第10讲 有理数混合运算（6种题型）（原卷版）

第10讲有理数混合运算（6种题型）【知识梳理】一．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．二．计算器—基础知识（1）计算器的面板是由键盘和显示器组成．（2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键．（3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用．注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作．三．计算器—有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值．【考点剖析】题型一：有理数四则混合运算例1．定义一种新运算：，则计算___________．【变式1】计算：(1)×（－18）；(2)－24－（－2）3÷×（－3）2．【变式2】在1到100这100个数中，任找10个不同的数，使其倒数之和等于1．现已有2个数，为2和6，再写出另外的8个数即可．【变式3】计算：．解法1：原式①②③解法2：原式①②③(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）(2)请给出正确解答．【变式4】规定一种“⊕”运算：a⊕b＝ab+a+b+1，如3⊕4＝3×4+3+4+1＝20．（1）①计算：（﹣5）⊕3＝，3⊕（﹣5）＝；②说明“⊕”运算具有交换律；（2）①计算：（﹣3）⊕（4⊕2）＝，[（﹣3）⊕4]⊕2＝；②由计算结果可得“⊕”运算结合律（填“具有”或“不具有”）．【变式5】“分类讨论”是一种重要数学思想方法，请运用分类讨论的数学思想解决下面的问题：（1）已知，，且，求的值；（2）已知a，b是有理数，当时，求的值．题型二：有理数四则混合运算的应用例2．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）某出租车从邗江路和文昌路十字路口出发，在东西方向的文昌路上连续接送了5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：km）：．第1批第2批第3批第4批第5批(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在邗江路和文昌路十字路口什么方向，距离十字路口多少千米？(2)后来他开车回到出发地，途中没有带到客人，若该出租车每千米耗油0.09升，那么在整个过程中共耗油多少升？(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分按每千米加1.8元收费，在整个行驶过程中，该出租车驾驶员共收到车费多少元？【变式1】新能源电动轿车越来越受现代家庭青睐．小明家买了一辆电动轿车，他连续10天记录了他家这辆轿车每天行驶的路程，以25km为标准，超过或不足部分分别用正数、负数表示，得到的数据如下（单位：km）：＋3，＋1，－4，＋1，－8，＋2，－6，＋2，－3，＋2．(1)请计算小明家这10天这辆轿车行驶的总路程；(2)若该轿车每行驶100km耗电15度，且轿车充电的价格为每度1.5元，请估计小明家一个月（按30天算）电动轿车耗电费用．【变式2】小刚坐公交车去参加志愿者活动，他从南站上车，上车后发现车上连自己共有12人，经过A、B、C、D4个站点时，他观察到上下车情况如下（记上车为正，下车为负）：，，，．(1)经过4个站点后车上还有人；(2)小刚发现在A、B、C、D这四站上车的人中，有一半投币付费（每人2元），还有一半刷卡付费（每人1.4元），求这四站公交公司共收入多少元？【变式3】思考下列问题并在横线上填上答案．(1)已知数轴上有M，N两点，点M与原点的距离为2，M，N两点的距离为1.5，则满足条件的点N所表示的数是__________；(2)在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合，若数轴上E，F两点之间的距离是10（E在F的左侧），且E、F两点经过上述折叠后重合，则点E表示的数是__________，点F表示的数是__________；(3)数轴上点A表示数8，点B表示数，点C在点A与点B之间，点A以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，当三个点聚于一个点时，这一点表示的数是多少？点C在整个运动过程中，移动了多少单位？【变式4】如图，将一根长为的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数轴上的点，重合（点在点的左边）．(1)【初步思考】若，当点表示的数为时，点表示的数为______；(2)【数学探究】如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为．请确定的值及图中，两点表示的数；(3)【实际应用】一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是______岁．题型三：程序流程图与有理数计算例3.按如图所示的程序运算，依次输入以下三组数据：①，：②，；③，，能使输出的结果为25的有是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式1】如图所示是计算机某计算型序，若开始输入，则最后输出的结果是__________．【变式2】如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为___________．【变式3】如图是一个对于正整数x的循环迭代的计算机程序．根据该程序指令，如果第一次输入x的值是3时，那么第一次输出的值是10；把第一次输出的值再次输入，那么第二次输出的值是5；把第二次输出的值再次输入，那么第三次输出的值是16；以此类推得到一列输出的数为10，5，16，8，4，2，1，4，…若第五次输出的结果为1，则第一次输入的x为_____．题型四：算“24”点例4．用一组数3，4，﹣4，﹣6算24点（每个数只能用一次）：________．【变式1】“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是，现抽出的牌所对的数字是4，，3，，请你写出刚好凑成24的算式__________．【变式2】已知4个有理数：，在这4个有理数之间用“”连接进行四则运算，每个数只用一次，使其结果等于24，你的算法是___________．【变式3】算“24点”是一种数学游戏：把所给的四个数字用运算符号（可以有括号）连接起来，使得运算结果为24，注意：每个数字只能用一次，请你用“5、5、5、1”这4个数字算“24点”，列出的算式是____．【变式4】你玩过24点“游戏吗?就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24.(1)若给你四个数3，-5，7，-9，请列出算式；(2)若给你四个数5，5，5，1，请列出算式.【变式5】小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是；(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是；(3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式子使结果为24．