通常采
用累加法求解,注意最后要检验的情况.��+1−��=�(�)
�=1
2.(多选)
【答案】AB
【解析】对于A,由,得,
222
则��=�+�Δ,��=(�+1)+(�+1)−(�+�)=2�+2
2
显然Δ当��=2(�时+,1)+2−(2�恒+成2)立=,2故A正确;
2
对于B:�由>2Δ��<�,得,
�−1�−1
当时,Δ��=(�+2)⋅2��+1−��=(�+2)⋅2
即�≥2��=�1+(�2−�1)+(�3−�2)+⋯+(��−,��−1)
012�−2
于是��=1+3×2+4×2+5×2+⋯+(�+1)×2,
012�−2�−1
两式相2�减�得=2×2+3×2+4×2+⋯+�×2+(�+1)×2
�−1
12�−2�−11−2�−1
,−��=1+1+2+2+⋯+2−(�+1)×2=1+1−2−(�+1)×2=
�−1
−因�此×2,显然满足上式,则,故B正确;
�−1�−1
对于�C�:=由�×2�1=1��=�×2,
��−1�−1
所以数列��+是1递−增��数=列(�,+则1)×有2最−小�值×21,无=最(大�+值2,)×2>0
当{��}时,不存在��,使得,故C错误;
∗
�
对于0<D,�<1�∈��<�,由选项B得,
2
2��−1�−1Δ��4
��
显然数列Δ�=(是�递+3减)数⋅2列−,(且�+2)⋅2=((�+4)⋅)2,�=1+�
44∗
因此当1+时�,不存在,1使<得1+�≤5�成∈立�,故错误
2D.
∗Δ��
故选:A�B>.5�∈���>�
【点拨】本题考查了数列的新定义问题,涉及累加法求通项公式以及错位相减法的应用.在处理累
加法时,要注意项数的对应关系,并在最后验证时是否满足通项公式.
�=1
3.(单选)
【答案】A
【解析】由得,
��+2+��=2��+1+1��+2−��+1=��+1−��+1
第2页,共12页
所以数列是以为首项,1为公差的等差数列,
则{��+1−��}�2−�1=2.
当��+1−时�,�=2+(�−1)×1=�+1
�≥2��=�1+(�2−,�1)+(�3−�2)+⋯+(��−��−1)
�(�+1)
当=1+2+时3,+⋯+�满=足上2式,故.
�(�+1)
1�
因为�=1�=,1所以�=2.
1111
����
则数列2�⋅�的=前150项和�为=2�=�(�+1)=�−�+1.
11111150
故选A.{��}�50=1−2+2−3+⋯+50−51=1−51=51
【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和.通过构造等差数列求出
,再利用累加法求出,是解决此类问题的通法.
��+1−����
考点2:由递推关系求通项——累乘法
考法2:形如的累乘法
𝒂+�
𝒂=�(�)
4.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(2)设的公差为,的公比为,则依题意有,
因为,{��},�{��},��>0
�1=�1=1�3�2=50�5+�2=�3+�4+5
所以,解得或11.
�=−2
(1+2�)�=50�=225
�=8
由于(1+是4各�)项+都�为=正(1整+数2�的)等+比(1数+列3�,)+所5以.�=6
所以{��},�=2,�=.8
�−13�−3
因为��=1+(�,−所1以)×2=2�−1�…�…=…8……=…2………………2分
3�−3
所以��=2log2��+1,=3�
−8+3�
18−3�
����+1=2=2……………………4分
8−3(�+1)5−3�
�两�+式1�相�+除2得=:2=…2…………6分
��+21
由,��=8,得…………8分
8−3
所以�1=16�1�2是=以2=32为首项�2,=以2为公比的等比数列;
1
1351
�,�,�是,以⋯�为=首1项6,以为公比8的等比数列……10分
1
�2,�4,�6,⋯�2=28
所以当为奇数时,�−1,
�
122
���=16×8=1624
第3页,共12页
当为偶数时,�−2……11分
�
122
�
��=2×8=164为奇数
�
所以的通项公式2………………12分
1624,�为偶数
���
{�}�=2
【点拨】本题考查了等差、等1比6数4列,的基本�量计算,以及利用累乘法或奇偶项讨论求数列的通项
公式.处理形式的递推式时,通常通过两式相除,转化为奇偶
项的等比(�或��等�+差1=)�数(�列)求解.��+1��+2=�(�+1)
5.(填空)
【答案】;
�
6320
【解析】�解(�:+1由)于81,+∞,
3�13�23��111�∗
所以当时,有�2+�3+⋯+��+1=1+2+3+⋯+�+2(�∈�,)
3�13�23��−1111�−1
两式相减�可≥得2�2+�3+,⋯即+当��=1时+,2+3+⋯+,�−1+2
3��11�+2��+16�
当时,求��得+1=�+2,=即2�也�符≥合2该递推�关�系=,�+2
�2
�=1�2=6�1=2
所以.
