第4讲 估算-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第四讲估算【学习目标】会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小【基础知识】1．日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小误差，方法要科学．2．开方与开平方，立方与开立方是互逆运算，以此可估算某些数的平方根和立方根．【考点剖析】考点一：估计取值范围例1．估计的值应在（）A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间【答案】B【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故选B．例2．我们知道面积为8的正方形的边长为（1）在方格图中画出面积为8的正方形．（2）若的整数部分为a，小数部分为b，请你求的相反数【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）如图所示：（2）∵，∴，∴，∴，∴a=3，b==，∴==，∴的相反数是．考点二：无理数整数部分的估算与计算例3．已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的算术平方根．【答案】【详解】解：根据题意，可得2a−1＝9，a＋3b−1＝-8；解得：a＝5，b＝-4；又∵6＜＜7，可得c＝6；∴a＋2b＋c＝3；∴a＋2b＋c的算术平方根为．例4．5a﹣4的立方根是﹣4，25的平方根是5与b+15，c是的整数部分．（1）求a、b、c的值；（2）求b+c﹣2a的算术平方根．【答案】（1）a=﹣12，b=﹣20，c=3；（2）【详解】解：（1）∵5a﹣4的立方根是﹣4，25的平方根是5与b+15，∴5a﹣4=（﹣4）3，b+15=﹣5，解得：a=﹣12，b=﹣20，∵3＜＜4，∴的整数部分是3，∴c=3；（2）当a=﹣12，b=﹣20，c=3时，b+c﹣2a=﹣20+3﹣2×（﹣12）=7，∴b+c﹣2a的算术平方根为．【真题演练】1．估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】C2．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间C．在3和4之间 D．在4和5之间【答案】D【详解】∵9<15<16，∴3<<4，∴4<<5，∴的值在4和5之间，故选：D．3．估计的值在（）A．7到8之间 B．8到9之间C．9到10之间 D．9到10之间或到之间【答案】C【详解】，，，故选：C．4．下列各数中，小于的正整数是（）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】∵，∴小于的正整数是1．故选C．5．估计的值应在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．6．已知整数满足，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：∵，，，∴2＜m≤3．∵m是整数，∴m=3，故选：B．7．下列整数中，与4+2的值最接近的是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴与4＋2的值最接近的是9．故选：C．8．已知介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，即，则．故选：D．9．如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（）A．﹣ B． C． D．以上都不对【答案】B【详解】解：∵，2，，∴被阴影覆盖的可能是．故选：B．10．设a是4+的整数部分，b是4﹣的小数部分，则a＝_____，b＝_____．【答案】6，【详解】解：∵，∴，∴，，∴，∴a=6，b==，故答案为：6，．11．若（为连续整数），那么的值为__________．【答案】9【详解】解：∵由题意可知∴∴=9故答案为：912．通过《实数》一章的学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题：（1）的整数部分为__________，小数部分为__________．（2）已知的整数部分，的整数部分为，求的立方根．【答案】（1）5；；（2）2【详解】（1）∵25<33<36，∴5<<6，即的整数部分为5，小数部分为-5．故答案为：5；（2）∵9<10<16，∴，∴的整数部分；∵，∴的整数部分．∴，∴8的立方根为．【过关检测】1．估计的值在（）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【答案】C故选：Ｃ．2．下列整数中，与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：∴与最接近的是5故答案是：C．3．估计的值在（）A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间【答案】D【详解】解：∵64＜67＜81，∴∴故选D．4．若，其中a、b为两个连续的整数，则的值为（）A．9 B．12 C．64 D．81【答案】A【详解】解：∵4＜5＜9，∴，由，且a、b是两个连续的整数，得到a=2，b=3，则=32=9，故选：A．5．估计的值在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【答案】D故选：D．6．估计的值在（）A．1到2之间 B．2到3之间C．3到4之间 D．2到3之间或－3到－2之间【答案】B【详解】解：∵，∴，即在2和3之间．故选：B．7．若整数a满足＜a＜，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵即2＜＜3；，即4＜＜5，∴2＜a＜4．故选：D8．如图，数轴上表示﹣的点可能是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【答案】A【详解】∵1＜3＜4，∴，∴，故短A．9．的整数部分是a，小数部分是b，则是_______．【答案】2+15【详解】解：∵5<<6，∴a=5，b=-5，∴=5-2（-5）=2+15，故答案为：2+15．10．对于一个实数（为非负实数），规定其整数部分为，小数部分为，例如：当时，则，；当时，则，．（1）当时，；当时，；（2）若，，则；（3）当时，求的值．【答案】（1）；；（2）；（3）．【详解】解：（1）当m=π时，∵，∴=3，b=π，当m＝时，∵，∴，∴，∴=3，b=3，故答案为：b=π；3；（2）当，，∴，故答案为：；（3）当m＝9+时，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．11．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为9和6，（1）小正方形边长的值在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？请说明理由．（2）求图中阴影部分的面积．（3）若小正方形边长的值的整数部分为，小数部分为，求的平方根．【答案】（1）在2和3之间，与2较接近；（2）；（3）±2【详解】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜6.25＜9，∴2＜＜2.5＜3，∴小正方形的边长在2和3之间，与2较接近；（2）阴影部分的面积==；（3）∵2＜＜3，∴的整数部分为x=2，小数部分为y=，∴==4，∴的平方根为±2．12．如果一个正方形ABCD的面积为．（1）求正方形ABCD的边长a．（2）正方形的边长满足，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．（3）M、N在满足（2）的条件下，求的