第13讲 合并同类项（5种题型）（解析版）

第13讲合并同类项（5种题型）【知识梳理】一、同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．要点诠释：(1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．二、合并同类项1.概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．要点诠释：合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有．(2)合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算.【考点剖析】题型一、同类项的概念 例1.下列各组单项式中属于同类项的是： ①和； ②和； ③和； ④和； ⑤和； ⑥和．【答案】②⑤⑥【解析】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同．【总结】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关．【变式1】指出下列各题中的两项是不是同类项，不是同类项的说明理由．（1）与；（2）与；（3）与；（4）与【答案与解析】本题应用同类项的概念与识别进行判断：解：（1）（4）是同类项；（2）不是同类项，因为与所含字母的指数不相等；（3）不是同类项，因为与所含字母不相同．【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同.“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．【变式2】下列每组数中，是同类项的是()．①2x2y3与x3y2②-x2yz与-x2y③10mn与④(-a)5与(-3)5⑤-3x2y与0.5yx2⑥-125与A．①②③B．①③④⑥C．③⑤⑥D．只有⑥【答案】C【变式3】判别下列各题中的两个项是不是同类项：(1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．【答案与解析】(1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.例2．单项式与是同类项，求的值．【答案】7【解析】由题意，可得：，解得：，所以．【总结】本题主要考查同类项的概念．【变式1】是同类项，求出m,n的值.【答案与解析】因为是同类项，所以，解得：所以【总结升华】概念的灵活运用.【变式2】如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（）A.a=2，b=3B.a=1，b=2C.a=1，b=3D.a=2，b=2【答案】C解：根据题意得：a+1=2，b=3，则a=1．【变式3】单项式与是同类项，求的值．【答案】【解析】由题意，可得：，解得：，所以．【总结】本题主要考查同类项的概念．题型二、合并同类项例3．合并下列各式中的同类项：(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5【答案与解析】解：(1)-2x2-8y2+4y2-5x2-5x+5x-6xy＝(-2-5)x2+(-8+4)y2+(-5+5)x-6xy＝-7x2-4y2-6xy(2)3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5＝(3+5)x2y+(-4+2)xy2+(-3+5)＝8x2y-2xy2+2【总结升华】(1)所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；(2)在进行合并同类项时，可按照如下步骤进行：第一步：准确地找出多项式中的同类项(开始阶段可以用不同的符号标注),没有同类项的项每一步保留该项；第二步：利用乘法分配律的逆运用，把同类项的系数相加，结果用括号括起来，字母和字母的指数保持不变；第三步：写出合并后的结果．【变式1】合并同类项：(1)(2)；解：；说明：多项式的同类项可以运用交换律、结合律、分配律进行合并．注意：在合并同类项时，应注意：（1）如果多项式中项数较多、较复杂时，可在同类项上标注记号，便于认清同类项，做到不遗漏、不重复．（2）所有常数项都是同类项,都可进行合并．【变式2】合并下列同类项： （1）； （2）； （3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式．【总结】本题主要考查合并同类项的概念，合并时只需要将同类项的系数相加减即可．【变式3】合并下列同类项 （1）； （2）； （3）．【答案】（1）； （2）； （3）．【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式．【变式4】合并同类项：；；;（注：将“”或“”看作整体）【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．【答案与解析】（1）（2）（3）原式=（4）【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.【变式5】化简：（1）（2）(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)【答案】原式（2）(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)=-(a-2b)2+3(a-2b).【变式6】已知，求m+n-p的值．【思路点拨】两个单项式的和一般情形下为多项式．而条件给出的结果中仍是单项式，这就意味着与是同类项．因此，可以利用同类项的定义解题．【答案与解析】解：依题意，得3+m＝4，n+1＝5，2-p＝-7解这三个方程得：m＝1，n＝4，p＝9，∴m+n-p＝1+4-9＝-4．【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．题型三、化简求值例4．