1.1-生活中的立体图形（解析版）-小升初数学暑假衔接教材（北师大版）

第一章丰富的图形世界✰1.1生活中的立体图形001课堂目标知识1.认识柱体、椎体、球体，并能够熟练的进行立体图形的分类；2.掌握柱体、椎体、球体的特征；3.掌握柱体特征及其面的个数、棱的条数、顶点个数之间的关系；4.掌握立体图形的表面积、体积公式.方法1.掌握棱柱的顶点数、棱数、面数的计算方法；2.掌握立体图形的表面积和体积的计算方法.002知识梳理1．认识立体图形（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．2．立体图形的分类（1）常用的立体图形的分类为：球，柱体（圆柱、棱柱），椎体（圆锥、棱锥），台体（圆台、棱台）.（2）也可按照会否有曲面分类：①有曲面（球、圆柱、圆锥），②无曲面（棱柱、棱锥）.3．点、线、面、体（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．（2）从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．（3）从几何的观点来看：点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．4．几何体的表面积（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式：立体图形表面积公式圆柱体2πR2+2πRh（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）圆锥体πr2+nπ（h2+r2）/360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）长方体2（ab+ah+bh）（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）正方体6a2（a为正方体棱长）（3）常见的几种几何体的体积的计算公式：立体图形体积公式圆柱体πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）圆锥体1/3πR2h（R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）长方体abh（a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）正方体a3（a为正方体棱长）003例题精析立体图形的认识立体图形的认识题型一例1写出下图中各个几何体的名称．例1①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________．【答案】①圆柱；②圆锥；③四棱锥；④五棱柱；⑤三棱锥；⑥长方体（或四棱柱）【解析】【分析】分别根据圆柱、圆锥、四棱锥、五棱柱、三棱锥、四棱柱的基本特点即可进行判断得出．【详解】解：圆柱的侧面展开图是一个长方形，两个底面是圆形，由此可得①为圆柱；圆锥的侧面展开图是一个扇形，底面是一个圆形，可得②为圆锥；四棱锥的侧面是四个三角形，底面是一个四边形，可得③为四棱锥；五棱柱的侧面是五个长方形，底面是两个五边形，可得④为五棱柱；三棱锥的侧面是三个三角形，底面也是一个三角形，可得⑤为三棱锥；四棱柱的侧面是四个长方形，底面是两个四边形，可得⑥为四棱柱或长方体．例2例2【答案】柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球；见解析【解析】【分析】根据立体图形的分类：柱体，锥体，球体，可得答案．【详解】解：根据几何体的概念可得，柱体：①正方体，②长方体，③圆柱体，⑥四棱柱，⑦三棱柱；锥体：④圆锥；球体：⑤球．例3在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（

例3A．①②④⑥B．②③④C．②④⑤⑥D．①②③⑥【答案】A【解析】【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．【详解】在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是①长方体；②圆柱；④五棱柱；⑥正方体故选：A．变式1下列几何体中，属于棱柱的有________（填序号）．变式1【答案】①③⑤【解析】【分析】根据棱柱的特征进行判断即可．【详解】解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，故答案为：①③⑤．变式2（1）变式2（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由．【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．(2)按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体【解析】【分析】(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可；(2)按柱体、锥体、球体进行分类即可．【详解】解：(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．(2)观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体．变式3变式3对应的立体图形可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆锥D．圆柱【分析】根据圆锥的特点，可得答案．【解答】解：侧面是曲面，底面是圆形，该模型对应的立体图形可能是圆锥，故选：C．变式4变式4①正方体；②圆柱；③四棱柱；④圆锥．A．①②B．①③C．②③D．③④【分析】根据各种立体图形的特点可得答案．【解答】解：①正方体六个面；②圆柱三个面；③四棱柱六个面；④圆锥两个面，面数相同的是①③，故选：B．立体图形的棱与面立体图形的棱与面题型二【方法总结】【方法总结】棱柱底面多边形的边数为n，则该棱柱则为n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面.例1（1）例1【答案】12【解析】【分析】根据棱柱的棱数与顶点数的关系即可求解．【详解】解：六棱柱的棱数为6，顶点数为：，故答案为：12．（2）若一个常见几何体模型共有8条棱，则该几何体的名称是______．【答案】四棱锥【解析】【分析】根据四棱锥特点判断即可．【详解】解：四棱锥有四条侧楞，底面有四条楞，一共8条楞．故答案为：四棱锥．（3）五棱柱的顶点数是________，棱数是_________，面数是________．【答案】