�−1�
����−1�26(�−1)!6
(�+1)!
��−1�−211
�=�⋅�⋯��=2×3=�(�+1)
由于,令,
��
�22
���≥4⇒�≥3⋅�(�+1)��=3�(�+1)
由于2�+1,
��+13(�+1)(�+2)2�+424
2�
��3�33�
当时=,3�(�+,1)当=时=单调+递增,当时单调递减,
所以�=4�4=�5�<4,故数列最�大>项4为,即.
320320
【点拨�1】<本�2题<考�查3<了�由4递=推�5关>系�6求>数⋯列的通项公式以及数8列1的最值�≥问题81.通过作差法求出相邻两项
的比值,再利用累乘法求出通项公式是解题的关键.
考点3:由递推关系求通项——构造法
考法3:数列的周期性判断与应用
6.(单选)
【答案】C
【解析】由得.
1+��
(1−��)(1+��+1)=2��+1=1−��
因为,所以,,1,1.
1+21−311−211+3
12341511
�=2�=1−2=−3�=1−(−3)=−2�=1−(−2)=3�=1−3=2=�
第4页,共12页
所以数列是周期为4的周期数列.
则{��}.
1
故选�10C0.0=�4×250=�4=3
【点拨】本题考查了由递推关系求数列的项.对于非线性的递推关系,通常通过计算前几项寻找数
列的周期性,进而求出高次项的值.
7.(单选)
【答案】B
【解析】由得.
因为��+1=,��+2+����+2=��+1−��
所以�1=6,�2=3,,,,
�3=3−6=−,3�4=−3−3=−6.�5=−6−(−3)=−3�6=−3−(−6)=3�7=
3所−以(数−列3)=6是=周�1期为�86=的6周−期3数=列3=.�2
因为{��},
所以2025=337×6.+3
故选�B2.025=�3=−3
【点拨】本题考查了数列周期性的判断与应用.遇到形式的递推关系,可通过写
出前几项发现其周期为6,这是解决此类问题的常用�技�+巧2=.��+1−��
8.(多选)
【答案】AC
【解析】由且,
11
�+1�1
得�=,1故−�A正�确;=−3
13
21
�=1−(−3)=4
,.
111
3
341−431
所�以=数1−列4=4是�周=期为=3−的周=期�数列,故C正确;
因为{��,}所以不是递增数列,故B错误;
因为�3>�4{,��所}以,故D错误.
故选2A0C2.5=675×3�2025=�3=4
【点拨】本题考查了由递推公式求数列的项及周期性.对于分式线性递推数列,常通过计算前几项
寻找周期规律.
9.(填空)
【答案】
−1
第5页,共12页
【解析】由,,
1
1�+1�
得�=−,1�=1−�,.
1111
23141
�=1−(−1)=2�=1−2=2�=1−2=−1=�
所以数列是周期为3的周期数列.
因为{��},
所以100=33×3+.1
【点拨�1】00本=题�1考=查−了1数列周期性的应用.通过递推公式依次求出数列的前几项,发现周期为3是解
题的关键.
