第6讲 二次根式的运算-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第六讲二次根式的运算【学习目标】会进行二次根式的简单四则运算，并解决简单的实际问题.【基础知识】1.二次根式的乘法法则：（）（主要用于化简）（）2.二次根式的除法法则：（）3.二次根式的乘方法则：（）（）4.二次根式的加减运算方法：①不是最简二次根式的要先化成最简二次根式；②是最简二次根式，只把二次根式系数想加减，二次根式不变照写；【考点剖析】考点一：二次根式的乘法例1．（1）计算：__________．【答案】【详解】解：故答案为：（2）计算的结果等于________．【答案】1【详解】解：原式==-=5-4=1故答案为：1．（3）计算的结果等于_________．【答案】【详解】解：．故答案为：．考点二：二次根式的除法例2．（1）计算：________．【答案】3【详解】解：，故答案为：3．（2）计算的结果是_______．【答案】【详解】解：；故答案为．考点三：二次根式的加减运算例3．（1）计算﹣2的结果是______．【答案】【详解】解：原式．故答案为：．（2）计算：【答案】【解析】解：.（2）考点四：二次根式的混合运算例4．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．考点五：二次根式的应用例5．（1）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．（1）嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；（2）若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）；（2）设污染的数字为，∴∵∴是整数∵的结果是整数∴是整数∵是无理数，是整数∴即存在整数满足题意．例6．已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦给出海伦公式（其中），我国南宋时期数学教秦九昭提出了秦九昭公式，若一个三角形的三边长分别为2，2，3，请你选择自己喜欢的公式计算这个三角形的面积．【答案】【详解】解：由题意得：，∴，∴．【真题演练】1．下列各数中，与的积为无理数的是()A． B． C． D．【答案】B【解析】A、，不是无理数，错误；B、，是无理数，正确；C、，不是无理数，错误；D、，不是无理数，错误；故选B．2．已知：是整数，则满足条件的最小正整数为()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】∵=，且是整数，∴2是整数，即5n是完全平方数，∴n的最小正整数为5．故选D．3．与互为倒数，则（）A．a﹦b－1 B．a＋b﹦1 C．a﹦b＋1 D．a＋b﹦－1【答案】C【解析】解：由题意得，∴a-b=1，即a=b+1

故选：C4．已知m＝，n＝，则代数式的值为（）A．3 B．3 C．5 D．9【答案】B【解析】由已知可得：，原式=故选：B5．下列计算正确的个数是（）①②③④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】A、原式=4a2，所以A选项的计算正确；

B、原式=a，所以B选项的计算正确；

C、原式=，所以C选项的计算错误；

D、不能合并，所以D选项的计算错误．

故选：B．6．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A选项和不是同类二次根式，不能相加，A错误；B选项，B错误；C选项，被开方数不能是负数，C错误；7．若a＝1﹣，b＝﹣，则a与b的关系是（）A．互为相反数 B．相等C．互为倒数 D．互为有理化因式【答案】B【解析】b＝﹣＝﹣（﹣1）＝﹣+1，而a＝1-，所以a＝b．故选：B．8．若，则化简a2-2a+1A．2a-3 B．-a C．3-2【答案】D【解析】解：∵1≤a≤2，∴a-1≥0，a-2≤0，∴原式==a-1+2-a=1，故答案为：D．9．若x＝﹣1，则x3+x2-3x+2020的值为____________．【答案】2019【解析】解：原式=10．若，那么下面各式:①;②；③；④，其中正确的是______(填序号)【答案】②③【解析】解：因为若ab>0，a+b<0﹐所以a<0，b<0.由于a<0，b<0，与无意义，所以①的变形错误；，故②正确；，由于b<0，∴原式=-b，故③正确；由于a<0，∴原式=-a，故④计算错误.故答案为②③.11．计算：【答案】【解析】解：原式12．已知，求的值．【答案】2019.【解析】解：∵，∴，∴，即，∴原式13．（2019·广东初二月考）已知，.（1）求与的值：（2)利用（1）的结果求的值.【答案】（1）；4；（2）19.【解析】解：(1)因为，所以=+=;=()-()=4.(2)=【过关检测】1．下列运算正确的是()A．＝﹣2 B．(2)2＝6 C． D．【答案】D【解析】A：＝2，故本选项错误；B：(2)2＝12，故本选项错误；C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确，故选D．2．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A．不能合并．故选项错误；B．．故选项正确；C．．故选项错误；D．．故选项错误．故选B．3．已知x=1-5，则代数式(6+25)A．20+5 B．5 C．12-5 D【答案】D【解析】∵x=1-5∴(6+2=(6+2=(6+2=36-20+1-5+=12+5故选D.4．计算：（4﹣3）÷2的结果是（）A．2﹣ B．1﹣ C． D．【答案】A【解析】（4﹣3）÷2＝4÷2﹣3÷2＝2﹣．故选：A．5．下列运算中错误的是()A．•＝ B．÷＝2 C．+＝ D．(﹣)2＝3【答案】C【解析】A.•＝正确，不符合题意；B．÷＝=2正确，不符合题意；C．不能合并，+＝错误，符合题意；D.(﹣)2＝3正确，不符合题意；故选C6．已知实数，则与实数互为倒数的是()A． B． C． D．【答案】B【解析】解：a的倒数==，故选：B7．下列计算①＝；②；③＝；④＝4．其中错误的是（）．A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】①＝，正确；②，正确；③＝，故错误；④＝4正确.故选C.8．（2019·贵阳市清镇市卫城中学初二期中）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A.，故A选项错误；B.不是同类项，不能合并，故B选项错误；C.不是同类项，不能合并，故C选项错误；D.，故D选项正确.故选：D9．下列运算正确的是（）A．+= B．×（﹣）=×=C．=±3 D．|﹣|=﹣【答案】D【解析】A、+≠，故A选项错误；B、×（﹣）=×-×=-=-=，故B选项错误；C、=3，故C选项错误；D、|﹣|=﹣，故D选项正确.故选：D10．计算：().A． B． C． D．【答案】A【解析】11．（2019·邢台市第八中学初二月考）二次根式：；；；中，能与合并的是A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【解析】解：①=；=3；=；=；所以，能与合并的是①和④．

故选：C．12．（2020·湖南初二期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】解：∵S=，

∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：

S==1，

故选：A．13．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为()cm2.A．16- B．-12