第15讲 重难点01 有理数与数轴的复杂应用题（60题专练）（解析版）

重难点01有理数与数轴的复杂应用题（60题专练）【考点剖析】一．填空题（共2小题）1．（2022秋•青浦区校级期末）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上的点A表示的数为﹣1，正方形ABCD的面积为16．将正方形ABCD在数轴上水平移动，移动后的正方形记为A'B'C'D'，点A、B、C、D的对应点分别为A'、B'、C'、D'，移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，当S＝4时，数轴上点A'表示的数是2或﹣4．【分析】根据正方形ABCD的面积为16可得AB＝AD＝4，分两种情况：①当正方形ABCD沿数轴向右移动时，根据重叠部分图形的面积S＝4可得AB′＝1，由AA′＝A′B′﹣AB′，OA′＝AA′﹣OA即可得到点A'表示的数；②正方形ABCD沿数轴向左移动时，同理可得A′B＝1，由AA′＝AB﹣A′B，OA′＝OA+AA即可得到点A'表示的数；以此即可求解．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为16，∴正方形的边长为4，∴AB＝AD＝4，①当正方形ABCD沿数轴向右移动时，如图，∵移动后的正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分图形的面积记为S，且S＝4，即S＝S矩形AB′C′D＝4，∴AB′＝1，∴AA′＝A′B′﹣AB′＝3，∴OA′＝AA′﹣OA＝3﹣1＝2，此时，数轴上点A'表示的数是2；②正方形ABCD沿数轴向左移动时，如图，同理可得，A′B＝1，∴AA′＝AB﹣A′B＝3，∴OA′＝OA+AA′＝4，此时，数轴上点A'表示的数是﹣4；综上，数轴上点A'表示的数是2或﹣4．故答案为：2或﹣4．【点评】本题主要考查实数与数轴，解决本题的关键是根据正方形平移后正确地表示出各线段的长度．2．（2020秋•梁山县期末）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B，C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转第1次后，点D所对应的数为1；绕点D翻转第2次后点A对应的数为2；以此类推继续翻转，则翻转2020次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是3029．【分析】根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数，得出翻转几个周期循环，推算出移动的距离得出结果．【解答】解：如图，翻转4次为一个周期，右边的点移动6个单位，∵2020÷4＝505，因此右边的点移动505×6＝3030，∴﹣1+3030＝3029，即翻转2020次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是3029．故答案为：3029．【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，得出翻转周期循环和移动距离是解决问题的关键．二．解答题（共58小题）3．（2021秋•梁平区期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为|6﹣2|＝4；表示﹣1和2两点之间的距离为|（﹣1）﹣（+2）|＝|﹣1﹣2|＝3；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝2或﹣4．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣5与3之间，求|a+5|+|a﹣3|的值；（3）当x＝0时，|x|+|x+4|+|x﹣5|的值最小，最小值为9．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法，直接求解即可；（2）由题意可知，a+5＞0，a﹣3＜0，再化简绝对值即可；（3）由绝对值的意义，当表示x的数是﹣4，0，5的中间数时，|x|+|x+4|+|x﹣5|的值最小．【解答】解：（1）|6﹣2|＝4，|（﹣1）﹣（+2）|＝|﹣1﹣2|＝3，∵表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，∴|a+1|＝3，解得a＝2或a＝﹣4，故答案为：4，3，2或﹣4；（2）∵﹣5＜a＜3，∴a+5＞0，a﹣3＜0，∴|a+5|+|a﹣3|＝a+5﹣（a﹣3）＝a+5﹣a+3＝8；（3）|x|+|x+4|+|x﹣5|表示数轴上表示x的点与0的距离，与﹣4的距离，与5的距离之和，∴当x＝0时，|x|+|x+4|+|x﹣5|的值最小，最小值为9，故答案为：0，9．【点评】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．4．（2021秋•长沙县期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．（1）a＝﹣3，c＝9；（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数﹣11表示的点重合；（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝1，最小值为12．【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性，进行计算即可；（2）利用数轴上两点间距离先求出折点表示的数，然后进行计算即可解答；（3）根据已知并结合图形可得当点P与点B重合时，代数式取得最小值．【解答】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，∴a+3＝0，c﹣9＝0，∴a＝﹣3，c＝9，故答案为：﹣3，9；（2）设折点表示的数为x，∵将数轴折叠，使得A点与B点重合，∴1﹣x＝x﹣（﹣3），∴x＝﹣1，∴折点表示的数为：﹣1，设点C与数y表示的点重合，∴﹣1﹣y＝9﹣（﹣1），∴y＝﹣11，∴点C与数﹣11表示的点重合，故答案为：﹣11；（3）由题意得：代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|，表示点P与点A，B，C这三个点的距离之和，当点P与点B重合时，点P与点A，B，C这三个点的距离之和最小，即当x＝1时，代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值，最小值为：|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝|1﹣（﹣3）|+|1﹣1|+|1﹣9|＝4+0+8＝12，故答案为：1，12．【点评】本题考查了数轴，偶次方与绝对值的非负性，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．5．（2022秋•长沙月考）我们知道，数轴上表示数a的点A和表示数b的点B之间的距离AB可以用|a﹣b|来表示．例如：|5﹣1|表示5和1在数轴上对应的两点之间的距离．（1）在数轴上，A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足|a+1|+（4﹣b）2＝0，则a＝﹣1，b＝4，A、B两点之间的距离为5．（2）点M在数轴上，且表示的数为m，且|m+1|+|4﹣m|＝7，求m的值．（3）若点M、N在数轴上，且分别表示数m和n，且满足|m﹣2022|﹣n＝2023，|n+2024|+m＝2025，求M、N两点的距离．【分析】（1）由题意可知a+1＝0，4﹣b＝0，求出a、b的值即可求AB的距离；（2）由绝对值的几何意义可知，|m+1|+|4﹣m|表示数轴上表示数m的点到﹣1的距离与4的距离的和，再由题意可得点M在﹣1的左侧或在4的右侧，且点M与﹣1的距离是1或点M与4的距离是1，即可求m的值；（3）由题意可得方程组或，解出方程组，再由2023+n＞0，可确定，则MN＝4045．【解答】解：（1）∵|a+1|+（4﹣b）2＝0，∴a+1＝0，4﹣b＝0，∴a＝﹣1，b＝4，∴AB＝|4﹣（﹣1）|＝5，故答案为：﹣1，4，5；（2）|m+1|+|4﹣m|表示数轴上表示数m的点到﹣1的距离与4的距离的和，当点M在﹣1和4之间时，|m+1|+|4﹣m|的距离最小为5，∵|m+1|+|4﹣m|＝7，∴点M在﹣1的左侧或在4的右侧，∴点M与﹣1的距离是1或点M与4的距离是1，∴m＝﹣2或m＝5；（3）∵|m﹣2022|﹣n＝2023，∴|m﹣2022|＝n+2023，∴m﹣2022＝n+2023或m﹣2022＝﹣n﹣2023，∴m﹣n＝4045或m+n＝﹣1，∵|n+2024|+m＝2025，∴|n+2024|＝2025﹣m，∴n+2024＝2025﹣m或n+2024＝m﹣2025，∴m+n＝1或m﹣n＝4049，∴或，解得或，∵2023+n＞0，∴，∴MN＝4045．