结构力学（第2版）（龙驭球、包世华）第15章结构稳定计算

第15章

结构的稳定计算§15-1§15-2§15-3§15-4§15-5§15-6§15-7§15-8§15-9§15-10§15-11§15-12两类稳定问题概述两类稳定问题计算简例有限自由度体系的稳定——静力法和能量法无限自由度体系的稳定——静力法无限自由度体系的稳定——能量法无限自由度体系稳定的常微分方程求解器法刚架的稳定矩阵位移法组合杆的稳定拱的稳定考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析用求解器求临界荷载和失稳形态（略）小结§15-1

两类稳定问题概述稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，能回到原来的平衡位置。不稳定平衡状态：受到轻微干扰偏离原来位置，在干扰消失后，继续偏离。中性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态。失稳：随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡位置可能有稳定平衡状态转化为不稳定平衡状态。§15-1

两类稳定问题概述1分支点失稳分支点：两条平衡路径的交点。FP1<Pcr时，压杆处于稳定的直线平衡状态FP2>Pcr时，压杆可能处于直线的平衡状态。曲线的平衡状态。§15-1两类稳定问题概述§15-1

两类稳定问题概述2极值点失稳在荷载极值点处，平衡路径由稳定平衡变为不稳定平衡。特征：平衡形式不出现分支现象。§15-120考两虑类纵稳向定力问对题横计向算荷简载例影响的二阶分析（1）按大挠度理论倾斜位置的平衡条件为1 单自由度完善体系的分支点失稳§15-2两类稳定问题计算简例考虑得第一个解：第二个解：A点为分支点。路径Ⅱ的平衡是不稳定平衡。稳定验算时，通常考虑初始缺陷，按不完善体系进行。§15-2两类稳定问题计算简例（2）按小挠度理论若则倾斜位置的平衡条件为得路径Ⅱ的平衡是随遇平衡。★小挠度理论能够给出临界荷载的正确结果，不能反映倾角较大时，平衡路径Ⅱ的下降趋势。§15-2两类稳定问题计算简例（1）按大挠度理论平衡条件为2 单自由度非完整体系的极值点失稳§15-2两类稳定问题计算简例解得§15-2两类稳定问题计算简例由得解得非完善体系的失稳形式是极值失稳。§15-2两类稳定问题计算简例（2）按小挠度理论若得平衡条件为解得与大挠度理论相比，对于非完整体系，小挠度理论未能给出临界荷载会逐渐减小的结论§15-2两类稳定问题计算简例3 几点认识一般来说，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。分支点失稳的特征是在交叉点出现平衡形式的二重性。极值点失稳形式的特征是虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。结构稳定问题只有根据大挠度理论才能得出精确结论。小挠度理论在分支点失稳问题中通常能得出临界荷载的正确值。确定临界荷载的方法静力法：根据临界状态的静力特征提出的方法。能量法：根据临界状态的能量特征提出的方法。§15-310有限考自虑由纵度向体力系对的横稳向定荷—载—影静响力的法二和阶能分量析法§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法1 静力法在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，确定二者的交叉点，求出临界荷载。新平衡位置的平衡条件为考虑得§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法2能量法在原始平衡路径之外寻找新的平衡路径，应用新平衡状态的势能驻值条件，求出临界荷载。弹簧应变能为荷载势能为体系的势能为§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法应用势能驻值条件：得取非零解，得讨论势能是位移θ的二次抛物线临界状态的能量特征：势能为驻值，且位移有非零解。§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法FP<k/l势能EP恒为正，体系在

原始平衡状态时，势能为极小。原始平衡状态是稳定的。PF

=k/l势能EP恒为零，体系处于中性平衡状态，即临界状态。FP>k/l势能EP恒为负，体系在原始平衡状态时，势能为极大。原始平衡状态是不稳定的。§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法例15-1 试用两种方法求图示体系的临界荷载FPcr。解(1)静力法变形状态的平衡条件为§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法即由得两个特征值最小的特征值为临界荷载§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法将代入变形状态的平衡方程，得将

