第03讲 勾股定理的应用(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第03讲勾股定理的应用内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1勾股定理应用之梯子滑落高度题型2勾股定理应用之旗杆高度题型3勾股定理应用之小鸟飞行的距离题型4勾股定理应用之大树折断前的高度题型5勾股定理应用之水杯中的筷子问题题型6勾股定理应用之航海问题题型7勾股定理应用之河的宽度题型8勾股定理应用之台阶上地毯长度题型9勾股定理应用之汽车是否超速问题题型10勾股定理应用之是否受台风影响问题题型11勾股定理应用之选址距离相等问题题型12勾股定理应用之几何图形中最短路径问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航勾股定理、最短路径、化曲为直、建模、构造直角三角形。1.能运用勾股定理解决实际问题，如求线段长度、距离、高度等。2.掌握立体图形（如长方体、圆柱）表面最短路径问题的转化方法，体会“化曲为直”思想。3.能根据实际问题构造直角三角形模型，正确建立方程求解。4.培养空间想象能力和数学建模意识，感受勾股定理在生活中的广泛应用。学习重点：运用勾股定理解决实际问题，特别是立体图形表面的最短路径问题。学习难点：将实际问题转化为数学模型（构造直角三角形），以及立体图形中“展开”与“化曲为直”的转化方法。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.【易错提醒】注意单位统一，分清直角边与斜边。无图时需分类讨论（如高在形内或形外），结果保留根号或按要求近似。即时即练1．《西江月》中描述：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千在静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将秋千往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．2．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米．(1)请求出观测点C到公路的距离；(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）知识点02平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【易错提醒】找准展开方式，画出正确平面图，连直线。注意分类讨论不同路线，比较后取最小值，勿忽略重合点或漏情况。即时即练1．综合与实践【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点．【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则；（直接写出答案）【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）题型1勾股定理应用之梯子滑落高度【例1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为．(1)求这架云梯顶端A处的高度；(2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗?【例2】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？【技巧归纳】1.定不变量：梯子长度不变，墙与地面垂直。2.两次勾股：滑落前、后分别用a2+b2=c2列式。3.设变量：设滑动距离，列方程求解，注意高度非负。【变式1-1】消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．(1)求处与地面的距离．(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？【变式1-2】按要求完成以下问题(1)教材呈现：如图1，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；(2)解决问题：如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．题型2勾股定理应用之旗杆高度【例3】八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度．【例4】小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．(1)求风筝的垂直高度；(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【技巧归纳】1.两次勾股：绳索拉直前后构成两直角三角形，绳长不变为公共斜边。2.设高与水平距：设旗杆高h，水平距离d，分别列方程。3.联立消元：解方程组求h。【变式2-1】学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．【变式2-2】学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．(1)设长为米，绳子为_____米，为_____米（用的代数式表示）；(2)请你求出旗杆的高度．题型3勾股定理应用之小鸟飞行的距离【例5】如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇．【例6】如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？【技巧归纳】1.构造直角三角形：以起点与终点横向、纵向距离为直角边。2.勾股求斜边：飞行最短距离=∆x23.注意单位：统一长度单位，方向变化需分段计算。【变式3-1】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？【变式3-2】如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．

(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？(2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？题型4勾股定理应用之大树折断前的高度【例7】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？【例8】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？【技巧归纳】1.两次勾股：折断后树梢触地，树干直立部分、折断斜段与地面成直角三角形。2.设未知数：设折断处高x，斜段长y，则x+y为原高。3.列方程：勾股定理解y，再求原高。【变式4-1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度．【变式4-2】如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知，．(1)求这两棵树的水平距离；(2)求树的高度．题型5勾股定理应用之水杯中的筷子问题【例9】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是．【例10】如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是cm．

【技巧归纳】1.两次勾股：筷子竖直、倾斜时分别用勾股定理，杯深、杯径为直角边。2.设未知数：设筷长L，露长d，水杯深h，杯底半径r。3.列方程：L-d=L-h2【变式5-1】如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是．【变式5-2】如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的最短长度是题型6勾股定理应用之航海问题【例11】有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号）(1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？(2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？【例12】如图，一艘轮船先从A地出发行驶到B地，又从B地行驶到C地，B地在A地南偏西的方向，距离A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里．