考法4:形如的构造法
�+��
10.(解答)�=��+�(�)
【答案】见解析
【解析】证明:(1)由,两边同除以得……2
��+13��1
��+1�+1�
分��+1=3��+222=2⋅2+2
因为,所以…………4分
��31
���+1�
即�=2�…=…2�…+…2………………6分
3
又��+1+1=2(��+1),
�13
1
所以�数+列1=2+1是=以2≠0为首项,为公比的等比数列……8分
33
【点拨】本{�题�+考1查}了利用2构造法证2明等比数列.对于形如的递推关系,通常两边同
�
除以转化为的形式,再构造等比数列��求+1解=.���+�
�+1
���+1=���+�
11.(解答)
【答案】见解析
【解析】证明:(1)由,两边同除以得………………2分
��+1��+1��1
�+1��+1�
因为,所�以−3�=3………………3………3……−…3…=…3……4分
��1
−��
又��=3�,�=3��+1−��=3
�1
1
所以�数=列3=1是以1为首项,为公差的等差数列……………6分
1
【点拨】本{�题�}考查了利用构造法3证明等差数列.对于形如的递推关系,两边同除以
�
即可构造出等差数列.��+1=���+�
�+1
�
12.(解答)
【答案】见解析
第6页,共12页
【解析】证明:(2)在由正整数构成的数列中,恰为1阶相邻递增数列的情形
可以由以下两种方法进行构造:1,2,3,⋯,�,�+1
①在递减数列中任选一项的右边放,使此数列为1阶相邻递增数列,共有
种排法;�,�−1,⋯,1�+1
1
�②�在=由�正整数构成1阶相邻递增数列中,若只有第项满足,则将放在
的右侧或者放1,2在,3,⋯,的�左侧即可,此时共有种排法………�………�…�…<�3�+分1�+1
�故�…�1……………2…��………5分
所以��+1=2��+�……7分
易知��+1+,(�则+1)+1=2��+,2�+2=2(��+�+1)
所以�1=0�是1+首1项+为12=,2公比为2的等比数列………………9分
所以{��+�+1},即………………11分
��
【点拨��】+本�题+考1查=了2利用递��推=关2系−求�数−列1通项公式以及排列组合的构造思想.通过分类讨论建立
与的递推关系是解决本题的难点,随后利用待定系数法构造等比数列即可求出通项.
��+1��
考点4:利用与的关系求通项
𝒂𝒂
考法5:已知与的关系求
��
13.(填空)���
【答案】64
【解析】当时,;
2
当时,�=1�1=�1=2−2=2,
�+1��
当�≥2时,��=��满−足��上−1式=,2故−2−(.2−2)=2
�
因为�=1�1=2,��=2
∗
所以�+�=10(�,�∈�),
�����+�10
当且仅��当+��=2+时2等≥号2成2立⋅.2=22=22=64
所以�=的�最=小5值为64.
【点拨��】+本��题考查了利用与的关系求通项公式,以及基本不等式求最值.注意在求通项公式
时,必须检验的情况��是否�符�合时的通项公式.
�=1�≥2
14.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)由题意知……2分
3�−1�−1�
�
所以…�……=…3…⋅3……=…3…………4分
3�−1
�
��=3
第7页,共12页
当时,……………………5分
2
11
当�=1时,�=�=3……………7分
3�−13�−4
���−1��−1
�≥2�=�−…�……=……3…−…3………8分
3�−1−3(3�−4)11−6�
��
当=3时,=3,
11−65
�=13=3≠�1
故2………10分
3,�=1
�11−6�
�=�
【点拨】本3题考,查�了≥利2用与的关系求通项公式.在利用求解时,务必单独检
验时的情形,若不符��合则�需�写成分段函数的形式.��=��−��−1
�=1
15.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)当时,………………2分
1
当时,�=1……�…1…=…�1…=…2…×1…×…2…=…1……4分
�≥2��=��−��…−1……………6分
11
=2�(�+1)−2(�−1)�……………………7分
1
=当2�(�+时1,−�+1)也=满�足上式,
所以�数=列1�的1=通1项公式为…………8分
【点拨】本{�题�}考查了利用与��=�的关系求通项公式.熟练掌握并运用公式
是解题的基础.������=��−��−1(�≥2)
考法6:已知与的关系求通项
��
16.(解答)��
【答案】见解析
【解析】证明:(1)由得……2分
当时,�,�即+��=1,�解�=得1−��…………4分
1
当�=1时,�1+�1=12�1=1�1=2…………6分
整理�得≥2��=,��即−��−1=(…1…−�…�…)−…(…1−…�…�−…1)…8分
��1
��−1
又2�=,���−1=2
1
1
所以�数=列2≠0是以为首项,为公比的等比数列……10分
11
【点拨】本{�题�}考查了2利用与2的关系证明等比数列.遇到含有与的混合关系式时,通常
利用消去��,转�化�为只含的递推关系.����
��−��−1=������
第8页,共12页