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数上点的特点，绝对值的意义，二元一次方程组的解法，分类讨论是解题的关键．6．（2021秋•北京期末）如图，数轴上点A，B，M，N表示的数分别为﹣1，5，m，n，且AM＝AB，点N是线段BM的中点，求m，n的值．【分析】根据已知可得AM＝4，分两种情况，点M在点A的左侧，点M在点A的右侧．【解答】解：∵数轴上点A，B表示的数分别为﹣1，5，AB＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，∵AM＝AB，∴AM＝×6＝4，分两种情况：当点M在点A的左侧，∵AM＝4，点A表示的数是﹣1，点M表示的数是m，∴﹣1﹣m＝4，∴m＝﹣5，∵点N是线段BM的中点，∴BN＝MN，∵点N表示的数是n，∴n﹣（﹣5）＝5﹣n，∴n＝0，当点M在点A的右侧，∵AM＝4，点A表示的数是﹣1，点M表示的数是m，∴m﹣（﹣1）＝4，∴m＝3，∵点N是线段BM的中点，∴BN＝MN，∵点N表示的数是n，∴n﹣3＝5﹣n，∴n＝4，综上所述：m＝﹣5，n＝0或m＝3，n＝4．【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．7．（2021秋•重庆期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且点C到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．数3所表示的点是{M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）设数x所表示的点是{M，M}的奇点，由题意可得x+3＝3（5﹣x），求出x即可；设数y所表示的点是{N，M}的奇点，由题意可得5﹣y＝3（y+3），求出y即可；（2）设P点表示的数是a，分四种情况讨论：当P是{A，B}的奇点时，a＝10；当P时{B，A}的奇点时，a＝﹣30；当A是{B，P}的奇点时，a＝﹣；当A是{P，B}的奇点时，a＝﹣290．【解答】解：（1）设数x所表示的点是{M，M}的奇点，∴x+3＝3（5﹣x），解得x＝3，∴数3所表示的点是{M，N}的奇点；设数y所表示的点是{N，M}的奇点，∴5﹣y＝3（y+3），解得y＝﹣1∴数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点，故答案为：3，﹣1；（2）设P点表示的数是a，当P是{A，B}的奇点时，PA＝3PB，∴a+50＝3（30﹣a），解得a＝10；当P时{B，A}的奇点时，PB＝3PA，∴3（a+50）＝30﹣a，解得a＝﹣30；当A是{B，P}的奇点时，AB＝3AP，∴80＝3（﹣50﹣a），解得a＝﹣；当A是{P，B}的奇点时，3AB＝AP，∴240＝﹣50﹣a，解得a＝﹣290；综上所述，P点表示的数为10或﹣30或﹣或﹣290时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的奇点．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法，弄清定义是解题的关键．8．（2021秋•渝中区校级月考）我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为x1、x2，那么AB之间的距离可以表示为：|AB|＝|x1﹣x2|；若C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：x＝．如图，O点是数轴上的原点，M、N是数轴上的两个点，M点对应的数是为﹣4，N点对应的数是为6．（1）若M、N两个点同时出发沿着数轴运动．点M向右运动，点N向左运动，3秒后它们之间的距离为1个单位长度，且N的速度是M的两倍，分别求M、N的速度；（2）若M以每秒2个单位的速度向右运动，N以每秒4个单位的速度向左运动，求几秒后O为MN的中点？（3）我们规定，在数轴上，当A、B两点都位于原点的右侧且其中一个点到原点的距离是另一个到原点的距离1.5倍：或当A、B两点都位于原点左侧且两个点到原点的距离都相等时，这两种情况均称为AB两点是“相见恨晚距离”．若动点P从原点出发，以每秒1个单位的速度向左运动到点M后原速返回到点N后停止运动，同时，动点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左在M、N之间作往返运动，且当点P停止运动时，动点Q也之停止运动，求所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间？【分析】（1）设M点速度为每秒x个单位，则N点速度为每秒2x个单位，然后根据数轴上两点间距离公式列方程求解；（2）设t秒后O为MN的中点，根据中点公式列方程求解；（3）根据运动速度和运动方向分别表示出各时间段内点P和点Q所表示的数，然后根据新定义列方程求解．【解答】解：（1）设M点速度为每秒x个单位，则N点速度为每秒2x个单位，|（6﹣3×2x）﹣（﹣4+3x）|＝1，解得：x＝1或x＝，∴点M的运动速度为每秒1个单位，点N的运动速度为每秒2个单位或点M的运动速度为每秒个单位，点N的运动速度为每秒个单位；（2）设t秒后O为MN的中点，由题意可得：（﹣4+2t+6﹣4t）＝0，解得：t＝1，∴1秒后O为MN的中点；（3）由题意，点P的运动时间为（4+4+6）÷1＝14秒，当0＜t≤4时，点P位于原点左侧，其对应的数为﹣t，当4＜t＜8时，点P位于原点左侧，其对应的数为﹣4+（t﹣4）＝t﹣8，当8＜t≤14时，点P位于原点右侧，其对应的数为t﹣8，当t＝8时，点P到达原点，其对应的数为0，当0＜t＜3时，点Q位于原点右侧，其对应的数为6﹣2t，当3＜t≤5时，点Q位于原点左侧，其对应的数为6﹣2t，当5＜t＜7时，点Q位于原点左侧，其对应的数为﹣4+2（t﹣5）＝2t﹣14，当7＜t＜10时，点Q位于原点右侧，其对应的数为﹣4+2（t﹣5）＝2t﹣14，当10≤t＜13时，点Q位于原点右侧，其对应的数为6﹣2（t﹣10）＝﹣2t+26，当13＜t≤14时，点Q位于原点左侧，其对应的数为6﹣2（t﹣10）＝﹣2t+26，当t＝3或7或13时，点Q到达原点，其对应的数为0，①当P，Q两点都位于原点左侧时，根据点P的运动时间可得0＜t≤4，4＜t＜8，根据点Q的运动时间可得3＜t≤5，5＜t＜7，13＜t≤14，∴此时3＜t≤5或5＜t＜7，当3＜t≤5时，﹣t＝6﹣2t或t﹣8＝6﹣2t，解得：t＝6（不合题意，舍去）或t＝，当5＜t＜7时，t﹣8＝2t﹣14，解得：t＝6；②当P，Q两点都位于原点右侧时，根据点P的运动时间可得8＜t≤14，根据点Q的运动时间可得7＜t＜10或10≤t＜13，当8＜t＜10时，2t﹣14＝1.5（t﹣8），解得：t＝4（不合条件，舍去），1.5（2t﹣14）＝t﹣8，解得：t＝6.5（不合条件，舍去），当10≤t＜13时，﹣2t+26＝1.5（t﹣8），解得：t＝（不合条件，舍去），1.5（﹣2t+26）＝t﹣8，解得：t＝，综上，当运动时间为秒或6秒或秒时，PQ两点是“相见恨晚距离”．【点评】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，题目综合性较强，有一定难度，理解点的运动方向及运动速度，利用分类讨论思想解题是关键．9．（2021秋•丰台区期末）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”．（1）已知点A表示1，点B表示﹣3，下列各数﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是P1，P4；（2）已知点A表示3，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，求m的值；（3）已知点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出PB﹣PA的值．【分析】（1）求出点P到原点的距离，再求出点A，点B到原点距离的和即可判断；（2）根据已知可求出点A，点B到原点距离的和，然后进行计算即可解答；（3）先求出点A，点B到原点距离的和，即可求出点P到原点的距离，然后分两种情况，点P在原点的左侧，点P在原点的右侧．