2026年抛物线压轴测试题及答案

2026年抛物线压轴测试题及答案

一、单项选择题（10题，每题2分）1.抛物线焦点为(1,0)，准线x=-1，抛物线上一点到焦点距离为5，则该点横坐标为？A.1B.2C.3D.42.抛物线x²=-8y的焦点和准线分别是？A.(0,-2)，y=2B.(0,2)，y=-2C.(-2,0)，x=2D.(2,0)，x=-23.抛物线y²=2px（p>0）的通径长度为？A.pB.2pC.3pD.4p4.直线y=2x+1与抛物线y²=4x的位置关系是？A.相交两交点B.相切一交点C.相离无交点D.相交一交点5.抛物线y²=8x的焦点弦AB中点横坐标为3，则AB长度为？A.8B.10C.12D.146.直线y=kx+2与抛物线y²=4x相交，AB中点横坐标为1，则k=？A.-1B.1C.2D.-27.抛物线y²=4x焦点为F，FA·FB=0（A、B在抛物线上），则AB中点横坐标最小值为？A.1B.2C.3D.48.直线y=x与抛物线y²=2x围成封闭图形面积为？A.1/3B.2/3C.1D.4/39.抛物线y²=4x上一点到直线y=x+3的距离最小值为？A.√2/2B.√2C.3√2/2D.2√210.抛物线y²=4x与圆(x-1)²+y²=r²有公共点，则r最小值为？A.1B.2C.3D.4二、填空题（10题，每题2分）11.抛物线焦点(0,3)，准线y=-3，标准方程为______。12.抛物线x²=6y上一点到准线距离为4，则到焦点距离为______。13.抛物线y²=2px通径长6，则p=______。14.直线y=kx+1与抛物线y²=4x相切，则k=______。15.抛物线y²=4x上两点中点(2,2)，直线AB斜率为______。16.抛物线y²=4x上点P(1,-2)，OP·PF=0（O为原点），则F坐标为______。17.抛物线y²=4x上一点到原点距离最小值为______。18.抛物线y²=4x右移2、上移3后的方程为______。19.过抛物线y²=4x焦点作倾斜角45°直线，交抛物线于A、B，则AB长为______。20.抛物线y²=2px（p>0）上OA⊥OB（O为原点），直线AB恒过定点______。三、判断题（10题，每题2分）21.抛物线离心率e=1，区别于椭圆和双曲线。22.抛物线标准方程一次项系数符号决定开口方向。23.直线与抛物线只有一个交点则一定相切。24.焦点弦中最短的是通径。25.抛物线y²=2px（p>0）通径长2p。26.抛物线上点到焦点距离等于到准线距离。27.抛物线对称轴为过焦点且垂直准线的直线。28.直线与抛物线相交弦中点满足点差法公式。29.抛物线y²=2px焦点弦两端点纵坐标乘积为-p²。30.抛物线y²=4x与圆(x-2)²+y²=1一定有公共点。四、简答题（4题，每题5分）31.已知抛物线焦点(-2,0)，准线x=2，求标准方程及抛物线上一点到焦点距离为5时的纵坐标。32.简述直线与抛物线位置关系的判断方法。33.抛物线y²=8x焦点为F，过F作直线交抛物线于A、B，AB中点横坐标为4，求AB长度及直线斜率。34.求抛物线y²=4x上一点到直线y=2x+5的距离最小值及对应点坐标。五、讨论题（4题，每题5分）35.讨论直线y=kx+1与抛物线y²=4x相交时弦长的最大值及对应k值。36.定点A(0,2)，抛物线y²=4x上一点P，求△OAP面积最大值及理由。37.抛物线y²=4x焦点为F，过F作直线交抛物线于A、B，讨论FA·FB是否为定值。38.抛物线y²=4x平移得y²=4(x-1)，讨论其与直线y=kx+1的位置关系及有两不同交点时k的范围。答案及解析一、单项选择题1.D解析：抛物线定义，点到焦点距离等于到准线距离，准线x=-1，距离5则横坐标为-1+5=4（x≥0）。2.A解析：x²=-8y开口向下，焦点(0,-p/2)（p=4），准线y=p/2=2。3.B解析：通径为过焦点垂直对称轴的弦，y²=2px焦点(p/2,0)，代入得y=±p，长度2p。4.C解析：联立得(2x+1)²=4x→4x²+1=0，Δ=-16<0，相离。5.B解析：焦点弦长=x_A+x_B+p，中点横坐标3则x_A+x_B=6，p=4，故AB=6+4=10。6.A解析：联立得k²x²+(4k-4)x+4=0，中点x=1则x_A+x_B=2，韦达定理得(4-4k)/k²=2→k=-1。7.C解析：设A(x1,y1),B(x2,y2)，FA·FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0，结合y1²=4x1,y2²=4x2，得x1+x2≥3，最小值3。8.B解析：联立得x=0或2，积分∫0到2(√2x-x)dx=2/3。9.B解析：设P(t²,2t)，距离d=|t²-2t+3|/√2，最小值为√2（t=1时）。10.A解析：圆心为抛物线焦点(1,0)，抛物线上点到焦点最小距离为1（顶点到焦点）。二、填空题11.x²=12y12.413.314.115.116.(1,0)17.018.(y-3)²=4(x-2)19.820.(2p,0)三、判断题21.对22.对23.错（平行对称轴时相交一交点）24.对25.对26.对27.对28.对29.对30.错（最小距离2>1）四、简答题31.标准方程y²=-8x；纵坐标±2√6。解析：焦点(-2,0)则p=4，方程y²=-8x；点到焦点距离5则到准线x=2距离5，x=-3，代入得y²=24，y=±2√6。32.联立直线与抛物线方程消元得一元二次方程：Δ>0相交两交点；Δ=0相切一交点；Δ<0相离；若消元后为一次方程（直线平行对称轴），则相交一交点（不相切）。33.AB长12；斜率±√2。解析：p=4，中点x=4则x_A+x_B=8，AB=8+4=12；联立直线y=k(x-2)与抛物线，韦达定理得k=±√2。34.最小值9√5/10；点(1/2,√2)。解析：设P(t²,2t)，距离d=|2t-2t²-5|/√5，分子最小值为9/2，d=9√5/10，此时t=1/2，P(1/2,√2)。五、讨论题35.弦长最大值为8；k=-1时取得。解析：联立得k²x²+(2k-4)x+1=0，Δ=-16k+16>0→k<1；弦长=4√[(1+k²)(1-k)]/k²，当k=-1时，弦长=8，为最大值。36.面积无最大值；理由：△OAP面积=1/2×|OA|×x_P=x_P，x_P=y_P²/4≥0，随y_P增大x_P无限增大，无最大值。37.不是定值；解析：设直线x=my+1，联立得y²-4my-4=0，FA