求代数式的值：，其中．【变式1】当时，分别求出下列各式的值．（1）；（2）【答案与解析】（1）把当作一个整体，先化简再求值：解：又所以，原式=（2）先合并同类项，再代入求值．解：当p＝2，q＝1时，原式=．【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．【变式2】先化简，再求值：(1)，其中；(2)，其中，．【答案】解:(1)原式，当时，原式＝．(2)原式，当，时，原式＝．【变式3】化简求值：（1）当时，求多项式的值．（2）若，求多项式的值．【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：原式==将代入，得：（2）把当作一个整体，先化简再求值：原式=由可得：两式相加可得：，所以有代入可得：原式=【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．【变式4】.【答案】题型四、“无关”与“不含”型问题例5.李华老师给学生出了一道题：当x＝0.16，y＝-0.2时，求6x3-2x3y-4x3+2x3y-2x3+15的值．题目出完后，小明说：“老师给的条件x＝0.16，y＝-0.2是多余的”．王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理?为什么?【思路点拨】要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说得有道理，否则，王光说得有道理．【答案与解析】解：＝(6-4-2)x3+(-2+2)x3y+15＝15通过合并可知，合并后的结果为常数，与x、y的值无关，所以小明说得有道理．【总结升华】本题在化简时主要用的是合并同类项的方法，在合并同类项时，要明白：同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项不是同类项的一定不能合并．【变式1】如果关于的多项式中没有项，则=．答案：解析：先合并含的项：，如没有项，即项的系数为0，即，所以．【变式2】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.【答案】-2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1∵此多项式的值与x的值无关，∴解得:当n=2且m=-5时，(x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.∵(x-m)2≥0，∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.题型五、综合应用例6.若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.【答案与解析】法一：由已知ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)∴解得：∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.法二：说明：此题的另一个解法为：由已知(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0.因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而解得 解得：【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．【变式】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，又因为是三项式,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，所以有，．【过关检测】一．选择题（共8小题）1．（2022秋•长安区期末）已知单项式3x2m﹣1y与﹣x3yn﹣2是同类项，则m﹣2n的值为（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣1【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵单项式3x2m﹣1y与﹣x3yn﹣2是同类项，∴2m﹣1＝3，n﹣2＝1，解得m＝2，n＝3，∴m﹣2n＝2﹣2×3＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．2．（2022秋•昆都仑区校级期末）下列说法中正确的是（）A．单项式2πx的次数和系数都是2 B．单项式m2n和n2m是同类项 C．多项式2x2y+3xy﹣4是三次三项式 D．多项式﹣x2+2x﹣1的项是x2，2x和1【分析】分别根据同类项、单项式与多项式的概念判断即可．【解答】解：A．单项式2πx的次数1，系数是2π，故本选项不合题意；B．单项式m2n和n2m所含字母相同，但同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意；C．多项式2x2y+3xy﹣4是三次三项式，说法正确，故本选项符合题意；D．多项式﹣x2+2x﹣1的项是﹣x2，2x和﹣1，故本选项不合题意．故选：C．【点评】此题考查的是同类项、单项式与多项式，掌握相关定义是解答本题的关键．3．（2023春•南安市期中）若3ax﹣1b2与4a3by+2是同类项，则x，y的值分别是（）A．x＝4，y＝0 B．x＝4，y＝2 C．x＝3，y＝1 D．x＝1，y＝3【分析】根据同类项的定义即可求出答案．【解答】解：∵3ax﹣1b2与4a3by+2是同类项，∴x﹣1＝3，y+2＝2，解得x＝4，y＝0．故选：A．【点评】本题考查同类项．解题的关键是熟练运用同类项的定义．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．4．（2022秋•河池期末）若2x2y+3xmy＝5x2y，则m的值是（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根据同类项的定义及合并同类项法则，即可求出m的值．