第06讲 平方根(解析版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第06讲平方根内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1平方根概念理解题型2求一个数的平方根题型3已知一个数的平方根，求这个数题型4平方根中的数值转换器问题题型5利用平方根解方程题型6求代数式的平方根题型7算术平方根与平方根综合问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航平方根、±、开平方、正负两个、负数无平方根。1.理解平方根的概念，知道正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根。2.掌握平方根的符号表示（±），能区分平方根与算术平方根的联系与区别。3.能求出一个非负数的平方根，并正确书写解题过程。4.经历平方根概念的形成过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想。学习重点：平方根的概念及求法，平方根与算术平方根的区别与联系。学习难点：理解负数没有平方根的原因，以及正确书写和区分“a”与“±a”的意义。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01平方根（1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”,（2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”,（3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。【易错提醒】正数平方根有两个(±a)，互为相反数；0的平方根是即时即练1.用式子表示“9的平方根等于”正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】平方根概念理解【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可.【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为；故选：D.2.下列说法正确的是（

）A．是16的平方根 B．0没有平方根C．25的平方根是5 D．【答案】A【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、平方根概念理解【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可．【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意；B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意；C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意；D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意．故选：A．3.求下列各数的平方根：(1)81；(2)；(3)1.69；(4)；(5)；(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【知识点】求一个数的平方根【分析】此题考查了求平方根．（1）根据平方根的定义进行解答即可；（2）根据平方根的定义进行解答即可；（3）根据平方根的定义进行解答即可；（4）根据平方根的定义进行解答即可；（5）根据平方根的定义进行解答即可；（6）根据平方根的定义进行解答即可．【详解】（1）解：，∴81的平方根是．（2）∴的平方根是．（3），∴1.69的平方根是．（4）∴的平方根是．（5），的平方根是．（6）∴的平方根是．知识点02开平方（1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数；（2）区别：取值范围不同：中a为任意实数；中a；被开方数不同：中被开方数为；中被开方数为a；运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。联系：结果为非负数；中a≧0时，=【易错提醒】求一个数的平方根(±a)时，正数有两个互为相反数，勿只写正根；0的平方根是即时即练1.解决下列问题：(1)已知是的整数部分，，求的平方根；(2)已知实数，在数轴上的位置如图所示，化简．

【答案】(1)(2)【分析】（1）先估算出的取值范围，求出m的值；由于，根据算术平方根的定义可求n，再代入计算，进一步求平方根即可．（2）利用数轴得出各项符号，进而利用算术平方根，立方根和绝对值的性质化简．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的平方根是；（2）解：由数轴可得：，则，则．题型1平方根概念理解【例1】下列哪个数没有平方根（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行求解即可．【详解】解：，，∵负数没有平方根，∴没有平方根．故选：B．【例2】下列说法正确的是（

）A．的平方根是 B．的平方根是C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根【答案】A【知识点】平方根概念理解【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键．【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意；、的平方根是，该选项说法错误，不合题意；、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意；、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意；故选：．【技巧归纳】1.定义：若x2=a，则x是a的平方根，记作±a2.双重性：正数有两相反平方根；0的平方根是0；负数无平方根。3.区别：a是算术平方根（非负），−a【变式1-1】下列说法中，正确的是（