10

15

7【解析】【分析】依据五棱柱的特征，即可得到五棱柱的顶点数，棱数和面数．【详解】解：依据五棱柱的特征，即可得到五棱柱的顶点数为10，棱数为15，面数为7；故答案为：10，15，7．变式1n变式1【答案】

16

24【解析】【分析】根据棱柱的特点：有两个底面，故有8个侧面，进而得到答案．【详解】解：n棱柱的面数是10，去掉上下两个底面，还有8个侧面，因此上线底面是全等的八边形，故它有16个顶点，24条棱，故答案为：16；24．变式2变式2A．长方体是四棱柱B．八棱柱有8个面 C．六棱柱有12个顶点D．经过棱柱的每个顶点有3条棱【分析】根据四、六、八棱柱的特点可得答案．【解答】解：A、长方体是四棱柱，选项说法正确，不符合题意；B、八棱柱有8+2＝10个面，选项说法错误，符合题意；C、六棱柱有2×6＝12个顶点，选项说法正确，不符合题意；D、经过棱柱的每个顶点有3条棱，选项说法正确，不符合题意；故选：B．变式3变式3乙同学：它有10个顶点．该模型的形状对应的立体图形可能是（）A．四棱柱B．五棱柱C．六棱柱D．七棱柱【分析】根据五棱锥的特点，可得答案．【解答】解：五棱柱的两个底面是五边形，侧面是五个长方形，共有7个面；五棱柱有10个顶点，故选：B．例2欧拉（Euler，1707~1783），是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F例2（1）【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体八面体图形顶点数V棱数E面数F（2）【想一想】分析表中的数据，你能发现V，E，F之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系：．【答案】(1)4；6；12(2)V+F-E=12【解析】【分析】（1）直接数出三棱锥、三棱柱、正方体、正八面体所要补充的顶点数、棱数和面数即可；（2）根据表格中的数据归纳规律即可．(1)填表如下：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V4686棱数E691212面数F4568故答案为：4；6；12(2)∵，，，，…，∴．即V、E、F之间的关系式为：．例318世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E例3（1）根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体m612正八面体n812正十二面体201230（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．（3）一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)这个多面体的面数为16【解析】【分析】（1）观察图形即可得出结论；（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．(1)解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体201230故答案为：8；6；(2)解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；(3)解：由题意得：F+F-30=2，解得F=16，∴这个多面体的面数为16．变式4欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface变式4（1）观察下列多面体，并把表格补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E612面数F458（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．【答案】（1）6，9，12，6；（2）V+F﹣E=2；（3）x+y=14【解析】【分析】（1）观察可得多面体的顶点数，棱数和面数；（2）依据表格中的数据，可得顶点数+面数-棱数=2；（3）根据条件得到多面体的棱数，即可求得面数，即为x+y的值．【详解】解：（1）三棱柱的棱数为9；正方体的面数为6；正八面体的顶点数为6，棱数为12；故答案为：6，9，12，6；（2）由题可得，V+F-E=2，故答案为：V+F-E=2；（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，∴共有24×3÷2=36条棱，∵24+F-36=2，解得F=14，∴x+y=14．例4例4需要把露出的表面部分都涂上颜色，则需要涂颜色部分的面积为（）A．46米2B．37米2C．28米2D．25米2【分析】由图形可知分四层，每一层再分侧面与上表面两部分求出表面积，然后相加即可得解．【解答】解：最上层，侧面积为4，上表面面积为1，总面积为4+1＝5，第二层，侧面积为4，第三层，侧面积2×4＝8，上表面面积为4﹣1＝3，总面积为8+3＝11，最下层，侧面积为3×4＝12，上表面面积为9﹣4＝5，总面积为12+5＝17，5+4+11+17＝37，所以被他涂上颜色部分的面积为37平方分米．故选：B．例5例5棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）﹣（中心块数）”得（）A．2B．-2C．0D．4【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．【解答】解：∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，∴角块有4个；∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，∴棱块有6个；∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，∴中心块有：3×4＝12（个）；∴（棱块数）+（角块数）﹣（中心块数）＝6+4﹣12＝﹣2；故选：B．变式5变式5个面喷油漆，则有块木块完全喷不到漆．【分析】将“最外层”切去，剩下的是完全不涂颜色的部分，再根据实际情况进行判断即可．【解答】解：如图，将“4×4×4”的大正方体分别切去涂漆的五个面的“最外层”后，还剩下“2×2×3”的小正方体，而这“12个”又拿去一部分，因此在上层“涂红、绿、蓝色”的下面各有2块是完全没有涂颜色的，在下层“涂黄色”的下面有1个完全没有涂颜色，因此共有2×3+1＝7故答案为：7．变式6把14个棱长为1分米的正方体摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上颜色，则被涂上颜色的部分面积为（