代入变形状态的平衡方程，得特征向量特征向量§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法（2）能量法D点的水平位移为弹性支座的应变能为§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法荷载势能为体系的势能为应用势能驻值条件§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法得★势能驻值条件等价于位移表示的平衡方程。能量法求多自由度体系临界荷载FPcr的步骤：写出势能表达式，建立势能驻值条件。应用位移有非零解的条件，得出特征方程，求出荷载的特征值FPi。（3）FPcr=min[FPi]。§15-3有限自由度体系的稳定——静力法和能量法讨论势能EP的正定性序号FP特性（1）FP＜kl/3正定（2）FP

=kl/3半正定（3）kl/3

＜

FP

＜kl不定（4）FP

=kl半负定（5）FP

＞kl负定§15-140

无考限虑自纵由向度力体对系横的向稳荷定载—影—响静的力二法阶分析与有限自由度体系的区别：平衡方程是微分方程弹性曲线的微分方程改写为其中解§15-4

无限自由度体系稳定——静力法引入边界条件，得非零位移条件展开，得§15-4无限自由度体系稳定——静力法例15-2试求图示排架的临界荷载和柱AB的计算长度。解在临界状态下，弹性曲线的微分方程为弹性支座的刚度系数§15-4

无限自由度体系稳定——静力法并可改写为其中上式的解为引入边界条件，得§15-4

无限自由度体系稳定——静力法讨论（1）I2=0，k=0因EI1为有限值，故方程最小根为计算长度为（2）I2=∞，k=

∞方程最小根为计算长度为§15-4无限自由度体系稳定——静力法（3）若I2=I1，k=3EI1/l3计算长度为用试算法求得§15-4

无限自由度体系稳定——静力法例15-3试求图示阶形柱的特征方程。解 弹性曲线微分方程改写为§15-4无限自由度体系稳定——静力法式中解为引入边界条件，由非零解条件，得若则§15-150无考限虑自纵由向度力体对系横的向稳荷定载—影—响能的量二法阶分析以图示体系为例说明令压杆的变形曲线为弯曲应变能为与FP相应的位移§15-5无限自由度体系的稳定——能量法荷载势能为体系的势能为由势能驻值条件，得§15-5无限自由度体系的稳定——能量法令则矩阵形式为§15-5无限自由度体系的稳定——能量法简写成由非零解条件，得最小根即为临界荷载§15-5无限自由度体系的稳定——能量法例15－４试用能量法求图示两端简支的中心受压柱临界荷载。解（1）假设挠曲线为抛物线求得§15-5无限自由度体系的稳定——能量法由势能驻值条件，得由非零解条件，得§15-5无限自由度体系的稳定——能量法（2）取跨中横向集中力作用下的挠曲线作为变形曲线若则求得§15-5无限自由度体系的稳定——能量法(3)假设挠曲线为正弦曲线§15-5无限自由度体系的稳定——能量法讨论挠曲线为抛物线时，误差最大，因其与实际曲线差别太大；横向集中力下的挠曲线，误差小，因其与实际曲线接近；正弦曲线是失稳的真实变形曲线，求得的是精确解。§15-5无限自由度体系的稳定——能量法例15-5试求图示结构的临界荷载。解假设变形曲线为应变能为§15-5无限自由度体系的稳定——能量法体系的总势能为与精确解相比，误差为5.5%外力作的功§15-5无限自由度体系的稳定——能量法例15—6试求图示两端简支变截面压杆的临界荷载。解（1）设变形曲线为§15-5无限自由度体系的稳定——能量法§15-5无限自由度体系的稳定——能量法（2）设变形曲线为§15-5无限自由度体系的稳定——能量法由驻值条件，得§15-5无限自由度体系的稳定——能量法由非零解条件，得其展开式为求出最小根，即得出临界荷载两次计算结构非常接近§15-160无考限虑自纵由向度力体对系横稳向定荷的载常影微响分的方二程阶求分解析器法例15—7计算图示两段变截面柱的临界荷载。上下段刚度比越小，临界荷载越小。§151—5-710

刚考架虑的纵稳向定力—对—横矩向阵荷位载移影法响的二阶分析1压杆的形状函数§15-7刚架的稳定——矩阵位移法设位移曲线为由边界条件得§15-7刚架的稳定——矩阵位移法代入位移表达式中，得或写成§15-7刚架的稳定——矩阵位移法2