(1)表示出B地相对于C地的位置；(2)求A，C两地之间的距离．【技巧归纳】1.画方位图：标注航向、航速、时间，得位移线段。2.构直角三角形：南北、东西方向距离为直角边，实际位移为斜边。3.勾股求距离：c2=a2+b2，注意单位与时间换算。【变式6-1】如图，一艘轮船由港口沿着北偏东的方向航行到达港口，然后再沿北偏西方向航行到达港口．(1)求，两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)港口在港口的什么方向上？【变式6-2】钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里．(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．(2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：）题型7勾股定理应用之河的宽度【例13】如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？【例14】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？【技巧归纳】1.构造全等或相似：利用等腰直角三角形、将河宽转化为可测距离。2.勾股计算：在直角三角形中，已知两边求第三边，或列方程求解。3.选参照物：如树、标杆作标记，测量水平距离。【变式7-1】如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）．【变式7-2】某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：）(1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米）(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？题型8勾股定理应用之台阶上地毯长度【例15】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．(1)求BC的长；(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．【例16】如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？【技巧归纳】1.平移法：将台阶水平段、竖直段分别平移至同一水平线和竖直线。2.勾股求斜长：地毯总长=所有水平段和+所有竖直段和，并非斜边。3.若求展开长：将台阶面展开成直角三角形，直角边为总高与总长。【变式8-1】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？【变式8-2】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？题型9勾股定理应用之汽车是否超速问题【例17】为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？【例18】某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？【技巧归纳】1.画示意图：标出路宽、车长、行驶距离、反应距离。2.勾股求实际路程：从刹车点到停止点，构造直角三角形求斜边长。3.求速度：路程÷时间，与限速比较判断是否超速。【变式9-1】为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．

(1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由；(2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？【变式9-2】五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．(1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？题型10勾股定理应用之是否受台风影响问题【例19】如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为．(1)台风中心经过多长时间从点移到点？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？【例20】如图，，，是我国南部的三个岛屿，已知，两岛的距离为，，两岛的距离为，，两岛的距离为．2024年9月，超强台风“摩羯”登陆岛屿，台风中心由向移动，风力影响半径为．(1)请判断岛屿是否会受到台风的影响？并说明理由(2)若台风影响岛屿的时长是小时，求台风中心的移动速度．【技巧归纳】1.定临界点：以受影响最大距离R为半径，台风中心路径为直线。2.求垂线段长：作点到直线垂线，用勾股求垂足距离。3.比较判定：垂线长≤R则受影响；否则不受，也可计算影响时间段。【变式10-1】2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距．(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？【变式10-2】第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离．(1)台风中心经过多长时间从点移到点？(2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？题型11勾股定理应用之选址距离相等问题【例21】如图，铁路上有、两点（看作直线上两点）相距千米，、为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得、两村到煤栈的距离相等．设煤栈应建在距点千米处的点处，如图，则千米．

(1)（______）千米；(2)煤栈应建在距点多少千米处？【例22】如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市C与车站D的距离是多少米?【技巧归纳】1.建坐标系：将点置于直角坐标系，用坐标表示位置。2.勾股求距：两点距离d=x13.列方程：根据条件（如到两点距离相等或和最小）列式求解，注意实际范围。【变式11-1】如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？【变式11-2】如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米．(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值．题型12勾股定理应用之几何图形中最短路径问题【例23】如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示．在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______．由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________．【例24】如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．

(1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______；(2)求该金属丝的长．【技巧归纳】1.对称变换：作其中一点关于直线（或棱）的对称点，连接另一点得最短路径。2.勾股求长：对称后线段即为所求，用勾股定理计算长度。3.验证合理性：路径与直线交点即为转折点。【变式12-1】如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，．请结合所学知识，解决下列问题：(1)【基础应用】观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果）(2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？(3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）．【变式12-2】课本再现：方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________．方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________．（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）一、单选题1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（

）A． B． C． D．2．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（）．A．尺 B．尺 C．尺 D．尺3．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米，圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A．13厘米 B．17厘米C．厘米 D．5厘米4．如图，一个长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果以的速度从长方体的表面的点处爬到点处，最快爬行的时间是（

）A． B． C． D．二、填空题5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____．6．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3）7．如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______．8．如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设．（1）______；（2）的最小值是______．三、解答题9．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离．10．如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？11．如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且．(1)求点到点的距离；(2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格．12．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里．(1)求渔船与渔船之间的距离；(2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？13．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染．(1)求点C到铁路的距离；(2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）．14．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．(1)经过4秒，两赛车之间