第11讲 字母表示数与代数式（6种题型）（解析版）

第11讲字母表示数与代数式（6种题型）【知识梳理】一、字母表示数1.用字母表示数意义：使用一个字母a可以表示任意一个数字。优越性：用字母还可以表示数的运算律和一些图形的面积、周长和体积。2.字母表示数要注意的几点： 数字与字母及字母与字母的乘号要省略； 除法运算要用分数线来表示； 数学应写在字母的前面，当字母前的数字是1的时候应省略不写（当字母前的数字是带分数时，一定要带分数化成假分数； 主体为和的形式，后面有单位需加括号； 注意：字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．字母表示数常见的类型：（1）用字母表示运算律；(2)用字母表示数学公式；（3）用字母表示实际问题；（4）用字母表示性质二、代数式：用运算符合和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．注：①单独一个数或一个字母也是代数式；②“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆）三、代数式的值用数字代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的记过叫做代数式的值．求代数式的值第一步：用数值代替代数式里的字母．第二步：按照代数式指明的运算，计算出结果．【考点剖析】题型一：字母表示图形的周长和面积例1.黑板的长为2.5米，宽为米，则他的面积和周长分别是多少？【分析】本题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。【解答】面积周长【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。【变式1】若长方形的长为宽为则长方形的周长是________,面积是________.答案：2（a+b）ab题型二：字母表示运算律例2.请用字母表示已学过的四则运算律，如加法结合律等。【解答】加法交换律：加法结合律：乘法交换律：乘法结合律：乘法分配律：【点评】这里的“×”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写规范。题型三：代数式的概念例3.下列各式，那些是代数式？① ② ③ ④ ⑤0 ⑥ ⑦ ⑧ ⑨【分析】①、⑥、⑧是典型的用运算符号将数或表示数的字母联结而成。④、⑤属于单独一个数或一个字母。②是一个等式，③、⑦、⑨是不等式。【解答】①、④、⑤、⑥、⑧是代数式【点评】用等号或不等号联结的不是代数式！总结：代数式的特点：（1）、数与数之间,数与字母之间,字母与字母之间用运算符号连接。(2)单独的一个字母或一个数也是代数式。(3)代数式中不含单位；不含“=”、“>”、“<”、“≠”等符号。题型四：用代数式表示例4.设某数为米，用表示下列各数：（1）某数的平方的相反数；（2）比某数的三倍大7；（3）7加上某数的和的三倍（4）某数与5的和除以某数； （5）某数的倍减去2的差【分析】解本题的关键是审清题意，审题时要抓住关键字，如和、差、积、商、多、少、几倍、几分之几等；要注意书写的规范；按“先读先写”的规则表示。【解答】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；【点评】书写规范的通常约定式中出现的乘号，通常乘号写作“”或省略不写。如常写成或数字与字母相乘，将数字写在字母前面（1省略不写），如不写成数字与数字相乘，一般仍用“”号。式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写，如通常写成表示字母与分数的积时，分数是带分数要化成假分数。如：要写成，免得产生的误解。另外的一些约定在以后逐步了解。【变式1】用代数式表示：（1）比a的3倍还多2的数（2）b的倍的相反数（3）x的平方的倒数减去的差（4）9减去y的的差（5）x的立方与2的和（6）y的5倍与7的和的一半（7）x的3倍与y的商（8）比x的7倍的倒数大2的数是________解（1）3a+2（2）（3）（4）（5）x3+3（6）（7）（8）【变式2】写出代数式： （1）用代数式表示：平方的倒数减去的差； （2）1千克桔子价格为元，小明买了10千克桔子，用字母表示小明买的桔子的总 钱数； （3）与y的的和； （4）比与的差的一半小2； （5）的倒数的差与的倒数和的积的2倍； （6）的2倍与平方的差； 【答案】（1）；（2）10a；（3）；（4）；（5）；（6）；【总结】本题主要考查代数式的书写，注意对平方的差以及差的平方的正确理解．