变式6A．33平方分米B．24平方分米C．21平方分米D．42平方分米【答案】A【解析】【分析】把每一层的面积求出，相加即可得出答案．【详解】棱长为1分米的正方体每个面的面积为1平方分米，最上层，侧面积为4平方分米，上表面积为1平方分米，总面积为（平方分米），中间一层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），总面积为（平方分米），最下层，侧面积为（平方分米），上表面积为（平方分米），总面积为（平方分米），（平方分米），被涂上颜色的部分面积为33平方分米．故选：A．点、线、面、体的关系点、线、面、体的关系题型三【方法总结】【方法总结】1.体与题相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点；2.点动成线，线动成面，面动成体.例1在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（

例1A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，故选：A．变式1几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（

变式1A．笔尖在纸上移动划过的痕迹B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体C．流星划过夜空留下的尾巴D．汽车雨刷的转动扫过的区域【答案】D【解析】【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．【详解】解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．故选：D例2将一个直角三角尺绕它的一直角边所在直线旋转一周，则旋转后所得几何体是（例2A．球B．圆C．三角形D．圆锥【答案】D【解析】【分析】根据面动成体，可得一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．【详解】解：圆锥的轴截面是直角三角形，因而圆锥可以认为直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到．故直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥．故选：D．例3如图，将平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是（

例3A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．【详解】解：平面图形绕轴旋转一周，可得到的立体图形是圆台，故选：B．【点睛】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答．例4下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（

例4A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据面动成体，判断出各个选项旋转得到的立体图，即可得出结论．【详解】A．旋转一周可得本题的几何体，故选项正确，符合题意；B．旋转一周为两个圆锥结合体，故选项错误，不符合题意；C．旋转一周为圆锥和圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；D．旋转一周为两个圆锥和一个圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；故选：A．变式2下面图形是由（）绕直线旋转一周得到的.变式2A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，直角梯形绕某条边旋转是圆台或圆柱与圆锥组合体，半圆案绕直径旋转是球，从而可得答案．【详解】解：把选项A中图形，绕旋转一周，可得到圆柱与圆锥组合体，故A符合题意；把选项B中图形，绕旋转一周，可得到球，故B不符合题意；把选项C中图形，绕旋转一周，可得到圆台，故C不符合题意；把选项D中图形，绕旋转一周，可得到圆锥，故D不符合题意；故选：A.变式3将如图所示的长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是（