【解答】解：∵2x2y+3xmy＝5x2y，∴2x2y与3xmy是同类项，∴m＝2，故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解决问题的关键．5．（2022秋•宣城期末）已知2amb2和﹣a5bn是同类项，则m+n的值为（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根据同类项的意义先求出m，n的值，然后再代入式子进行计算即可．【解答】解：∵2amb2和﹣a5bn是同类项，∴m＝5，n＝2，∴m+n＝5+2＝7，故选：D．【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的意义是解题的关键．6．（2022秋•曹县期末）已知单项式﹣a2mb2与单项式3a4b3+n的和仍然是一个单项式，则nm的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】利用同类项的定义可得：2m＝4，3+n＝2，从而可得m＝2，n＝﹣1，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：∵单项式﹣a2mb2与单项式3a4b3+n的和仍然是一个单项式，∴2m＝4，3+n＝2，∴m＝2，n＝﹣1，∴nm＝（﹣1）2＝1，故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．7．（2022秋•曹县期末）下列计算正确的是（）A．3a+4b＝7ab B．﹣3xy2﹣2y2x＝﹣5xy2 C．5ab﹣ab＝4 D．2a2+a2＝3a4【分析】利用合并同类项的法则，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A、3a与4b不能合并，故A不符合题意；B、﹣3xy2﹣2y2x＝﹣5xy2，故B符合题意；C、5ab﹣ab＝4ab，故C不符合题意；D、2a2+a2＝3a2，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．8．（2023春•曲阜市期中）若﹣3xm﹣ny2与x4y5m+n的和仍是单项式，则有（）A． B． C． D．【分析】根据两式的和仍是单项式，得到两式为同类项，利用同类项定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．【解答】解：﹣3xm﹣ny2与x4y5m+n的和仍是单项式，∴，解得．故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共10小题）9．（2023春•鲤城区校级期中）如果3x2n﹣1ym与﹣5xmy3是同类项，则m+n的值是5．【分析】根据同类项的概念求解．【解答】解：∵3x2n﹣1ym与﹣5xmy3是同类项，∴2n﹣1＝m，m＝3，∴m＝3，n＝2，则m+n＝3+2＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．10．（2022秋•马尾区期末）﹣3ab2与ab2（答案不唯一）是同类项．【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．【解答】解：﹣3ab2与ab2是同类项．故答案为：ab2（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了同类项定义，关键是注意同类项定义中的三个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．11．（2022秋•鼓楼区校级期末）若单项式与2x3yn的和仍是单项式，则m+n＝5．【分析】根据和是单项式，可得它们是同类项，在根据同类项，可得m、n的值，根据有理数的加法法则，可得答案．【解答】解：∵单项式与2x3yn的和仍是单项式，∴单项式与2x3yn是同类项，∴m＝3，n＝2，m+n＝3+2＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．12．（2023春•顺义区期末）若单项式﹣5a2bm﹣1与2a2b是同类项，则m＝2．【分析】直接利用同类项的定义分析得出答案．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【解答】解：因为单项式﹣5a2bm﹣1与2a2b是同类项，所以m﹣1＝1，解得m＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键．13．（2023•株洲）计算：3a2﹣2a2＝a2．【分析】利用合并同类项的法则运算即可．【解答】解：3a2﹣2a2＝a2．故答案为：a2．【点评】本题主要考查了合并同类项，正确应用合并同类项的法则是解题的关键．14．（2022秋•金牛区期末）若关于x、y的多项式（m﹣1）x2﹣3xy+nxy+2x2+2y+x中不含二次项，则m+n＝2．【分析】直接利用多项式不含二次项，得出关于m，n的等式，求出答案．【解答】解：∵（m﹣1）x2﹣3xy+nxy+2x2+2y+x＝（m﹣1+2）x2+（n﹣3）xy+2y+x，关于关于x、y的多项式（m﹣1）x2﹣3xy+nxy+2x2+2y+x不含二次项，∴m﹣1+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣1，n＝3，则m+n＝﹣1+3＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了合并同类项、多项式，正确得出m，n的值是解题关键．15．（2022秋•杭州期末）合并同类项2x﹣7y﹣5x+11y﹣1＝﹣3x+4y﹣1．【分析】根据合并同类项法则计算即可．【解答】解：2x﹣7y﹣5x+11y﹣1＝（2x﹣5x）+（11y﹣7y）﹣1＝﹣3x+4y﹣1．故答案为：﹣3x+4y﹣1．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．