【变式3】填空题：（1）2000元人民币存入银行，定期2年，年利率，扣除20%的利息税后，到期取得本利和 元．（2）一种商品进价为每件元，按进价增加出售，则售价是 元；后因库 存积压降价，按售价的九折出售，则此时的售价为 元， 每件还盈利 元．（3）某市去年GDP为180亿，今年比去年增加，今年该市的GDP是___________．【答案】（1）；（2），，；（3）180（1+)．【解析】（1）本利和为：； （2）售价为：，此时的售价为：，盈利：． （3）．【总结】本题主要考查代数式的书写．例5.已知一个两位数的个位数字是x,十位数字比个位数字的2倍小1,这个二位数是（A）;(B);(C);(D).答案：B【变式1】一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，则这个两位数是（）A、abB、a+bC、10a+bD、10b+a答案：C【变式2】表示一个两位数，表示一个两位数，把放在的左面，末位再添上1得到一个五位数，求这个五位数等于多少？【答案】1000x+10y+1．【变式3】一个三位数M，一个四位数N，用M、N的代数式表示：（1）把M放在N左边所组成的七位数；（2）把M放在N右边所组成的七位数．参考答案：（1）1000M+N；（2）100N+M【变式4】一个三位数，他的百位上的数字式x，十位上的数字比百位上的数字的2倍多3，个位上的数字比百位上的数字的少2，则这个三位数可表示多少？【分析】先确定十位数字是，再确定个位数字是，从而这个三位数可以表达为【点评】设百位上数字为a，十位上数字为b，个位上数字为c，用代数式表示这个三位数不能表示为abc（因为abc表示），而应表示为。题型五：直接带入求值例7．已知：当时，代数式的值为2014；求当时，代数式的值．解：把带入得：，所以当时，【变式1】求代数式的值① ② ③ 【分析】求代数式的值分两步进行：（1）代入；（2）计算【解答】（1）29（2）（3）当时， 【点评】（1）代入数值时，原来的运算符号和数字不能改变；数字间相乘，原来省略的乘号要重新填上；如果数值是负数或分数时，应该主动添括号。（2）计算中遇到小数的乘法，通常将小数转化为分数的形式再计算。结果是分数的话应是最简分数。【变式2】当时，求下列各代数式的值（1）；（2）；（3）【解答】当时（1）（2）（3）题型六：整体代入法例8.已知，求代数式的值【分析】本题由于无法知道的值是多少，所以只能用整体代入，与互为倒数，所以，再将它们一起代入就可以求出代数式的值。【解答】【点评】遇到已知条件中没有告诉每个字母的值，就可以考虑整体代入求值，这是求代数式值的常见方法。【变式1】已知，求代数式的值．解：，【变式2】当时，代数式的值是2001，则当时，代数式的值为()A. —1999 B. —2000 C. —2001 D. 1999【分析】当时，，当时，，两者互为相反数当时，代数式，所以，当时，代数式【解答】选A。【点评】要灵活运用整体代入的方法。【变式3】已知：当时，代数式的值为2014；求当时，代数式的值．解：把带入得：，所以当时，【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•宁明县期末）下列式子符合书写要求的是（）A．﹣ B．a﹣1÷b C．4xy D．ab×3【分析】列代数式时，除号应该写成分数线的形式，字母前面的带分数应该写成假分数；数字与字母相乘，数字写在字母的前面．【解答】解：A．﹣符合代数式书写要求；B．a﹣1÷b不符合代数式书写要求，应该写成a﹣；C.4xy不符合代数式书写要求，应该写成xy；D．ab×3不符合代数式书写要求，应该写成3ab．故选：A．【点评】本题主要考查了代数式，解题时注意代数式的书写规范．2．（2023•长阳县一模）已知一个二位数的十位数字是5，个位数字是a，用代数式表示这个二位数是（）A．5a B．50a C．5+a D．50+a【分析】根据二位数的十位数字是5，个位数字是a，则这个二位数可表示为5×10+a，整理判断即可．【解答】解：∵二位数的十位数字是5，个位数字是a，∴这个二位数是5×10+a＝50+a．故选：D．【点评】本题考查了列代数式，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．列代数式时，要注意语句中的关键字，读懂题意，找到所求的量的表示方法．列代数式五点注意：①仔细辨别词义．②分清数量关系．③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．3．（2023•黄埔区校级二模）按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是（）A．