17.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)由①,
2
当时,2��=2��+�−1………………2分
2
①-�②≥得2:2��−1=2��−1+(�−1)−1②………4分
22
即2��−2��−1=2��−2…�…�−1…+…�…−…(…�…−1…)………6分
整理2�得�=2��−2��−1+,2即�−1…………………8分
1
�−1�−1
所以2�=(2�−1)……�………=…�−…2…………………10分
1
【点拨��】=本�题+考2查�了≥利1用与的关系求通项公式.通过写出第项的关系式并作差,是消
去的标准处理方法.�����−1
��
18.(多选)
【答案】CD
【解析】已知,则,所以A错误;
由��+1=�1+�2+⋯,+可�得�=���2,=�1=1
可得��+1=�1+�2+⋯+��=��,即��+2=��+1,
当��+2时−,��+1=��+,1即−�数�列=��+1自第二��项+2开=始2是��+以11为首项,2为公比的等比数列,即
32�
�=1�=2,�所以B错误{�;}
1,�=1
��=�−2,所以正确,
2,�≥2C
�当2=�1+时�,2=1+1,=符2合条件,
当�=1�1=时1,,所以正确;
�−1D
∗01�−21−2�−1
故选�:≥C2D,�.∈���=1+2+2+⋯+2=1+1−2=2
【点拨】本题考查了由与的关系求通项公式及前项和.通过作差法找到从第二项起成
等比数列是解题的关键,��注意�首�项的特殊性.���
19.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)由
2
可得��+��=2…��…+…2…①………………2分
2
由②-�①�+得1+��+1=2��+1+2②,
22
即��+1−��+��+1−…��…=…2…��…+1…………………4分
22
��+1−,��−��+1−��=,0
∵��>0∴��+1…+…�…�>…0……………………6分
∴��+1−��=1
第9页,共12页
又当时,得,解得或(舍去)……8分
2
可得数�列=1是首�项1为+�21,=公2差�1为+12的等差数�1列=,2�1=−1
即{��}…………10分
∗
【点��拨=】�本+题1,考�查∈了�利用与的关系求通项公式.作差后利用因式分解提取公因式,结合数列
各项为正的条件得出等差数��列的�结�论是核心步骤.
20.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)因为,所以……2分
��2
当时,�+�=��+1��+�=…�…��…+…�…①…4分
2
①-�②≥得2:��−1+(�−1)=(�−1)��−1+�−1②………6分
22
所以��−��−1+�−(�−1)=���,−(�−1)��−1+1
所以��+2�−1=���−(�−1)��−1+1,
所以2(�−1)=(�−…1…)�…�…−…(�…−…1)…��…−1………8分
因为��−��,−1所=以2是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以�1=1{��}……………………10分
【点拨��】=本1题+考2(查�了−利1)用=2�与−1的关系求通项公式.先将分式化为整式,再利用作差法消去,
化简得到等差数列的定义式��即可�求�解.��
21.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)当时,且,解得………………1分
当时,�=1�,�>0�1=1
两式�相≥减2得2��−1=��−1(��−1+1)…………3分
22
即2��=��+��−��−1−,��−1
(��+,��则−1)(��−��−1−,1)=0
∵��>0��+��−1…>…0……………………5分
∴��−是��以−11=为1(首�项≥,2)1为公差的等差数列,所以……6分
∴设{数��列}的公比为,则��=�,
�23427
即{�},解得�(�>0)…�…=…�…=……3,�……=…�…=…2…7………………8分
�1�=3
3�1=1,�=3
所以�1�=27……………………10分
�−1
【点拨��】=本3题考查了利用与的关系求通项公式以及等比数列的基本运算.作差后利用因式分
解得出等差数列是解题关键��.��
第10页,共12页
22.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)当时,且,解得…………2分
当时,�=1,2�1=�1+2�1=2
两式�相≥减2得2��−1=��−1+,2即……6分
所以是2以��2−为2首��项−1,=2�为�公比的��等=比2�数�−列1,
所以{��}…………8分
�
【点拨��】=本2题考查了利用与的关系求通项公式.直接写出第项的表达式并作差,即可
发现数列成等比数列.�����−1
23.(解答)
【答案】见解析
【解析】解:(1)因为,
所以��+2−…��…=…�…�+…2+…�…�+…1………………2分
即�
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