【解答】解：（1）∵点A表示1，点B表示﹣3，∴OA＝1，OB＝3，∴点A，点B到原点距离的和的一半为：2，∵点P为点A和点B的“关联点”，∴点P到原点的距离为：2，∴点P表示的数为：2或﹣2，∵﹣2，﹣1，0，2在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，∴其中是点A和点B的“关联点”的是：P1，P4，故答案为：P1，P4．（2）∵点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为5，∴点A，点B到原点距离的和为：10，∵点A表示3，∴点A到原点的距离为：3，∴点B到原点的距离为：7，∴点B表示的数是：7或﹣7，∴m的值为：7或﹣7；（3）∵点A表示a（a＞0），将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B，∴点B表示的数为：a+4，∴点A，点B到原点距离的和为：a+a+4＝2a+4，∵点P为点A和点B的“关联点”，∴点P到原点的距离为：a+2，∴点P表示的数为：a+2或﹣a﹣2，当点P在原点的右侧，即点P表示的数为：a+2，∴PB＝a+4﹣（a+2）＝2，PA＝a+2﹣a＝2，∴PB﹣PA＝2﹣2＝0，当点P在原点的左侧，即点P表示的数为：﹣a﹣2，∴PB＝a+4﹣（﹣a﹣2）＝2a+6，PA＝a﹣（﹣a﹣2）＝2a+2，∴PB﹣PA＝2a+6﹣（2a+2）＝4，综上所述：PB﹣PA的值为：0或4．【点评】本题考查了数轴，理解题目已知条件中点P为点A和点B的“关联点”是解题的关键．10．（2022秋•朝阳区校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题：（1）几何意义是数轴上表示数a的点与数﹣3的点之间的距离的式子是|a﹣（﹣3）|；（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣1|＝2时，m＝3或﹣1；（3）|m+1|+|m﹣7|的最小值为8；|m+1|+|m﹣7|+|m﹣9|的最小值为10．【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据|a﹣b|的几何意义求解可得；（3）当1≤m≤7时化简绝对值方程便可求得|m+1|+|m﹣7|的最小值．当m＝7时便可求得|m+1|+|m﹣7|+|m﹣9|的最小值．【解答】解：（1）几何意义是数轴上表示数a的点与数﹣3的点之间的距离的式子是：|a﹣（﹣3）|；故答案为：|a﹣（﹣3）|；（2）等式|m﹣1|＝2的几何意义是表示m到数1的距离为2的点，则m的值为﹣1或3；故答案为：﹣1或3；（3）当﹣1≤m≤7时，|m+1|+|m﹣7|＝m+1+7﹣m＝8的值最小，∴|m+1|+|m﹣7|的最小值为8；当m＝7时，|m+1|+|m﹣7|+|m﹣9|有最小值为：8+0+2＝10；故答案为：8；10．【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键．11．（2021秋•攸县期末）我们知道，|a﹣b|表示a与b之差的绝对值．实际上，|a﹣b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：|5﹣（﹣3）|的几何意义为：数轴上表示5的点与表示﹣3的点之间的距离．根据绝对值的几何意义或所学知识，完成以下问题：已知多项式﹣3x2+5xy2﹣1的常数项是a，次数是b．a，b在数轴上对应的点分别为A点和B点．（1）解关于x的方程|x﹣a|＝1；（2）数轴上有一点C表示的数为x，若C到A、B两点的距离和为8，求x的值；（3）对任意的有理数x，|x+1|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【分析】根据多项式的概念得到a，b的值，再用题目中给出的数轴上两点之间的距离表示方法解决此题（1）用题目中给出两个数之差的绝对值的几何意义结合数轴解答；（2）根据题意用绝对值表示出AC+BC＝8，结合数轴解答；（3）|x+1|+|x﹣3|表示x到﹣1和x到3的距离之和，在数轴上找到﹣1和3两点，根据x不同位置得到|x+1|+|x﹣3|的值变化，进而判断最小值【解答】解：由题得：a＝﹣1，b＝3．（1）∵|x﹣a|＝1，∴|x﹣（﹣1）|＝1．有数轴可得到﹣1距离为1的数值有﹣2或0，∴x＝﹣2或x＝0．（2）由题得：AC+BC＝8，∴|x﹣（﹣1）|+|x﹣3|＝8，有数轴得到，﹣3到﹣1距离为2，到3距离为6，距离之和为8，5到﹣1距离为6，到3距离为2，距离之和为8，∴x＝﹣3或x＝5（3）|x+1|+|x﹣3|表示x到﹣1和x到3的距离之和，有数轴可得，当x位于AB两点（包含A，B）之间时，该点距离之和为AB长度4，当x在AB之外时，该点到AB距离之和大于AB长度，∴|x+1|+|x﹣3|有最小值4．【点评】本题考查了多项式的常数项，多项式的次数，数轴上两点之间距离，数形结合的思想是解决本题的关键12．（2021秋•密云区期末）对于数轴上的点P，Q，我们把点P与点Q两点之间的距离记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是5，点Q表示的数是2，则点P与点Q两点之间的距离为d[PQ]＝3．已知点O为数轴原点，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5．（1）d[OA]＝1；d[AB]＝6．（2）点C在数轴上表示的数为x，且点C在点A左侧，当满足d[AC]＝d[BC]时，求x的值．（3）若点E表示的数为m，点F表示的数为m+2，且d[AF]是d[BE]的3倍，求m的值．【分析】（1）利用数轴上两点间距离进行计算即可；（2）利用数轴上两点间距离列出方程进行计算即可；（3）分两种情况，点E在A、B之间，点E在点B右侧．【解答】解：（1）由题意得：d[OA]＝0﹣（﹣1）＝0+1＝1，d[AB]＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，故答案为：1，6；（2）解：∵点C在点A左侧，点C在数轴上表示的数为x，∴d[AC]＝﹣1﹣xd[BC]＝5﹣x∵d[AC]＝d[BC]，∴﹣1﹣x＝（5﹣x），∴x＝﹣7；（3）解：分两种情况：当点E在A、B之间时，d[AF]＝m+2﹣（﹣1）＝m+3，d[BE]＝5﹣m，∵d[AF]是d[BE]的3倍，∴m+3＝3（5﹣m），∴m＝3，当点E在点B右侧时，d[AF]＝m+2﹣（﹣1）＝m+3，d[BE]＝m﹣5，∵d[AF]是d[BE]的3倍，∴m+3＝3（m﹣5），∴m＝9，综上所述：m＝3或m＝9．【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．同时渗透了分类讨论的数学思想．13．（2022秋•巴东县校级月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它在数轴上的意义是表示数4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它在数轴上的意义是表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题：（1）在数轴上的意义是表示数2的点与表示数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|．（2）反过来，式子|a+5|在数轴上的意义是数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离．（3）试用数轴探究：当|m﹣2|＝3时m的值为﹣1或5．（4）进一步探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为10，此时m的取值范围为﹣1≤m≤9．（5）最后发现，当|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的值最小时，m的值为4．【分析】（1）根据材料可得结果；（2）根据|a﹣b|的几何意义求解可得；（3）根据|a﹣b|的几何意义求解可得；（4）根据m＜﹣1，﹣1≤m≤9，m＞9三种情况确定最小值和此时m的取值；（5）通过材料及前几问的解答可知|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|中m表示到﹣1、9、16的距离之和，式子有最小值时，m＝9．