16．（2022秋•东港区校级期末）当k＝5时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y3﹣4xy﹣6中不含xy项．【分析】先合并同类项，然后使xy的项的系数为0，即可得出答案．【解答】解：x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣4xy﹣6＝x2+（k﹣5）xy﹣3y2﹣6，∵多项式不含xy项，∴k﹣5＝0，解得：k＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了合并同类项，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．17．（2022秋•邗江区期末）若﹣4x5y+4x2n+1y＝0，则常数n的值为2．【分析】根据同类项“相同字母的指数相同”列式求解即可．【解答】解：根据题意可知，﹣4x5y与4x2n+1y是同类项，∴2n+1＝5，解得n＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了合并同类项的知识，熟练掌握同类项的定义是解题关键．18．（2022秋•射洪市期末）已知关于x、y的多项式（3a+2）x2+（9a+10b）xy﹣x+2y+7中不含二次项，则6a﹣15b＝﹣13．【分析】根据多项式不含二次项，确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵关于x、y的多项式（3a+2）x2+（9a+10b）xy﹣x+2y+7中不含二次项，∴3a+2＝0，9a+10b＝0，解得：a＝﹣，b＝，则6a﹣15b＝6×（﹣）﹣15×＝﹣4﹣9＝﹣13．故答案为：﹣13．【点评】此题考查了合并同类项，多项式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•洛川县校级期末）已知单项式2x2my7与单项式5x6yn+8是同类项，求m2+2n的值．【分析】利用同类项的定义求出m与n的值即可，再代入所求式子计算即可．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．【解答】解：∵单项式2x2my7与单项式5x6yn+8是同类项，∴2m＝6，n+8＝7，解得m＝3，n＝﹣1，∴m2+2n＝9﹣2＝7．【点评】此题考查了同类项，以及代数式求值，熟练掌握同类项的定义求出m与n的值是解本题的关键．20．（2021秋•大荔县期末）找出下列式子中的同类项，并求这些同类项的和：ab，3xy2，，ab+1，6x2y，﹣5x2y．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项即可作出判断，然后进行合并即可．【解答】解：ab和是同类项，6x2y和﹣5x2y是同类项；，6x2y+（﹣5x2y）＝x2y．【点评】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．21．（2022秋•榆阳区校级期末）已知a，b是有理数，关于x、y的多项式x3ya﹣bx3+6x2y2+x的次数为5，且这个多项式中不含x3项，请你写出这个多项式．【分析】根据多项式的定义解答即可．【解答】解：∵关于x、y的多项式x3ya﹣bx3+6x2y2+x的次数为5，且这个多项式中不含x3项，∴，解得，∴这个多项式为：x3y2+6x2y2+x．【点评】本题考查了多项式以及合并同类项，解题的关键是掌握与整式相关的概念．22．（2022秋•北京期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是﹣（a﹣b）2；（2）已知x2﹣2y＝4，求2﹣3x2+6y的值．【分析】（1）把（a﹣b）2看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可；（2）把3x2﹣6y﹣21变形，得到3（x2﹣2y）﹣21，再根据整体代入法进行计算即可．【解答】解：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，则3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；故答案为：﹣（a﹣b）2；（2）∵x2﹣2y＝4，∴原式＝﹣3（x2﹣2y）+2＝﹣12+2＝﹣10．【点评】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．23．（2022秋•吉林期中）已知多项式mx4+（m﹣2）x3+（n+1）x2﹣3x+n不含x2和x3的项，试写出这个多项式，再求当x＝﹣1时该多项式的值．【分析】根据mx4+（m﹣2）x3+（n+1）x2﹣3x+n不含x2和x3的项可得出二次项和三次项的系数为0，从而求出m和n的值，再把x＝﹣1代入多项式求出多项式的值即可．【解答】解：∵多项式mx4+（m﹣2）x3+（n+1）x2﹣3x+n不含x2和x3的项，∴m﹣2＝0，n+1＝0，∴m＝2，n＝﹣1，∴多项式为2x4﹣3x﹣，当x＝﹣1时，多项式为2×（﹣1）4﹣3×（﹣1）﹣1＝2+3﹣1＝4．【点评】本题主要考查多项式求值问题，关键是要能确定m和n的值．24．（2022秋•深圳校级期中）阅读材料：在合并同类项中，5a﹣3a+a＝（5﹣3+1）a＝3a，类似地，我们把（x+y）看成一个整体，则5（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（5﹣3+1）（x+y）＝3（x+y）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（x﹣y）2看成一个整体，合并3（x﹣y）2﹣6（x﹣y）2+2（x﹣y）2的结果是﹣（x﹣y）2．（2）已知a2﹣2b＝1，求3﹣2a2+4b的值；拓展探索：（3）已知a﹣2b＝1，2b﹣c＝﹣1，c﹣d＝2，求a﹣6b+5c﹣3d的值．【分析】（1）把（x