压杆单元的刚度矩阵与几何刚度矩阵压杆单元的刚度方程为——通常的刚度矩阵；——几何刚度矩阵，表示轴力对刚度的影响；压杆单元的势能由两部分组成§15-7刚架的稳定——矩阵位移法根据势能偏导数定理求杆端力，得得§15-7刚架的稳定——矩阵位移法写成矩阵形式或§15-7刚架的稳定——矩阵位移法得§15-7刚架的稳定——矩阵位移法§15-7刚架的稳定——矩阵位移法3结构的稳定计算对于压杆单元，应采用相应的单元刚度矩阵。利用刚度集成法，得结构的整体刚度方程为由于失稳前各杆只承受轴力，故荷载向量为0临界状态的特点是Δ≠0，故展开后，最小根为临界荷载Pcr。§15-7刚架的稳定——矩阵位移法例15—8试求图示刚架的临界荷载和柱的计算长度。解（1）以对称形式丧失稳定单元①：一端有转角，另一端固定的压杆。§15-7刚架的稳定——矩阵位移法有非零解的条件为单元②：两端有转角的普通单元。i1=i2，n=1时整体刚度方程为柱的计算长度为§15-7刚架的稳定——矩阵位移法（2）以反对称形式丧失稳定§15-7刚架的稳定——矩阵位移法单元②为两端有转角的普通单元。单元刚度方程为整体刚度方程为§15-7刚架的稳定——矩阵位移法考虑，并将二者影响合并，得§15-7刚架的稳定——矩阵位移法由位移不等于零，得§15-7刚架的稳定——矩阵位移法（3）讨论反对称变形形式相应的临界荷载较小。对称变形形式相应的临界荷载与精确值相比，误差较大。要提高精度，需将单元划分细些。§15155—-180组合考杆虑的纵的向稳力定对横向荷载影响的二阶分析1

缀条式组合杆按桁架计算，丧失稳定时，桁架各杆只引起附加轴力令失稳曲线为组合杆轴线上任意点的弯矩为剪力为§15-8

组合杆的稳定组合杆柱肢的轴力和缀条的轴力按桁架近似计算，可得桁架的应变能为§15-8

组合杆的稳定将轴力代入后，得实际中，可取§15-8

组合杆的稳定将和号用积分代替，即考虑到应变能可改写成§15-8组合杆的稳定荷载势能为由，得§15-8组合杆的稳定式中组合截面对形心轴的惯性矩当缀条倾角、面积都相同时，则§15-8组合杆的稳定时，则§15-8组合杆的稳定有交叉缀条的组合杆，计算时缀条面积应加倍。§15-8

组合杆的稳定组合杆和临界荷载和计算长度的特点临界荷载的公式可采用统一的形式：惯性矩为I的实腹杆的临界荷载组合杆的折减系数缀条面积很小时，即§15-8

组合杆的稳定缀条面积很大时，即知道了临界荷载后，可求出计算长度实际中，略去水平缀条影响，且θ=300—60o，近似取§15-8

组合杆的稳定得到简化后的计算长细比公式λ0—按回转半径为r=b/2实腹杆算出的长细比。§15-8

组合杆的稳定2缀板式组合杆可按刚架作为计算简图。介绍以能量法为基础的近似计算。变形状态可分解为两部分：第一部分：整体变形。挠曲线为§15-8

组合杆的稳定第二部分：作为一个刚架在结间还产生局部弯曲变形。应变能也由两部分组成：§15-8

组合杆的稳定整体变形时的应变能为M：组合杆的整体弯矩结间附加弯矩引起的应变能为分别为柱肢的惯性矩和缀板的惯性矩。组合杆的整体弯矩和整体剪力分别为§15-8组合杆的稳定于是设柱肢反弯点在节间高度中点，则因节间数目较多，可认为§15-8组合杆的稳定于是因此外力势能为由势能驻值条件，得§15-8组合杆的稳定组合杆的计算长度为§15-8

组合杆的稳定考虑缀板刚度比柱肢刚度大得多，利用得，组合杆的计算长细比公式为进一步简化用1代替0.83，得15—9

拱的稳定1.圆拱受均匀静水压力时的稳定荷载较小时，处于无弯矩状态；荷载超过临界荷载时，发生分支点稳定。§15-9

拱的稳定第一步：研究圆拱屈曲后的受力状态，推导用弯矩表示的稳定微分方程屈曲前屈曲后（a）§15-9

拱的稳定屈曲后微段平衡方程令（c）（b）（d）§15-9拱的稳定并取，得由（e）中第二式可得§15-9

拱的稳定再代入第一式，得（f）再利用（e）中第三式，得曲率半径增量与弯矩有如下关系：§15-9拱的稳定由此得（h）式（h）代入（g），得用M表示的圆拱在均匀静水压力作用下的稳定微分方程。§15-9

