第2章 有理数及其运算全章复习与测试（原卷版）

第2章有理数及其运算全章复习与测试【知识梳理】1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．4．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．5．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）6．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．7．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•＝1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．8．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．9．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．10．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．11．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．12．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．13．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．14．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．15．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．16．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．17．计算器—有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值．18．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（2）含有π的绝大部分数，如2π．【考点剖析】一．正数和负数（共3小题）1．（2022秋•聊城期末）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．（2023•越秀区校级一模）某天的温度上升了﹣2℃的意义是（）A．上升了2℃ B．没有变化 C．下降了﹣2℃ D．下降了2℃3．（2022秋•内江期末）卓越中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）：+18，﹣1，+22，﹣2，﹣5，+12，﹣8，1，+8，+15．（1）求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少？（2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？（3）规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量，每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过60分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否得到学校奖励？二．有理数（共3小题）4．（2022秋•郸城县期末）下列各数中为有理数（）A．π B． C．3.3030030003… D．面积为2的正方形的边长a5．（2022秋•青神县期末）若a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的数，则a+b+c＝（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1或16．（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（）A． B． C． D．80%三．数轴（共5小题）7．（2023•东明县二模）如图，数轴上点A表示的有理数可能是（）A．﹣2.7 B．﹣2.3 C．﹣1.7 D．﹣1.38．（2022秋•大余县期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）填空：A，B之间的距离为；A，C之间的距离为；（2）化简：|a﹣1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|﹣1﹣c|．9．（2023•路南区二模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．210．（2022秋•公安县期末）9月5日是“中华慈善日”，某出租车司机在这天献爱心免费接送乘客．在家门口东西走向的友爱大道上他连续免费接送8位乘客，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负）．第一位第二位第三位第四位第五位第六位第七位第八位﹣4.5km3.5km8km﹣2km﹣6.5km﹣3.5km10km﹣2km（1）接送完第八位乘客后，该出租车在家门口的什么方向？距离家门口多少千米？（2）该出租车在这个过程中行驶的路程是多少？如果每千米耗油0.15升，那么共耗油多少升？11．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合；（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？四．相反数（共2小题）12．（2023•云岩区校级一模）若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）A．﹣2 B． C． D．213．（2023•振兴区校级一模）如果a与1互为相反数，那么a＝（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1五．绝对值（共2小题）14．（2023•运城二模）﹣9的绝对值是（）A．﹣9 B．9 C． D．15．（2023•涪城区模拟）若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1六．非负数的性质：绝对值（共4小题）16．（2022秋•绥宁县期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2022＝．17．（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．（1）a＝，b＝．（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．18．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（）A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣619．（2022秋•郑州期末）若|a﹣2|+|b+3|＝0，则ba的值为．七．倒数（共1小题）20．（2023•枣庄二模）下列互为倒数的是（）A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和八．有理数大小比较（共2小题）21．（2023•樊城区模拟）在数2，﹣2，，﹣中，最小的数为（）A．﹣2 B． C． D．222．（2023春•沈阳月考）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：﹣（﹣3），﹣，0，﹣|﹣|，2，并比较它们的大小．比较大小：＜＜＜＜．九．有理数的加法（共1小题）23．（2023•顺庆区三模）比﹣1大2的数是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3一十．有理数的减法（共1小题）24．（2023•旺苍县模拟）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6一十一．有理数的加减混合运算（共2小题）25．（2022秋•宛城区校级期末）把（﹣3）﹣（+4）﹣（﹣6）+（﹣7）+（+2）写成省略加号的和的形式正确的是（）A．﹣3﹣4﹣6﹣7+2 B．﹣3+4+6﹣7+2 C．﹣3﹣4+6﹣7+2 D．﹣3﹣4﹣6+7+226．（2022秋•永年区期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（）甲：11+（﹣14）+19﹣（﹣6）＝11+19+[（﹣14）+（﹣6）]＝10乙：A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确一十二．有理数的乘法（共1小题）27．（2023•红桥区一模）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6一十三．有理数的除法（共2小题）28．（2023•滨湖区一模）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣429．（2023•山西模拟）计算：的结果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2一十四．有理数的乘方（共2小题）30．（2023春•长宁区期末）计算：（﹣1）2022×33＝．31．（2023•伊通县模拟）43表示的意义是（）A．4+4+4 B．4×4×4 C．4×3 D．3×3×3×3一十五．非负数的性质：偶次方（共2小题）32．（2022秋•昆都仑区校级期末）若|a+|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．233．（2023春•江都区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为2，则△ABC的周长为．一十六．有理数的混合运算（共7小题）34．（2022秋•武安市期末）计算（﹣+﹣）×（﹣24）的结果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣1035．（2022秋•益阳期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．36．（2023•大连一模）计算：．37．（2023春•青秀区期中）计算：﹣22×5﹣（﹣2）3÷4．38．（2022秋•泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．（1）如果小玲想的数是﹣5，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？39．（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．40．（2023•池州模拟）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：；②．一十七．近似数和有效数字（共1小题）41．（2022秋•曲靖期末）由四舍五入得到的近似数57.75万，精确到了（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．千位一十八．科学记数法—表示较大的数（共1小题）42．（2022秋•高新区期末）2022年10月12号，“神舟十四号”飞行乘组，在距地面约390000米的中国空间站问天实验舱开展第三次天宫授课，大大激发了广大青少年的追求科学的兴趣，数据“390000”用科学记数法表示为（）A．3.9×104 B．3.9×105 C．39×104 D．0.39×106一十九．科学记数法—原数（共1小题）43．（2022秋•大连期末）用科学记数法写出的数﹣7.04×105原数是．二十．科学记数法与有效数字（共1小题）44．（2023春•普陀区期末）用科学记数法表示0.00763，结果保留两个有效数字约为．二十一．计算器—有理数（共1小题）45．（2022秋•安次区期中）用计算器求﹣53，按键的顺序正确的是（）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．表示（