）A．的平方根是 B．的算术平方根是C．0的平方根与算术平方根都是0 D．带根号的数都是无理数【答案】C【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数【分析】本题考查了实数的相关概念，注意带根号的数不一定是无理数，负数没有平方根．根据平方根、算术平方根及无理数的定义逐一判断选项即可解答．【详解】解：A、的平方根是，故该选项错误；B、的算术平方根是3，故该选项错误；C、0的平方根与算术平方根都是0，故该选项正确；D、带根号的数不一定都是无理数，如，故该选项错误．故选C．【变式1-2】下列说法：①是5的一个平方根；②的算术平方根是－3；③的平方根是；④0的平方根是0．其中错误说法的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义．逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断．【详解】解：说法①：是5的一个平方根；平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意；说法②：的算术平方根是；计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意；说法③：的平方根是；先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意；说法④：0的平方根是0；根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意；综上，错误的说法为②和③，共2个，故选：B．题型2求一个数的平方根【例3】的平方根是．【答案】【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可．【详解】解：的平方根是，故答案为：．【例4】化简：＝．【答案】±2【分析】根据平方根的定义即可解答．【详解】±＝±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．【技巧归纳】求平方根的关键是找到平方后等于该数的值。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。计算时先判断符号，再分解质因数简化根式，结果用根号或小数表示。【变式2-1】16的平方根是；2的算术平方根是．【答案】【分析】根据平方根和算术平方根的定义即可得．【详解】解：16的平方根是，2的算术平方根是，故答案为：，．【变式2-2】求下列各数的平方根及算术平方根：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)平方根为，算术平方根为；(2)平方根为，算术平方根为；(3)平方根为，算术平方根为(4)平方根为，算术平方根为100【分析】本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根的性质是解题关键．（1）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解；（2）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解；（3）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解；（4）根据平方根，算术平方根的性质，即可求解．【详解】（1）解：的平方根为，算术平方根为；（2）解：的平方根为，算术平方根为；（3）解：的平方根为，算术平方根为；（4）解：的平方根为，算术平方根为100．题型3已知一个数的平方根，求这个数【例5】已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是．【答案】25【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．【详解】解：由题意得，，解得：，∴一个正数的两个不同的平方根为，∴这个正数为，故答案为：．【例6】一个数的两个平方根分别是与，则这个数是．【答案】【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义列方程求出a的值，即可求出原数．【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是与，∴，解得：，∴这个数是，故答案为：．【技巧归纳】已知平方根求原数，直接将平方根平方即可。注意正数有两个相反平方根，平方后得同一数。若给出的是算术平方根，平方得原数；若为负数平方根，平方后同样得正数。勿忘0的情况。【变式3-1】若和是某正数m的两个平方根，则这个正数m为．【答案】16【分析】本题主要考查了平方根的定义，一元一次方程的求解，由和是某正数m的两个平方根得，求出a的值，进而求出m的值．【详解】解：和是某正数m的两个平方根，，解得：，，，故答案为：16．【变式3-2】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是．【答案】4【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出m的值，再根据算术平方根的定义可得答案．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，∴解得，∴．故答案为：4．题型4平方根中的数值转换器问题【例7】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（

）A． B． C．5 D．【答案】B【详解】解：25的算术平方根为5，5是有理数取5的平方根，是无理数输出值是．【例8】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的值是______．【答案】【分析】本题考查了实数的运算，根据运算程序运算即可得到结果，理解运算程序是解题的关键．【详解】解：，∵不是无理数，∴最后输出的值为，故答案为：．【技巧归纳】数值转换器问题：明确输入运算顺序，依次求出平方根或算术平方根。注意平方根通常取非负，多个输出时考虑正负。若反求输入，则逆向运算并将结果平方。留意定义域，负数无实数平方根。【变式4-1】如图，是一个数值转换器，原理如图所示．(1)当输入的x值为16时，求输出的y值；(2)是否存在输入的x值后，始终输不出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由．(3)输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则．【答案】(1)(2)存在，或1(3)25或36或49或64【分析】此题考查了算术平方根的计算和性质．（1）按照程序依次计算即可得到答案；（2）或1时，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数，负数没有算术平方根，据此即可进行解答；（3）根据平方根的性质进行解答即可．【详解】（1）解：由题意可得，，，则；（2）解：存在，当或1，它们的算术平方根是本身，是有理数，不是无理数；负数没有算术平方根，∴当或1时，始终输不出值，综上所述，或1；（3）解：或或或．则两位数或36或49或64．【变式4-2】有一个数值转换器，运算流程如下：(1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值．(2)若输出的值为，求输入的值．【答案】(1)当时，；当时，；当时，(2)3或9【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可；（2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可．【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故；当时，其算术平方根为2，是有理数，故；当时，其算术平方根为4，是有理数，故；（2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是，∴，当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是，∴，综上所述，的值为3或9．题型5利用平方根解方程【例9】解方程：【答案】，【分析】根据平方根定义解方程即可．【详解】解：∵，∴解得：．【例10】解方程：．【答案】，【分析】直接利用平方根的定义解方程即可．【详解】解：，，，．【技巧归纳】解形如x2=a的方程：先判断a的正负，a<0无实数解；a=0得x=0；a>0得x=±a【变式5-1】解方程：【答案】或．【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可．【详解】解：整理得，开方得，解得或．【变式5-2】解方程：．解：．．．．．．第一步．．．．．．第二步．．．．．．第三步(1)以上解方程的过程中从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．(2)请写出正确的解方程过程．【答案】(1)一，求的平方根出错(2)见解析【分析】（1）根据正数的平方根有两个，互为相反数，可知，第一步开方运算出错；（2）利用平方根解方程即可．【详解】（1）解：以上解方程的过程中从第一步开始出现错误，错误的原因是求的平方根出错．故答案为：一，求的平方根出错；（2）解：，∴，∴或，∴或，∴或．题型6求代数式的平方根【例11】若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是．【答案】/3和/和3【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解．【详解】解：∵，∴，,∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则，∴，∴9的平方根为．故答案为：．【例12】若|，则的平方根为．【答案】【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根和算术平方根等知识，根据算术平方根和绝对值的非负性得到，先求出，再求出的平方根即可．【详解】解：因为，所以0，，解得，所以，所以的平方根为：故答案为：．【技巧归纳】求代数式的平方根，先确保代数式非负，再将其视为整体开平方，结果用±表示。若含未知数，需讨论其范围以保证被开方数非负，并化简根号内的完全平方项，注意绝对值处理。【变式6-1】已知实数x，y满足，则的平方根为．【答案】【分析】先利用被开方数有意义的条件求出x的值，代入后求y的值即可求解．【详解】解：由题意得：，∴，解得：，∴，∴，∴的平方根为，故答案为：．【变式6-2】已知实数，，满足：，求：(1)，，的值．(2)的平方根．【答案】(1)(2)的平方根为【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；（1）根据题意易得，然后进行求解即可；（2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解．【详解】（1）解：∵，且，∴，解得：；（2）解：由（1）得：，∴，∴4的平方根为，即的平方根为．题型7算术平方根与平方根综合问题【例13】已知的平方根是，的算术平方根是4．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝5，b＝4；(2)．【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可；（2）根据平方根定义，求解即可．【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4．∴，，解得a＝5，b＝4．（2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，而25的平方根为，即ab+5的平方根是．【例14】已知的平方根为，的算术平方根为．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)(2)【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键．（1）由题得，求出，继而得到，求出；（2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案．【详解】（1）解：的平方根为，，；的算术平方根为，，；（2）解：，，的平方根为【技巧归纳】区分算术平方根（非负）与平方根（互为相反数）。已知平方根求原数用平方，已知算术平方根则直接平方。解方程时注意是否要求正负，避免遗漏或增根。被开方数需非负，此为隐含条件。【变式7-1】已知一个正数的两个平方根分别是和．(1)求和的值；(2)若，求的算术平方根．【答案】(1)，(2)3【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根．（1）根据平方根的意义可直接列方程求解；（2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可．【详解】（1）依题意得：，解得：，；（2）∵∴，∴，，的算术平方根为3．【变式7-2】已知一个正数的两个平方根分别是和．(1)求和的值；(2)若的立方根为，求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据“一个正数的平方根互为相反数”可得，求解确定的值，然后计算的值即可；（2）首先根据立方根的定义确定的值，进而可得的值，然后根据平方根的定义，即可获得答案．【详解】（1）解：依题意，得，解得：，；（2）的立方根是，，，，且64的平方根为，∴的平方根为．一、单选题1．下列结论中，正确的是（