拱的稳定第二步：研究圆拱屈曲后的变形状态，推导用位移表示的稳定微分方程A点的切线和法线方向的位移分量B点的切线和法线方向的位移分量§15-9

拱的稳定拱的轴向应变由切向位移产生的由法向位移产生的总轴向应变为若忽略轴向变形(ε=0)则§15-9

拱的稳定截面A的转角由切向位移产生的由法向位移产生的截面A总的转角为变形后曲率的增量为弯矩与曲率增量的弹性关系为故得§15-9拱的稳定用M表示的圆拱在均匀静水压力作用下的稳定微分方程。将M与位移的关系式代入上式，得用u表示的圆拱在均匀静水

压力作用下的稳定微分方程。§15-9

拱的稳定第三步：解微分方程，得到位移、弯矩一般解方程的一般解为式中于是可得§15-9

拱的稳定第四步：引入边界条件，求临界荷载▲由u、v、M边界条件得到关于系数Ci的代数方程。▲由系数不全为零，方程的系数行列式D=0，得到圆拱问题的特征方程；▲解此特征方程，得到临界荷载。§15-9

拱的稳定例15-9试求两铰圆拱的临界荷载qcr

。解由边界条件反对称变形形式由M为 奇函数条件，得最小临界荷载为，解得得考虑§15-9

拱的稳定对称变形形式为奇函数，为偶函数，得§15-9

拱的稳定利用边界条件得令系数行列式为零§15-9

拱的稳定展开后，得解出 可求对称变形失稳时的临界荷载。计算结果表明，对称变形时的临界荷载值比反对称变形时的要大得多，所以起控制作用的是反对称变形时的临界荷载值。§15-9拱的稳定例15-10试求圆环的临界荷载。解将代入，得即§15-9

拱的稳定上式要求故由上式可求得时，得最小临界值§15-9

拱的稳定拱的临界荷载系数和计算长度拱的临界荷载系数若等截面圆拱受均匀静水压力作用时的最小临界荷载的表达式写成则，K1——临界荷载系数。与拱的高跨比有关。同理，可得到其它类型拱在其他荷载作用下的临界荷载系数。§15-9

拱的稳定拱的计算长度系数若将拱的临界力表示成式中，FNcr为临界轴力，s0为拱的计算长度。对于均匀静水压力作用的等截面圆拱，计算长度系数为§15-9

拱的稳定对于受水平均布竖向荷载作用的等截面抛物线拱，计算长度系数为§15—10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析1

单杆的纵横弯曲问题——微分方程精确解变形状态的平衡微分方程为改写成§15-10考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析式中式（a）的解为§15-10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析引入边界条件，得故§15-10考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析讨论：的情况引进符号故跨中最大位移为跨中最大弯矩为§15-10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析最大位移和弯矩表达式中，第二项是考虑纵向荷载对横向荷载影响后的放大系数。当FN与临界荷载相比很小时，纵向压力的影响可不计；当FN趋于临界荷载时，放大系数趋于无穷大，杆件丧失

稳定。§15-10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析例题15－11求图示排架在水平和竖向荷载共同作用下的二阶效应。解变形后的微分方程为§15-10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析上式可改写为解为引入边界条件，得§15-10考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析故最大横向位移和最大弯矩分别在

x＝0和x＝l

处，为§15-10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析刚架的二阶分析——有限元法横梁、竖柱不考虑轴向变形；有压力的单元用压杆的单元刚度方程；非压杆单元用普通单元刚度方程；有横向荷载，整体刚度方程有荷载向量。§15-10考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析例15－12试对图示刚架进行二阶分析。解刚架的单元、编码和坐标如图所示。按位移法计算时，独立的结点位移为v1、θ2、θ3§15-10

考虑纵向力对横向荷载影响的二阶分析单元刚度方程单元①、③为一端有侧移、转角，他