）A． B． C． D．2．的相反数和倒数分别为（）A．3，3 B．3，- C．-，3 D．以上都不对3．甲、乙、丙三地的海拔分别为10米，-12米，-5米，那么最高的地方比最低的地方高(

)A．15米 B．22米 C．17米 D．7米4．把有理数a、b在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则a+b的结果是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（

）A． B． C． D．7．据人民网5月20日电报道：中国森林生态系统年涵养水源量为4947．66亿立方米，将4947．66亿用科学记数法表示为（

）A．B．C．D．8．如果向东走记为，则向西走可记为(

)A． B． C． D．9．下列各数：﹣6.2，﹣|+|，﹣（﹣1），﹣22，﹣[﹣（+2）]中，负数有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．2个10．若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m﹣n的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5二、填空题11．的绝对值是；倒数是．12．比较大小：（填“”或“”或“”）．13．计算：﹣12020+（﹣1）2019＝．14．下列说法：①两数的差一定小于被减数；②减去一个数等于加上这个数的相反数；③零减去一个数等于这个数的相反数；④一个负数减去一个正数差小于0；⑤两数相加和小于每一个加数，则这两个数一正一负．其中正确的说法是；15．请你画出一个数轴，在数轴上记出：、、0及绝对值是5的各点；看图回答：（1）若设表示的点是A，将点A沿数轴先向左移动1.5个单位再向右移动单位，最后点A表示的数是什么？回答：；（2）小于5且不小于的整数有个，它们分别是．（3）若M、N是数轴上的两点，且M点到原点的距离是1，当N点与M点分别在原点的两侧，两点之间的距离是4时，M、N各表示的是什么数．回答：．16．将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对(n，m)表示第n排、第m个数，比如(4，2)表示的数是8，则若(25，6)表示的数是．三、解答题17．把下面个各数填入相应的大括号内，，，，，，，整数集合：{_______________________}，非负整数集合：{_______________________}，负