【解答】解：（1）在数轴上的意义是表示数2的点与表示数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；故答案为：|2﹣（﹣3）|；（2）式子|a+5|在数轴上的意义是数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；故答案为：数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；（3）等式|m﹣2|＝3的几何意义是表示m到数2的距离为3的点，则m的值为﹣1或5；故答案为：﹣1或5；（4）式子|m+1|+|m﹣9|表示数m到﹣1和9的距离之和，当m＜﹣1时，原式＝﹣m﹣1﹣m+9＝﹣2m+8＞10，当﹣1≤m≤9时，原式＝m+1+9﹣m＝10，当m＞9时，原式＝m+1+m﹣9＝2m﹣8＞10，故式子|m+1|+|m﹣9|的最小值为10，此时m满足的条件是﹣1≤m≤9；故答案为：10，﹣1≤m≤9；（5）根据材料可知|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|中m表示到﹣1、9、16的距离之和，∴当m＝9时，式子有最小值；故答案为：9．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算、绝对值、绝对值的非负性、数轴，熟练掌握数轴的特点及绝对值的非负性，对式子意义的理解是解题关键．14．（2021秋•静海区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示a与2的两点之间的距离可以表示为|a﹣2|；表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝1或﹣5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）同理|a+3|+|a﹣1|表示数轴上有理数a所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数a，使得|a+3|+|a﹣1|＝4，这样的整数是﹣3，﹣2，﹣1，0，1．（3）由以上探索猜想对于任何有理数a，|a﹣3|+|a﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．（4）存在不存在数a，使代数式|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|的值最小？如果存在，请写出数a＝2，此时代数式|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|最小值是7．【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的求法求解即可；（2）由题意可得﹣3≤a≤1，求出满足条件的a的值即可；（3）由题意可知当3≤a≤6时，|a﹣3|+|a﹣6|有最小值3；（4）根据|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|表示数轴上有理数a所对应的点到﹣3、2、4所对应的点的距离之和，可得当a＝2时，|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|有最小值7．【解答】解：（1）数轴上表示1和4的两点之间的距离是|1﹣4|＝3，数轴上表示a与2的两点之间的距离可以表示为|a﹣2|，∵表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，∴|a﹣（﹣2）|＝3，∴a+2＝3或a+2＝﹣3，解得a＝1或a＝﹣5，表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|，故答案为：3；|a﹣2|；1或﹣5；|m﹣n|；（2）∵﹣3与1之间的距离是4，∴﹣3≤a≤1，∵a是整数，∴a的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，故答案为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1；（3）|a﹣3|+|a﹣6|有最小值，理由如下：|a﹣3|+|a﹣6|表示数轴上有理数a所对应的点到3和6所对应的点的距离之和，∵3与6之间的距离是3，∴当3≤a≤6时，|a﹣3|+|a﹣6|有最小值3；（4）存在数a，使代数式|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|的值最小，理由如下：|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|表示数轴上有理数a所对应的点到﹣3、2、4所对应的点的距离之和，当a＝2时，|a+3|+|a﹣2|+|a﹣4|有最小值7，故答案为：2，7．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键．15．（2021秋•惠阳区月考）阅读材料：已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB．（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．（2）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下三个问题：（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则x＝﹣6或2；（2）结合数轴，若代数式|x+1|+|x﹣2|有最小值，则最小值为3；（3）结合数轴，若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，分别求代数式x+2y的最大值和最小值．【分析】（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；（2）当x在﹣1和2之间时，代数式|x+1|+|x﹣2|有最小值，从而得结论；（3）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范围，则问题得解．【解答】解：（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则|x+2|＝4，解得x＝﹣6或x＝2，故答案为：﹣6或2；（2）当点x在﹣1和2之间时，代数式|x+1|+|x﹣2|有最小值为2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（3）∵（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，又∵|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，∴1≤x≤3，﹣1≤y≤2，∴代数式x+2y的最大值是7，最小值是﹣1．【点评】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则是解题的关键．16．（2021秋•新抚区月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是2；数轴上表示﹣5和2两点之间的距离是7；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x﹣5|，表示数y与﹣3两点之间的距离可以表示为|y+3|；（2）如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是5．那么a＝4或﹣6；若数轴上表示数a的点位于﹣3与1之间，求|a+3|+|a﹣1|的值；（3）当a＝﹣1时，|a+4|+|a+1|+|a﹣6|的值最小，最小值是10．【分析】（1）观察数轴可得答案；（2）如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是5，化简绝对值即可得答案；若数轴上表示数a的点位于﹣3与1之间，则|a+3|+|a﹣1|的值等于1和﹣3之间的距离；（4）|a+4|+|a+1|+|a﹣6|表示数a的点到﹣4，﹣1，6三点的距离的和，据此找到中间点可解．【解答】解：（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是3﹣1＝2；数轴上表示﹣5和2两点之间的距离是2﹣（﹣5）＝7；﹣般地，数轴上表示数m和数m的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x﹣5|，表示数y与﹣3两点之间的距离可以表示为|y+3|；故答案为：2，7，|x﹣5|，|y+3|；（2）如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是5，那么|a﹣（﹣1）|＝5，∴|a+1|＝5，∴a+1＝5或a+1＝﹣5，解得a＝4或a＝﹣6；当数轴上表示数a的点位于﹣3与1之间时，|a+3|+|a﹣1|＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4；故答案为：4或﹣6；（3）∵|a+4|+|a+1|+|a﹣6|表示数a的点到﹣4，﹣1，6三点的距离的和，∴当a＝﹣1时，该式的值最小，最小值为4+0+6＝10，∴当＝﹣1时，|a+4|+|a+1|+|a﹣6|的值最小，最小值是10，故答案为：﹣1，10．