变式3A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据矩形角度和顶点观察，绕对角线可得答案．【详解】解：通过观察可知，B图形的构造满足旋转结果．故选：B．表面积和体积计算表面积和体积计算题型四类型一锥和柱体的计算类型一锥和柱体的计算例1例1【答案】圆柱体的表面积是54π平方厘米，体积是54π立方厘米【解析】【分析】利用圆柱体的表面积和体积公式分别列式计算即可．【详解】解：S表＝2S底+S侧＝2×π×（6÷2）2+π×6×6＝54π（平方厘米）；V＝S底h＝π×（6÷2）2×6＝54π（立方厘米）；答：圆柱体的表面积是54π平方厘米，体积是54π立方厘米．变式1变式1【答案】1000πcm3【解析】【分析】根据圆锥的体积计算公式计算即可．【详解】解：圆锥的体积：．例2圆柱与圆锥的体积之比为2：3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比为（

例2A．2：3B．4：5C．2：1D．2：9【答案】D【解析】【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比；【详解】由题意可知，圆柱的体积=πh1，圆锥的体积=πh2，∵圆柱与圆锥的体积之比为2：3，∴，∴=2：9．故选：D．例3例3（1）共需要彩带多少厘米？（2）做这样一个礼品盒至少要多少硬纸？（3）这个礼品盒的体积是多少？（π取3.14）【分析】（1）使用彩带的长度等于4个高，4条直径，外加打结的18cm即可；（2）求这个圆柱体的表面积，即两个底面积加侧面积即可；（3）根据“体积等于底面积乘以高”计算即可．【解答】解：（1）50×4+20×4+18＝298（cm），（2）π×（202）2×2+π×20×50＝200π+1000π＝1200π（3）π×（202）2×50＝5000π答：做这样一个礼品盒共需要彩带298厘米；至少要1200π平方厘米的硬纸；这个礼品盒的体积约为15700立方厘米．变式2用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（

变式2A．1cmB．1cmC．1cmD．1cm【答案】B【解析】【分析】先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度．【详解】解：∵，∴倒出水的体积=，则长方体容器中水下降的高度．故答案选：B．变式3变式3（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？（3）大棚内的空间约有多大？【分析】（1）这个大棚的种植面积是长为15m，宽为2m的长方形的面积；（2）根据表面积的计算方法分别计算即可；（3）根据容积的计算方法进行计算．【解答】解：（1）15×2＝30（m2），答：这个大棚的种植面积是30m2；（2）π×2×12×15+π×（2答：覆盖的薄膜约有16πm2；（3）12π×12×15=答：大棚内的空间约有15π2类型二面动成体的计算类型二面动成体的计算例1已知如图是边长为2cm的小正方形，现小正方形绕其对称轴线旋转一周，可以得到一个几何体，求所得的这个几何体的体积．例1【答案】cm3【解析】【分析】由图可知小正方形绕其对称轴线旋转一周得到一个底面半径为1cm，高为2cm的圆柱，故可求解．【详解】由旋转体可知小正方形绕其对称轴线旋转一周得到一个底面半径为1cm，高为2cm的圆柱，∴这个几何体的体积为cm3．例2如图，阴影图形是由直角三角形和长方形拼成的，绕虚线旋转一周可以得到一个立体图形，求得到立体图形的体积．（结果保留π的形式）例2【答案】【解析】【分析】根据面动成体的原理和圆柱、圆锥的体积即可解．【详解】解：阴影图形旋转一周得到的立体图形是圆锥和圆柱．圆锥的体积，圆柱的体积，故立体图形的体积是．变式1如图是直角梯形ABCD，如果以AB边为轴旋转一周，得到一个立体图形，这个立体图形的体积是多少立方厘米？（π取3.14）．变式1【答案】141.3立方厘米【解析】【分析】如果以AB边为轴旋转一周，得到的立体图形是由1个圆柱和1个圆锥组成的，上面得到一个圆锥，（7﹣4）是圆锥的高，BC的长度是圆锥的底面圆的半径，下面是一个圆柱，高是4厘米，底面圆的半径是3厘米，根据圆锥的体积＝h1+πr2h2代入数据计算即可．【详解】解：以AB边为轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆柱，该几何体的体积为：πr2h1+πr2h2＝×3.14×32×（7﹣4）+3.14×32×4，＝28.26+113.04，＝141.3（立方厘米）．答：这个立体图形的体积是141.3立方厘米．例3例3【答案】36πcm3或48πcm3【解析】【详解】解：绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×32×4＝36π（cm3），绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：π×42×3＝48π（cm3），故答案为：36πcm3或者48πcm3．变式2探究：有一长6cm，宽4cm变式2（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；（2）若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？【答案】(1)按方案一方法构造的圆柱体积大；(2)将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144cm3或96cm3【解析】【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．(1)解：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=3cm，体积为：cm3，方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=2cm，体积为：cm3，按方案一方法构造的圆柱体积大；(2)解：分两种情况绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，得到的圆柱体积为cm3;绕长方形绕长边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为cm3，综合将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144cm3或96cm3．变式3※小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为6cm、8cm和10cm变式3旋转一周，得到了一个几何体．请计算出几何体的体积．（锥体体积=底面积×高）【分析】根据三角形旋转是圆锥，可得几何体；根据圆锥的体积公式，可得答案．【解答】解：以8cm为轴，得以8cm为轴体积为13×π×62×8＝96以6cm为轴，得以6cm为轴的体积为13×π×82×6＝128以10cm为轴，得以10cm为轴的体积为13×π（245故几何体的体积为：96πcm3或128πcm3或76.8πcm3．例4如图所示，在长方形ABCD中，，，且，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分別为、．下列结论中正确的是（