【变式6】如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题：(1)若从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，求乘积的最小值；(2)若从中取出4张卡片，请运用所学方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24．题型五：含乘方的有理数混合运算例5.计算：(1)；(2)．【变式1】计算：【变式2】计算：．【变式3】设a、b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例如：；．(1)__________；(2)求；题型六：计算器——有理数例6.用操作计算器的方法计算（3.1×105）×（7.6×108），按的第5个键是（）A． B． C． D．【变式1】用计算器计算230，按键顺序正确的是（）A． B． C． D．【变式2】计算器上有一个倒数键1/x，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按shift或2nd键，再按1/x键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键1/x，则得0.5．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：1/x﹣1＝1/x﹣1＝，在显示屏上的结果是﹣0.75，则原来输入的某数是．【变式3】小江利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，有如下发现：15×15＝225＝1×2×100+25，25×25＝625＝2×3×100+2535×35＝1225＝3×4×100+25，小江观察后猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：（a×10+5）2＝a（a+1）×100+25．但这样的猜测是需要证明之后才能保证它的正确性．请给出证明．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2023•玄武区三模）计算6×（﹣2）﹣12÷（﹣4）的结果是（）A．10 B．0 C．﹣3 D．﹣92．（2023•扶余市四模）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（）A．+ B．﹣ C．× D．÷3．（2022秋•武安市期末）计算（﹣+﹣）×（﹣24）的结果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣104．（2023春•南通期末）对有理数x，y定义运算：x※y＝ax+by，其中a，b是常数．若2※（﹣1）＝﹣4，3※2＞1，则a，b的取值范围是（）A．a＞﹣1，b＜2 B．a＞﹣1，b＞2 C．a＜﹣1，b＞2 D．a＜﹣1，b＜25．（2023•肇东市三模）现定义一种新运算“*”，规定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，则（﹣2）*（﹣3）等于（）A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣76．（2023•长春模拟）在算式（﹣1）□（﹣3）的“□”内填上下列运算符号，使计算结果最大，这个符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷7．（2023春•仪征市期中）代数式55+55+55+55+55化简的结果是（）A．52 B．55 C．56 D．5+558．（2022秋•汝阳县期末）定义：x是一个有理数，若x≥0，则；若x＜0，则．这里称{x}为x的衍生数，则{2}+{﹣1}的值为（）A．3.5 B．2.5 C．1.5 D．0.59．（2023•镇江模拟）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上规律计算：f（2022）﹣f（）等于（）A．2021 B．2022 C． D．10．（2022秋•高碑店市期末）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（）A．15 B．13 C．11 D．﹣5二．填空题（共8小题）11．（2023•南召县模拟）如果定义新运算“※”，满足a※b＝2a+3b+（﹣a），那么﹣1※2＝．12．（2023春•沈阳月考）有4个不同数字1，﹣2，2，3，用学过的运算方法（加，减，乘，除，乘方）使其结果为24，写出运算式子．（写出两种等式）和．13．（2023春•黄浦区期中）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么＝．14．（2022秋•曹县期末）按照如图所示的操作步骤．若输入x的值是5，则输出的值是97，若输入的x的值是﹣6，则输出的值为．15．（2022秋•中原区期末）如图，刘老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图片后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是．账号：wenxinzhijiawen⊕5*3*6＝wen301848xin⊕2*6*7＝xin144256jia⊕6*6*6＝密码16．（2022秋•封开县期末）计算：2﹣（﹣3）2＝．17．（2022秋•讷河市期末）若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，则＝．18．（2022秋•安乡县期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：＝ad﹣bc，则的值为．三．解答题（共11小题）19．（2023春•良庆区校级期中）计算：（﹣2+3）×3﹣（﹣4）2÷4．20．（2022秋•益阳期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．21．（2023•兰陵县二模）计算：﹣16÷（﹣2）3﹣22×|﹣|+（﹣1）2023．22．（2023•大连一模）计算：．23．（2022秋•鞍山期末）计算：（1）；（2）（﹣2）3+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣3）2÷（﹣2）．24．（2023•章贡区校级模拟）计算：（1）﹣12008﹣[5×（﹣2）﹣（﹣4）2÷（﹣8）]；（2）（5﹣﹣）÷（﹣1）．25．（2022秋•鞍山期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24．（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．26．（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（