【点评】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键．17．（2021秋•惠阳区校级月考）一条直线流水线上有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图所示．（1）站在点A1上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点A2和点A5，点A3和点A4上的机器人到原点的距离相等；（2）若原点是零件供应点，则5个机器人到达供应点取货的总路程是多少？【分析】（1）根据数轴可以解答本题；（2）根据绝对值和数轴可以解答本题．【解答】解：（1）由数轴可得：站在点A1上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点A2和点A5，点A3和点A4上的机器人到原点的距离相等；故答案为：A1，A2，A5，A3，A4；（2）由题意可得：|﹣4|+|﹣3|+|﹣1|+|1|+|3|＝4+3+1+1+3＝12（米），答：这5个机器人到达供应点取货的总路程为12米．【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，找出所求问题需要的条件，结合绝对值解决问题．18．（2021秋•六盘水月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：1，B：﹣2.5；（2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是：﹣2或4；（3）若将数轴折叠，使A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M：﹣1011.5，N：1009.5．【分析】（1）数轴上可以直接看出A，B两点表示的数；（2）利用与点A的距离为3的点有两个，即点A的左边和右边，可得答案；（3）找到折痕即可得答案；（4）由题意知折痕为﹣1，以及M，N两点间的距离为2021，即可得M，N两点的位置．【解答】解：（1）数轴上可以看出A：1，B：﹣2.5，故答案为：1，﹣2.5；（2）利用与点A的距离为3的点有两个，即一个在A的左边，一个在A的右边，∴这些点表示的数为：1﹣3＝﹣2，1+3＝4，故答案为：﹣2或4；（3）∵经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，∴两点的折痕是＝﹣1，∴B点与数重合，故答案为：；（4）∵两点的折痕是﹣1，数轴上M、N两点之间的距离为2021，∴M、N两点与折痕的距离为＝1010.5，又∵M在N的左侧，∴M、N两点表示的数分别是：﹣1010.5﹣1＝﹣1011.5，1010.5﹣1＝1009.5，故答案为：﹣1011.5，1009.5．【点评】本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全．19．（2021秋•西城区校级期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应数的分别为a，b，c．其中点A、点B两点间的距离AB的长是20，点B、点C两点间的距离BC的长是8．（1）若以点C为原点，直接写出点A，B所对应的数；（2）若原点O在A，B两点之间，求|a|+|b|+|b﹣c|的值；（3）若O是原点，且点B到原点O的距离是6，求a+b﹣c的值．【分析】（1）根据数轴的定义可求点A，B所对应的数；（2）先根据绝对值的性质求得|a|+|b|＝20，|b﹣c|＝8，|再代入计算即可求解；（3）分两种情况：原点O在点B的左边；原点O在点B的右边；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）点A所对应的数是﹣8﹣20＝﹣28，点B所对应的数﹣8；（2）当原点O在A，B两点之间时，|a|+|b|＝20，|b﹣c|＝8，|a|+|b|+|b﹣c|＝20+8＝28；（3）若原点O在点B的左边，则点A，B，C所对应数分别是a＝﹣﹣14，b＝6，c＝14，则a+b﹣c＝﹣14+6﹣14＝﹣22；若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a＝﹣26，b＝﹣6，c＝2，则a+b﹣c＝﹣26﹣6﹣2＝﹣34．综上，a+b﹣c的值是﹣22或﹣34．【点评】本题主要考查了数轴及绝对值，解题的关键是能把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．20．（2020秋•江阴市校级月考）阅读下列内容：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）（1）若|x﹣1|＝|x+1|，则x＝0，若|x﹣2|＝|x+1|，则x＝；（2）若|x﹣2|+|x+1|＝3，则x的取值范围是﹣1≤x≤2；（3）若|x﹣2|+|x+1|＝5，则x的值是﹣2或3；（4）若|x﹣2|﹣|x+1|＝3，则x能取到的最大值是﹣1．【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）根据绝对值的意义，得到x的取值范围；（3）根据绝对值的意义，分情况解方程即可；（4）分三种情况讨论，即可求解．【解答】解：（1）|x﹣1|＝|x+1|表示数轴上表示x的点到表示1和﹣1的距离相等，因此到1和﹣1距离相等的点表示的数为＝0，|x﹣2|＝|x+1|表示数轴上表示x的点到表示2和﹣1的距离相等，因此到2和﹣1距离相等的点表示的数为＝，故答案为：0，；（2）|x﹣2|+|x+1|＝3表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和﹣1两点的距离之和为3，可得﹣1≤x≤2；故答案为：﹣1≤x≤2；（3）|x﹣2|+|x+1|＝5表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数2和﹣1两点的距离之和为5，当x＜﹣1时，﹣x+2﹣x﹣1＝5，x＝﹣2，当x＞2时，x﹣2+x+1＝5，x＝3，∴x＝﹣2或3，故答案为：﹣2或3；（4）当x＞2时，x﹣2﹣（x+1）＝﹣3≠3，方程无解；当﹣1≤x≤2时，2﹣x﹣（x+1）＝1﹣2x＝3，x＝﹣1；当x＜﹣1时，2﹣x+x+1＝3；∴若|x﹣2|﹣|x+1|＝3，则x能取到的最大值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键．21．（2021秋•门头沟区期末）我们规定：数轴上的点A到原点的距离为a，如果数轴上存在某点P，到点A的距离是a的整数倍，就把点P称作点A的k倍关联点．（1）当点A所表示的数是﹣1.5时，①如果存在点A的2倍关联点，则a＝1.5；点P所表示的数是﹣4.5或1.5；②如果点P在数轴上所表示的﹣3～7两点之间运动，若存在点A最大的k倍关联点，则k＝5；（2）如果点A在数轴上所表示的1～4两点之间运动，且存在A的2倍关联点，求点P所表示的数的取值范围．【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可；（2）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可；（3）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可．【解答】解：（1）∵点A所表示的数是﹣1.5，数轴上的点A到原点的距离为a，∴a＝0﹣（﹣1.5）＝0+1.5＝1.5，∵存在点A的2倍关联点，∴PA＝2a＝3，∴﹣1.5+3＝1.5，或﹣1.5﹣3＝﹣4.5，∴点P所表示的数是﹣4.5或1.5，故答案为：1.5，﹣4.5或1.5；（2）∵点P在数轴上所表示的﹣3～7两点之间运动，∴PA＝﹣1.5﹣（﹣3）＝﹣1.5+3＝1.5，或PA＝7﹣（﹣1.5）＝7+1.5＝8.5，∴点P到点A的最大距离为：8.5，∵8.5÷1.5＝5...1，∴k＝5，故答案为：5；（3）设点A表示的数为x，点P表示的数为y，∵点A在数轴上所表示的1～4两点之间运动，∴1＜x＜4，∴数轴上的点A到原点的距离为a＝x﹣0＝x，∵存在A的2倍关联点，∴PA＝2a，∴|x﹣y|＝2x，∴x﹣y＝2x或x﹣y＝﹣2x，∴y＝﹣x或y＝3x，∵1＜x＜4，∴﹣4＜﹣x＜﹣1或3＜3x＜12，即﹣4＜y＜﹣1或3＜y＜12，∴点P所表示的数的取值范围为：﹣4～﹣1或3～12．