16 B．﹣16 C．26 D．﹣26【分析】将x的值代入程序图中的程序按要求计算即可．【解答】解：当x＝2时，10﹣x2＝10﹣4＝6＞0，不合题意；当x＝6时，10﹣x2＝10﹣36＝﹣26＜0，符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，本题是操作型题目，按程序图的要求运算是解题的关键．4．（2022秋•韩城市期末）已知4a﹣3b3＝7，3a+2b3＝9，则a﹣5b3的值为（）A．﹣2 B．2 C．14 D．16【分析】直接用4a﹣3b3减去3a+2b3即可．【解答】解：∵4a﹣3b3＝7，3a+2b3＝9，∴a﹣5b3＝4a﹣3b3﹣（3a+2b3）＝7﹣9＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查了代数式的求值，能够得到a﹣5b3＝4a﹣3b3﹣（3a+2b3）是解题的关键．5．（2022秋•曹县期末）代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为（）A．m与n的4倍的差的平方 B．m的4倍与n的平方的差 C．m与n的差的平方的4倍 D．m的4倍与n的差的平方【分析】利用代数式的表达方式判断即可．【解答】解：代数式（4m﹣n）2用文字语言表示为m的4倍与n的差的平方．故选：D．【点评】本题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的表达方式．6．（2022秋•邢台期末）代数式3（y﹣3）的正确含义是（）A．3乘y减3 B．y的3倍减去3 C．y与3的差的3倍 D．3与y的积减去3【分析】按照代数式的意义和运算顺序：先运算括号内的，再运算括号外的计算即可判断各项．【解答】解：代数式3（y﹣3）的正确含义应是y与3的差的3倍．故选：C．【点评】本题主要考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．7．（2023•萧山区校级模拟）已知m＝2，则代数式2m﹣1的值为（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】把m＝2代入代数式2m﹣1中，进行计算即可解答．【解答】解：当m＝2时，2m﹣1＝2×2﹣1＝4﹣1＝3，故选：C．【点评】本题考查了代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．（2022秋•防城港期末）若3a2﹣a﹣2＝0，则6a2﹣2a+3值为（）A．9 B．7 C．﹣1 D．1【分析】由题意得3a2﹣a＝2，再将原式变形后代入求解．【解答】解：∵3a2﹣a﹣2＝0，∴3a2﹣a＝2，∴6a2﹣2a+3＝2（3a2﹣a）+3＝2×2+3＝4+3＝7，故选：B．【点评】此题考查了运用整体思想求代数式的值的能力，关键是能将条件和问题进行准确变形，再整体代入进行计算．9．（2023•永嘉县三模）买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买5个足球和4个篮球共需（）元．A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n【分析】根据单价×数量＝金额表示出足球与篮球各自的费用，再将两个费用求和便可得总费用．【解答】解：根据题意知买5个足球和4个篮球共需（5m+4n）元，故选：C．【点评】本题主要考查了列代数式，关键熟记单价×数量＝金额．10．（2023春•威海期中）如图，用含m，n的代数式表示阴影部分的周长为（）A．10m+10n B．8m+10n C．10m+22n D．8m+22n【分析】利用周长等于各边之和进行计算，即可得出结果．【解答】解：阴影部分的周长为：5m+（2n+3n）×2+5m﹣2m+4×3n+2m＝10m+22n；故选：C．【点评】本题考查列代数式，正确地识图，是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2023春•海淀区期末）有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，那么这个两位数可以用含有a，b的式子表示为10b+a，如果将它个位和十位上的数对调，使得到的两位数比原来的两位数大，那么a，b的大小关系为a＞b．【分析】两位数十位上是b，个位上的数为a，则这个两位数就是10b+a，它个位和十位上的数对调，则新的两位数为：10a+b，使得到的两位数比原来的两位数大，说明新的两位数十位上的数比原两位数十位上的数大，即a＞b．