）A．的平方根是 B．0没有平方根C．1的算术平方根是1 D．的平方根是【答案】C【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误；∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误；的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确；，的平方根是，不是，故D错误．2．下列语句中，正确的是（）A．的平方根是 B．的平方根是C．的算术平方根是 D．的算术平方根是2【答案】D【分析】根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可．【详解】解：A、在实数范围内，负数没有算术平方根，即无意义，原说法错误，不符合题意；B、的平方根是，原说法错误，不符合题意；C、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意；D、的算术平方根是2，原说法正确，符合题意．3．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（

）A．3 B．6 C．9 D．25【答案】D【分析】根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解．【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，∴，解得：，∴这个正数是．4．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根．【详解】解：由题意可知：该自然数为，该自然数相邻的下一个自然数为，的平方根为．故选：D．5．若介于两个连续的整数和之间（），则的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先估算无理数的范围，得到连续整数和的值，再计算，最后求出的平方根即可得到答案．【详解】∵，∴，即．∵，且，是连续整数，∴，．∴．∵的平方根是，∴的平方根是．二、填空题6．_________，的算术平方根为_________，的平方根为_________．【答案】【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定义逐步计算，即可得到结果．【详解】解：；∵，，∴的算术平方根为6；∵，的平方根为；∴的平方根为．7．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____．【答案】3【分析】本题根据正数平方根的性质解题，正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到结果．【详解】解：正数的两个平方根互为相反数整理得解得的算术平方根为．8．实数、满足，则的平方根是________．【答案】【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质得出，，进而求出的平方根即可．【详解】解：∵实数、满足，，，∴，且，解得：，，∴，∴的平方根是．9．实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简=_________．【答案】-2a+b/b－2a【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b＜0，a﹣b＞0，∴＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b+b﹣a+b＝﹣2a+b．故答案为：﹣2a+b10．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______．【答案】【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可．【详解】解：∵和互为相反数解得的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有，解得∵的平方根是的平方根为．三、解答题11．利用平方根的意义求下列各