【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键．22．（2021秋•藁城区校级月考）出租车司机小李某天上午营运时是从儿童公园出发在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣2，+5，﹣1，+1，﹣6，﹣2，问：（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？（2）若出租车起步价为8元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午接送完第6位客人共得车费多少元？（3）若汽车耗油量为0.2L/km（升/千米），这天上午小李将6位客人接送完毕，再次回到儿童公园时，出租车共耗油多少升？【分析】（1）先将这几个数相加，如果和为正则在出发点的东方，若和为负则在出发点的西方；（2）不超过3km的按8元计算，超过3km的，在8元的基础上再加上超过部分乘以1.2元即可．（3）先将这几个数的绝对值相加，再加上回到原来位置的数据，再乘以油耗量即可得出答案．【解答】解：（1）﹣2+5﹣1+1﹣6﹣2＝﹣5，答：小李在起始点的西5km的位置．（2）6×8+（2+3）×1.2＝54（元），答：小李这天上午共得车费54元．（3）|﹣2|+|+5|+|﹣1|+|+1|+|﹣6|+|﹣2|+5＝2+5+1+1+6+2+5＝22，22×0.2＝4.4（升），答：出租车共耗油3.4L．【点评】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，掌握正负数的实际应用是做题关键．23．（2021秋•江岸区校级月考）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，（a+6）2与|a﹣b+10|互为相反数，线段CD在数轴上从A点左侧沿数轴正方向匀速运动（点C在点D的左侧），点M、N分别为AC、BD的中点．（1）AB的长为10；若CD＝2，则MN的长为6；（2）在（1）条件下，当DM＝时，求N点所表示的有理数；（3）设CD＝m，线段CD运动的速度为v，则在运动过程中，线段CD完全通过线段MN的时间为．（用含m、v的式子表示）【分析】（1）由题意可直接得到A，B两点表示的有理数分别为﹣6和4，设AC＝k，则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，由点M、N分别为AC、BD的中点，可得出CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，所以MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；（2）根据（1）中的结论，可直接求得；（3）思路和过程同（1）中过程，可直接求出DC走的路程，根据速度可求出运动时间．【解答】解：（1）∵（a+6）2与|a﹣b+10|互为相反数，∴（a+6）2+|a﹣b+10|＝0，又∵（a+6）2≥0，|a﹣b+10|≥0，∴，∴，∴A，B两点表示的有理数分别为﹣6和4，∴AB＝4﹣（﹣6）＝10；如题图1，设AC＝k，则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，∵点M、N分别为AC、BD的中点，∴CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（8﹣k）＝4﹣k，∴MN＝CM+CD+DN＝k+2+4﹣k＝6；故答案为：10；6；（2）如题图2，当DM＝时，AM＝CM＝CD﹣DM＝2﹣＝，∵MN＝6，∴AN＝MN﹣AM＝6﹣＝，又∵点A表示的有理数为﹣6，∴点N表示的有理数为﹣6+＝﹣；（3）设AC＝k，则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣m＝10﹣k﹣m，∵点M、N分别为AC、BD的中点，∴CM＝AM＝AC＝k，DN＝BD＝（10﹣k﹣m）＝5﹣k﹣m，∴MN＝CM+CD+DN＝k+m+5﹣k﹣m＝5+m；∴在运动过程中，线段CD完全通过线段MN的时间为：＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查数轴上点的运动，涉及线段的和差运算，线段中点的定义等内容，根据图形得出线段之间的和差关系是解题关键．24．（2022秋•温江区校级期中）距离能够产生美，唐代著名学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚．”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度，同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距表示为AB＝|a﹣b|．请回答：（1）数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是7，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3．（2）数轴上表示x和﹣3的两点A，B之间的距离是|x+3|，若AB＝5，则x为2或﹣8．（3）利用绝对值的几何意义观察、分析、归纳，并比较大小：|a|﹣|b|≤|a﹣b|．（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）（4）如果|a|﹣|b|＝13，|a﹣b|＝25，求a的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法直接求解即可；（2）根据数轴上两点间距离的求法直接写出，再由x+3＝5或x+3＝﹣5，求出x的值即可；（3）分两种情况讨论：当a、b同号时，|a|﹣|b|≤|a﹣b|，当a、b异号时，|a|﹣|b|≤|a﹣b|；（4）分两种情况讨论：设|a|＝x，则|b|＝x﹣13，当a、b在原点两侧时，|a﹣b|＝2x﹣13＝25，a的值为19或﹣19；当a、b在原点同侧时，不符合题意．【解答】解：（1）∵|﹣2﹣5|＝7，∴数轴上表示﹣2和5的两点之间的距离是7，∵|﹣2﹣（﹣5）|＝3，∴数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是3，故答案为：7，3；（2）表示x和﹣3的两点距离是|x﹣（﹣3）|＝|x+3|，∵AB＝5，∴|x+3|＝5，∴x+3＝5或x+3＝﹣5，解得x＝2或x＝﹣8，∴x的值为2或﹣8，故答案为：|x+3|，2或﹣8；（3）当a、b同号时，|a|﹣|b|≤|a﹣b|，当a、b异号时，|a|﹣|b|≤|a﹣b|，综上所述：|a|﹣|b|≤|a﹣b|，故答案为：≤；（4）设|a|＝x，则|b|＝x﹣13，当a、b在原点两侧时，|a﹣b|＝2x﹣13＝25，解得x＝19，∴a的值为19或﹣19；当a、b在原点同侧时，不符合题意；综上所述：a的值为19或﹣19．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法，绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．25．（2021秋•东城区期末）对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是1或4；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．【分析】（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；（2）设这点为E，对应的数字为a，利用分类讨论的思想方法根据＝3分别列出方程，解方程即可得出结论；（3）分两种情况：①点D在点B的左侧，②点D在点C的右侧，分别计算出x的两个临界值即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴点B是点A到点C的倍分点，∵，∴点C是点B到点A的倍分点．故答案为：；；（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．当点E在B，C之间时，∵＝3，∴，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．故答案为：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．