【解答】解：两位数十位上是b，个位上的数为a，∴这个两位数就是10b+a，将它个位和十位上的数对调，则新的两位数为：10a+b，使得到的两位数比原来的两位数大，即得到的两位数十位上的数比原两位数十位上的数大，∴a＞b．故答案为：a＞b．【点评】本题考查根据数位的数表示相应数的问题，解题的关键是正确表示数，根据数位上的数字如何比较数大小．12．（2023•十堰模拟）若a2﹣2ab＝6，则2a2﹣4ab﹣3＝9．【分析】将a2﹣2ab＝6两边同时乘上2得2a2﹣4ab＝12，再其整体代入即可求解．【解答】解：∵a2﹣2ab＝6，∴2（a2﹣2ab）＝4a2﹣4ab＝12，∴2a2﹣4ab﹣3＝12﹣3＝9．故答案为：9．【点评】本题主要考查代数式求值，解题关键在于利用整体思想解答．13．（2022秋•达川区期末）下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有1个．﹣1x2y，2×（a+b），a÷bc2，ab•2，，2bc2【分析】根据代数式的书写要求分别进行判断即可．【解答】解：用字母表示数的式子中，符合书写要求的有：，共有1个．故答案为：1．【点评】此题考查了列代数式，用到的知识点是代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．14．（2023春•顺义区期末）边长分别为a与b的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积是++（用含a，b的式子表示）．【分析】图中阴影部分的面积为两个正方形面积的和减去空白三角形的面积即可求解．【解答】解：根据图形，得图中阴影部分的面积为：大正方形的面积+小正方形的面积﹣空白三角形的面积即：a2+b2﹣﹣b（b﹣a）＝a2+b2﹣﹣b2+ab＝++．故答案为：++．【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是观察图形所给条件并列式．15．（2023•通榆县二模）某校初一（1）班有m人参加晚托课后服务，其中有参加足球兴趣活动，有8人参加书法兴趣活动，则参加其余兴趣活动的共（）人．【分析】根据共有m人参加晚托课后服务，其中有参加足球兴趣活动，有8人参加书法兴趣活动，即可求得参加其余兴趣活动的人数．【解答】解：∵共有m人参加晚托课后服务，其中有参加足球兴趣活动，有8人参加书法兴趣活动，∴参加其余兴趣活动的人数为：，故答案：（）．【点评】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解决本题的关键．16．（2023•二道区模拟）若一个足球m元，一个篮球n元，则买5个足球和10个篮球共需要（5m+10n）元．【分析】根据总费用等于足球的费用加上篮球的费用，列出代数式即可．【解答】解：一个足球m元，一个篮球n元，则：买5个足球需要5m元，买10个篮球需要10n元，∴买5个足球和10个篮球共需要：（5m+10n）元；故答案为：（5m+10n）．【点评】本题考查列代数式解决实际问题．根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键．17．（2023•高州市一模）如果a2+a﹣2＝0，那么代数式3a2+3a+2的值为8．【分析】把a2+a﹣2＝0变形为a2+a＝2，然后直接把a2+a＝2整体代入所求式子中求解即可．【解答】解：∵a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴3a2+3a+2＝3（a2+a）+2＝3×2+2＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．18．（2022秋•惠城区校级期末）已知2a﹣ab﹣1＝0，则代数式6a﹣3ab﹣2的值是1．【分析】观察题中的两个代数式2a﹣ab﹣1和6a﹣3ab﹣2，可以发现，6a﹣3ab＝3（2a﹣ab），因此可整体求出2a﹣ab的值，然后整体代入进行计算即可．【解答】解：∵2a﹣ab﹣1＝0，∴2a﹣ab＝1，∴6a﹣3ab﹣2＝3（2a﹣ab）﹣2＝3×1﹣2＝1．故答案为：1．【点评】本题考查求代数式的值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式2a﹣ab的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．