）例4A．B．C．D．不确定【答案】C【解析】【分析】根据公式，得=，=，判断选择即可．【详解】∵=，=，∴=．故选C．变式4一个长方形的长和宽分别为3cm和2cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲、V乙，侧面积分别记作S甲、S乙，则下列说法正确的是（变式4A．V甲＜V乙，S甲＝S乙B．V甲＞V乙，S甲＝S乙C．V甲＝V乙，S甲＝S乙D．V甲＞V乙，S甲＜S乙【答案】A【解析】【分析】根据圆柱体的体积＝底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．【详解】解：由题可得，V甲＝π•22×3＝12π，V乙＝π•32×2＝18π，∵12π＜18π，∴V甲＜V乙；∵S甲＝2π×2×3＝12π，S乙＝2π×3×2＝12π，∴S甲＝S乙，故选：A．✰1.1生活中的立体图形分类专练专练一立体图形的认识专练一立体图形的认识1.下列哪个几何体是棱锥（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据棱锥的概念求解即可．【详解】解：A、是四棱锥，符合题意；B、是圆柱，不符合题意；C、是三棱柱，不符合题意；D、是长方体，不符合题意．故选：A．2.观察下列实物模型，其形状是圆锥的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的概念“圆锥是由两个面组成，底面是圆，侧面是曲面”进行判断即可得．【详解】解：A．形状是球体，选项说法错误，不符合题意；B．形状是圆锥，选项说法正确，符合题意；C．形状是圆柱，选项说法错误，不符合题意；D．形状是长方体，选项说法错误，不符合题意；故选B．3.下列儿何体中，属于棱柱的有________（填序号）．【答案】①③⑤【解析】【分析】根据棱柱的特征进行判断即可．【详解】解：棱柱的两个底面是形状、大小相同的多边形，侧面是长方形，因此①③⑤是棱柱，而②是圆柱，④是圆锥，⑥是球，故答案为：①③⑤．专练二立体图形的面与棱专练二立体图形的面与棱1.几何图形是由______、______、______、______构成的．三棱柱有______个面，______条棱，______个顶点，其中有______条侧棱，______个侧面；四棱锥有______个面，这些面相交形成了______条棱，这些棱相交形成了______个顶点，其中有______条侧棱，______个侧面，所有侧面都是______形，底面是______形．【答案】

点

线

面

体

5

9

6

3

3

5

8

5

4

4

三角

四边【解析】【分析】根据几何体的构成，三棱柱，四棱锥的特点进行求解即可．【详解】解：几何图形是由点、线、面、体构成的．三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，其中有3条侧棱，3个侧面；四棱锥有5个面，这些面相交形成了8条棱，这些棱相交形成了个5顶点，其中有4条侧棱，4个侧面，所有侧面都是三角形，底面是四边形．故答案为：点，线，面体，5，9，6，3，3，5，8，5，4，4，三角，四边．2.如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，下列说法正确的有（）①n棱柱有n个面；②n棱柱有3n条棱；③n棱柱有2n个顶点．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】结合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点．【详解】解：∵三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，得：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点，五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点，六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点，∴n棱柱一定有（n+2）个面，3n条棱和2n个顶点，故①错误，②③正确，故选：C．3.如图，图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱．（1）四棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面；（2）五棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面；（3）那么n棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面．【答案】