∴x的取值范围为﹣3≤x≤﹣2；②点D在点C的右侧，∵，解得：x＝5，∴x的最大值为5，③当点D在线段BC上时，∵＝2，∴x＝0，∴当点D在线段BC上时存在点A到点D的2倍分点，∴x的取值范围﹣3≤x≤5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．【点评】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，本题是新定义型题目理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度是解题的关键．26．（2022秋•顺德区月考）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为13．（1）填空：点H在数轴上表示的数是13，点A在数轴上表示的数是﹣12．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝ON时，求x的值．（3）若长方形ABCD以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝6时，求此时t的值．【分析】（1）由题意可分别求出H点表示的数是5+8＝13，点D表示的数是5﹣13＝﹣8，A点表示的数是﹣8﹣4＝﹣12；（2）根据题意分别求出M点运动后表示的数是﹣10+4x，N点运动后表示的数是7﹣3x，再由OM＝ON，得到方程|4x﹣10|＝|7﹣3x|，求出x的值即可；（3）根据题意求出运动后D点表示的数是﹣8+4t，A点表示的数是﹣12+4t，分两种情况讨论：当D点运动到E点右侧，A点在D点左侧时，S＝6＝2×（4t﹣13），解得t＝4，当D点运动到H点右侧，A点在H点左侧时，S＝6＝2×（25﹣4t），解得t＝．【解答】解：（1）∵EH＝8，E点表示的数是5，∴H点表示的数是5+8＝13，∵DE＝13，∴D点表示的数是5﹣13＝﹣8，∵AD＝4，∴A点表示的数是﹣8﹣4＝﹣12，故答案为：13，﹣12；（2）∵EN＝EH，EH＝8，∴EN＝2，∴N点表示的数是5+2＝7，∵线段AD的中点为M，AD＝4，∴DM＝2，∴M点表示的数是﹣8﹣2＝﹣10，∵M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，∴M点运动后表示的数是﹣10+4x，N点运动后表示的数是7﹣3x，∵OM＝ON，∴|4x﹣10|＝|7﹣3x|，解得x＝3或x＝，∴x的值为3或；（3）∵AD＝4，CD＝2，∴长方形ABCD的面积是8，运动后D点表示的数是﹣8+4t，A点表示的数是﹣12+4t，当D点运动到E点右侧，A点在D点左侧时，∵DE＝﹣8+4t﹣5＝4t﹣13，∴S＝6＝2×（4t﹣13），解得t＝4，当D点运动到H点右侧，A点在H点左侧时，∵AH＝13﹣（﹣12+4t）＝25﹣4t，∴S＝6＝2×（25﹣4t），解得t＝，综上所述：t的值为4或．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间距离的求法是解题的关键．27．（2020秋•高州市期末）在数轴上，点A、B分别对应实数﹣10和25，点M从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点N从A点以每秒7个单位长度的速度向右匀速运动；M，N两点到达B点后均停止运动；若点M出发1秒后点N才出发．（1）点N出发后需要多长时间才追上点M？（2）从点M出发开始到点M停止运动期间，何时M、N两点之间的距离刚好为1个单位长度？【分析】（1）设点N追上点M需要x秒，然后根据点N与点M的运动的路程相等列出方程即可解答．（2）分四种情况讨论，①点M出发后，点N出发前，②点N出发后，点N追上动点M之前，③点N追上点M之后，④点N到达B点停止运动后，点M继续运动在到达B点前．【解答】解：（1）设点N追上点M需要x秒，根据题意得：7x＝5（x+1），解得：x＝2.5，答：点N追上点M需要2.5秒；（2）要分四种情况讨论：设点M出发t秒后，M、N两点之间的距离刚好为1个单位长度，①当点M出发不到1秒，点N还未出发时，M、N两点间距离为1，由题意得5t＝1，解得t＝0.2，②当点M出发1秒后，点N追上动点M之前，M、N两点间距离为1，由题意得：5t﹣1＝7（t﹣1），解得：t＝3，③当点M出发1秒后，点N追上点M之后，M、N两点间距离为1，由题意得：5t+1＝7（t﹣1），解得：t＝4，④当点N到达B点停止运动后，M、N两点间距离为1，由题意得：|25﹣（﹣10）|÷7＝5，5t＝|25﹣（﹣10）|﹣1，解得：t＝6.8＞5，答：动点M出发0.2秒或3秒或4秒或6.8秒时，M、N两点之间的距离刚好为1个单位长度．【点评】本题考查了实数与数轴，一元一次方程的应用，分四种情况讨论是解题的关键．28．（2020秋•仁寿县校级月考）阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|当A、B两点中有一点在原点时，设点A在原点，如图①|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|当A、B两点都不在原点时，（1）如图②，点A，B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如图③，点A、B都在原点的左边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|（3）如图④，点A、B在原点的两边|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|综上所述，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|请用上面的知识解答下面的问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是4；（2）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是4；（3）数轴上表示A和B两点的数分别为x和﹣1，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3；（4）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是D；A、x比﹣1小B、x取任意数C、x比2大D、x在﹣1和2之间，包含﹣1和2．（5）当x＝3时，|x﹣3|+|x+2|+|x﹣7|有最小值．【分析】（1）由两点间距离公式直接求解即可；（2）由两点间距离公式直接求解即可；（3）由|AB|＝|x+1|＝2，求解x即可；（4）根据绝对值的几何意义可得，﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取最小值；（5）根据绝对值的几何意义，找到﹣2，3，7三个数的中间数，则当x＝3时，x﹣3|+|x+2|+|x﹣7|有最小值．【解答】解：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是5﹣1＝4，故答案为：4；（2）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，故答案为：4；（3）∵A表示的数是x，B表示的数是﹣1，∴|AB|＝|x+1|，∵|AB|＝2，∴|x+1|＝2，解得x＝1或x＝﹣3，故答案为：1或﹣3；（4）|x+1|+|x﹣2|表示数轴上表示x的数与表示﹣1的数和2的数的距离和，∴﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|取最小值，故选：D；（5）|x﹣3|+|x+2|+|x﹣7||表示数轴上表示x的数与表示3的数的距离，加上x与表示﹣2的数的距离，加上x与表示7的数的距离，∵﹣2，3，7三个数的中间数是3，∴当x＝3时，x﹣3|+|x+2|+|x﹣7|有最小值，故答案为：3．【点评】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义，灵活应用绝对值的几何意义求多个绝对值的和的最小值是解题的关键．29．（2022秋•尤溪县期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14．（1）数轴上点H、A分别表示什么数？（2）若长方形ABCD以4个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度秒的速度向左匀速运动，线段AD的中点为M，线段EH上一点N，，设运动时间为x秒，原点为O．当MN＝2（单位长度）时，求此时x的值，（3）若长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．