通过恒等变形得出代数式2a﹣ab的值是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2021秋•港南区期中）如果代数式﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，求2m﹣3n的值．【分析】先把多项式进行合并同类项得（n﹣3）x2+（m﹣1）x+3，由于代数式﹣3x2+mx+nx2﹣x+3的值与x无关，即不含x的项，所以n﹣3＝0，m﹣1＝0，然后解出m、n计算它们的和即可．【解答】解：合并同类项得（n﹣3）x2+（m﹣1）x+3，根据题意得n﹣3＝0，m﹣1＝0，解得m＝1，n＝3，所以2m﹣3n＝2﹣9＝﹣7．【点评】本题考查了代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．20．（2022秋•临潼区期中）已知A＝2x2+3x﹣，B＝x2﹣3x+，求A比2B大多少？【分析】用A减去2B即可．【解答】解：∵A＝2x2+3x﹣，B＝x2﹣3x+，∴A﹣2B＝2x2+3x﹣﹣2（x2﹣3x+）＝2x2+3x﹣﹣2x2+6x﹣1＝9x﹣，即A比2B大9x﹣．【点评】本题考查了代数式：根据题意列代数式是解决问题的关键．21．（2023春•新市区期末）先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题．例：已知代数式6y+4y2的值为2，求2y2+3y+7的值．解：由6y+4y2＝2得3y+2y2＝1，所以2y2+3y+7＝1+7＝8．问题：（1）已知代数式2a2+3b的值为6，求a2+b﹣5的值；（2）已知代数式14x+5﹣21x2的值为﹣2，求6x2﹣4x+5的值．【分析】（1）变形已知直接整体代入计算求值；（2）由已知得方程，把已知变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）由2a2+3b＝6得a2+b＝3，所以a2+b﹣5＝3﹣5＝﹣2；（2）由14x+5﹣21x2＝﹣2得﹣7（3x2﹣2x）＝﹣7，即3x2﹣2x＝1，所以6x2﹣4x+5＝2（3x2﹣2x）+5＝2+5＝7．【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2023春•昌平区期末）在学校的校本课上，李宏同学设计了一个运算程序，如图：按照上述程序进行运算，程序运行到“判断是否大于100”为一次运行．（1）若n＝1，则需要该运算程序运行3次才能输出结果；（2）若该程序运行了两次就输出了结果，求满足此条件的最小整数n的值．【分析】（1）根据所给程序运算法则求解即可；（2）根据所给程序运算法则列不等式，求解即可．【解答】解：（1）第1次：n＝1时，（1+5）×3＝18＜100，第2次：n＝18时，（18+5）×3＝69＜100，第3次：n＝69时，（69+5）×3＝222＞100输出结果．故答案为：3；（2）根据题意：3[3（n+5）+5]＞100．∴，根据题意，n是整数，且最小，所以取n＝5．【点评】本题考查程序流程图与有理数的运算，解一元一次不等式，理解程序运算法则，正确列出不等式是解答的关键．23．（2023•青龙县二模）优优家买了一套房，地面结构如图所示：根据图中的数据（单位：米）解答下列问题：（1）用含m、n的式子表示地面的总面积；（2）若m2＝9，n的倒数等于本身，若铺1平方米地砖的费用为80元，那么优优家铺地砖所用的总费用是多少元？【分析】（1）先计算客厅的面积为6m平方米，卧室的面积为3×4＝12（平方米），厨房的面积为（6﹣3）×2＝6（平方米），卫生间的面积为2n平方米，把所有结果相加即可得出答案；（2）由题意得m＝3，n＝1，把m＝3，n＝1代入（1）中的代数式，即可算出总面积，再用总面积乘以80即可得出答案．【解答】解：（1）客厅的面积为6m平方米，卧室的面积为3×4＝12（平方米），厨房的面积为（6﹣3）×2＝6（平方米），卫生间的面积为2n平方米，地面的总面积是6m+12+6+2n＝（6m+2n+18）（平方米）；（2）由题意得：m＝3，n＝1，∴（6m+2n+18）×80＝（6×3+2×1+18）×80＝38×80＝3040（元）．∴优优家铺地砖所用的总费用是3040元．【点评】本题主要考查了列代数式，代数式求值，根据题意列出代数式是解决本题的关键．24．（2022秋•南昌期末）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？【分析】（1）根据方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款，列算式；（2）把x＝30