8

12

6

10

15

7

2n

3n

(n+2)##(2+n)【解析】【分析】根据棱柱的形体特征进行解答即可．【详解】解：由棱柱的形体特征可知：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面；故答案为：（1）8，12，6；（2）10，15，7；（3）2n，3n，（n+2）．4.设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．（1）观察与发现：如图，三棱锥中，，，；五棱锥中，，，．（2）猜想：①十棱锥中，，，；②棱锥中，，，．（用含有的式子表示）（3）探究：①棱锥的顶点数（）与面数（）之间的等量关系：；②棱锥的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间的等量关系：．（4）拓展：棱柱的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4，4，6，6，6，10；(2)11，11，20，，，(3)，(4)存在，相应的等式为：【解析】【分析】（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可．（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可，②根据n棱锥的特征的特征填写即可．（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系，②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．(1)解：三棱锥中，V3=4，F3=4，E3=6，五棱锥中，V5=6，F5=6，E5=10．(2)解：①十棱锥中，V10=11，F10=11，E10=20；②n棱锥中，Vn=n+1，Fn=n+1，En=2n．(3)解：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V=F，②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=V+F﹣2．(4)解：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E=2．5.如图，模块①由个棱长为的小正方体构成，模块②~⑥均由四个棱长为的小正方体构成；现在从模块②—⑥中选出三个放在模块①上，与模块①一起组成一个棱长为的大正方体，下列四个方案中，符合上述要求的是（

）A．模块②⑤⑥B．模块③④⑥C．模块②④D．模块③⑤⑥【答案】A【解析】【分析】根据题目要求，仔细观察每个模块，从模块①的条件可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，则可找到正确选项．【详解】解：由图形可知，模块②补模块①上面的右上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块⑥补模块①上面的左边，则可使得模块①成为一个棱长为3的大正方体．符合上述要求的是②，⑤，⑥．故选：A．6.将一个所有的面都涂上漆的正方体（如图所示）切开，使之成为27个大小相同的小正方体，那么只有两面涂漆的小正方体有______个．【答案】12【解析】【分析】如图所示，只有两面涂漆的小正方体，是在正方体的棱上，且在中间的小正方体，每条棱上有一个，正方体有12条棱，因此得解．【详解】解：一个正方体有12条棱，每条棱的中间的小正方体只有两面涂漆，如图，∴只有两面涂漆的小正方体有12个．故答案为：12．专练三点、线、面、体的关系专练三点、线、面、体的关系1.如图是一个花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成这个花瓶表面的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据花瓶的特征判断即可．【详解】解：将上列平面图形绕虚线旋转一周，A，B，C都不能形成这个花瓶表面，D能形成这个花瓶表面，故选：D．2.下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（）A．B．C．D．【分析】根据“面动成体”进行判断即可．【解答】解：如图，将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，可得选项B的几何体，选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到，故选：B．3.如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（）A．绕着AC旋转B．绕着AB旋转C．绕着CD旋转D．绕着BC旋转【分析】根据直角三角形的性质，只有绕斜边旋转一周，才可以得出组合体的圆锥，进而解答即可．【解答】解：将直角三角形ABC绕斜边AB所在直线旋转一周得到的几何体是，故选：B．专练四表面积与体积的计算专练四表面积与体积的计算1.一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm、宽为5cm的长方形，绕它的一条边所在直线旋转一周，得到的圆柱体的体积是多大？（写出计算过程）【分析】以不同的边所在的直线为轴，可以得到两个不同的圆柱体，分两种情况依据圆柱体的体积的计算方法进行解答即可．【解