【分析】（1）根据已知条件求出OH、OD，进而求出OA，得出点H在数轴上表示的数和点A在数轴上表示的数；（2）根据已知条件列出含有绝对值的方程，再解绝对值方程，得到答案；（3）先计算出两个长方形重叠部分的面积为12时，重叠部分的的长方形的长，再分情况计算即可．【解答】解：（1）由题意得：ED＝14，OE＝5，EH＝10，AD＝6，∴OH＝OE+EH＝5+10＝15，OD＝ED﹣OE＝14﹣5＝9，∴OA＝OD+AD＝9+6＝15，∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是﹣15；（2）∵点M为线段AD的中点，AD＝6，∴DM＝3，∵线段AD的中点为M，∴M表示的数为﹣12，∵线段EH上一点N，且，EH＝10，∴EN＝2，∴ON＝OE+EN＝5+2＝7，∴N表示的数为7，∵点M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，则经过x秒后，M点表示的数为4x﹣12，N点表示的数为7﹣3x，∵MN＝2，∴|4x﹣12﹣（7﹣3x）|＝2，即|7x﹣19|＝2，∴7x﹣19＝2或7x﹣19＝﹣2，∴x＝3或，∴x＝3秒或秒时，MN＝2；（3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，两个长方形重叠部分的面积为12，∴重叠部分的的长方形的长为4，当点D运动到E点右边4个单位时，∵两个长方形重叠部分的面积为12，∴此时长方形ABCD运动的时间为：（14+4）÷4＝（秒）；当点A运动到H点左边4个单位时，∵两个长方形重叠部分的面积为12，∴此时长方形ABCD运动的时间为：（15+5+6）÷4＝（秒），综上，长方形ABCD运动的时间为秒或秒时，两个长方形重叠部分的面积为12．【点评】本题主要考查的是数轴的概念、绝对值方程的应用，动点问题，正确列出绝对值方程、确定两个长方形重叠部分面积为12时，长方形ABCD的位置是解题的关键．30．（2021秋•南关区校级期中）如图（1），在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为﹣6，点C在点B右侧，且BC＝5AB．动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，在运动过程中，以P为顶点，作正方形PQMN，使N在P左侧，且PN＝1，点M、Q在数轴上方．设运动的时间为t秒．（1）AB＝4；点C表示的数为14．（2）运动过程中，点P在数轴上对应的数为14﹣t．（用含t的代数式表示）（3）如图（2），作长方形EFGH，使点G与点B重合，点H与点A重合，点E、F在数轴上方，且BF＝3．①将长方形EFGH顺时针滚动（无滑动），求点E第3次落在数轴上时对应的数．②若长方形EFGH与点P同时出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点G与点C重合时立即以原速返回，当点H与点B重合时，长方形EFGH与正方形PQMN同时停止运动．直接写出长方形EFGH与正方形PQMN重叠部分面积为时，t的值．【分析】（1）先求出AB的距离，再求BC的距离，根据两点间距离的求法求出点C表示的数即可；（2）P点运动距离为t，再由P点运动情况即可求解；（3）①根据题意发现，从第一次E点落在数轴上后，E点每4次滚动位置循环一次，再结合长方形的边长求解即可；②由题意可得GF或EH经过PN的中点，设PN的中点为Q，则QP＝，Q点表示的数为13.5﹣t，分两种情况讨论：当长方形EFGH与正方形PQMN相向而行时，当Q与G重合时，﹣6+3t＝13.5﹣t，解得t＝，当Q与G重合时，﹣10+3t＝13.5﹣t，解得t＝，当长方形EFGH从C点返回后追上正方形PQMN时，当G到C点后，再从C点追上点Q，则有14﹣3（t﹣）＝13.5﹣t，解得t＝，当H点返回时，追上Q点，则有（14﹣4）﹣3（t﹣）＝13.5﹣t，解得t＝．【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣10，点B表示的数为﹣6，∴AB＝4，∵BC＝5AB，∴BC＝20，∵﹣6+20＝14，∴C点表示的数是14，故答案为：4，14；（2）∵P点从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动的时间为t秒，∴P点运动后对应的数为14﹣t，故答案为：14﹣t；（3）①∵AB＝4，BF＝3，∴第一次E点落在数轴上时，HE＝4+3+4＝11，∴E点表示的数为﹣10+11＝1，第二次E点落在数轴上时，E点表示的数为1+（3+4+3+4）＝15，第三次E点落在数轴上时，E点表示的数为15+（3+4+3+4）＝29；②∵PQMN是正方形，PN＝1，∴正方形PQMN的面积为1，∵长方形EFGH与正方形PQMN重叠部分面积为，∴GF或EH经过PN的中点，设PN的中点为Q，∴QP＝，∴Q点表示的数为13.5﹣t，当长方形EFGH与正方形PQMN相向而行时，G点表示的数为﹣6+3t，H点表示的数为﹣10+3t，∴当Q与G重合时，﹣6+3t＝13.5﹣t，解得t＝，当Q与G重合时，﹣10+3t＝13.5﹣t，解得t＝，当长方形EFGH从C点返回后追上正方形PQMN时，∵G点到C点需要的时间为＝（s），当G到C点后，再从C点追上点Q，则有14﹣3（t﹣）＝13.5﹣t，解得t＝，当H点返回时，追上Q点，则有（14﹣4）﹣3（t﹣）＝13.5﹣t，解得t＝，综上所述：t的值为或或或．【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，正方形，长方形的性质，分类讨论是解题的关键．31．（2021秋•南岸区校级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC＝|3﹣1|，A，C之间的距离表示为：AC＝|3﹣（﹣2）|＝|3+2|．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，P，B之间的距离表示为：PB＝|x﹣1|．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简|x+2|+|x﹣1|＝﹣2x﹣1；②若点P在线段AB上，化简|x+2|+|x﹣1|＝3；③若点P在点B右侧，化简|x+2|+|x﹣1|＝2x+1；④由图可知，|x+2|+|x﹣1|的最小值是3．（2）请按照（1）问的方法思考：|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是5．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为200m．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．【分析】（1）如图1，①若点P在点A左侧，得x+2＜0，x﹣1＜0，|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2﹣x+1＝﹣2x﹣1；②若点P在线段AB上，得x+2≥0，x﹣1≥0，|x+2|+|x﹣1|＝x+2﹣x+1＝3；③若点P在点B右侧，得x+2＞0，x﹣1＞0，|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝2x+1；④由图可知，当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|的最小，最小值为3；（2）|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的几何意义是表示数x的点与﹣3，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解；（3）如图2，建立数轴模型，则点E、F、G、H四点分别表示﹣200，0，200，400，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为|x+200|+|x|+|x﹣200|+|x﹣400|，当x满足0≤x≤200，该距离之和最小，最小值为EH+FG＝800m．【解答】解：（1）如图1，①若点P在点A左侧，得x+2＜0，x﹣1＜0，∴|x+2|+|x﹣1|＝﹣x﹣2﹣x+1＝﹣2x﹣1；②若点P在线段AB上，得x+2≥0，x﹣1≥0，∴|x+2|+|x﹣1|＝x+2﹣x+1＝3；③若点P在点B右侧，得x+2＞0，x﹣1＞0，∴|x+2|+|x﹣1|＝x+2+x﹣1＝2x+1；④由图可知，当﹣2≤x≤1时，|x+2|+|x﹣1|的最小，最小值为3；故答案为：﹣2x﹣1；3；2x+1；3；（2）|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的