第09讲 二次根式的加减法(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第09讲二次根式的加减法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1最简二次根式的判断题型2化为最简二次根式题型3已知最简二次根式求参数题型4同类二次根式的判断题型5求同类二次根式中的参数题型6二次根式加减运算题型7二次根式加减乘除混合运算题型8二次根式的混合运算中的新定义型问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航同类二次根式、化简、最简二次根式、合并、加减运算、类比。1.理解同类二次根式的概念，能识别并合并同类二次根式（类比合并同类项）。2.掌握将二次根式化为最简二次根式的方法，为加减运算做准备。3.能熟练进行二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式。4.能综合运用二次根式的加减乘除法则进行混合运算，体会类比思想。学习重点:将二次根式化为最简二次根式，并判断同类二次根式，再进行合并运算。学习难点:准确识别并合并同类二次根式（特别是根号内被开方数不同但化简后相同的情况），以及混合运算中运算顺序与化简的结合。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式【易错提醒】最简二次根式易错警示：需满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。化简时注意：分母有理化要彻底，平方因子要完全移出根号。勿遗漏条件。即时即练下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．知识点02同类二次根式1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如【易错提醒】同类二次根式易错警示：必须化为最简后，被开方数**相同**的二次根式才是同类。注意：2与8是同类（因为8=2\2），3与2不是。仅系数不同可合并。即时即练下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（

）．A．与 B．与 C．与 D．与知识点03二次根式的加减法1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。2.二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。【易错提醒】二次根式加减法易错警示：先将各根式化为最简，再合并同类二次根式（系数相加减，根号不变）。注意：不是同类二次根式不能合并（如2+3)无法简化）。勿盲目去根号。即时即练计算：(1)(2)(3)题型1最简二次根式的判断【例1】下列式子中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【例2】下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【技巧归纳】最简二次根式：被开方数不含能开得尽方的因子，不含分母，分母中不含根号。检查时，先化简根号内，如18=32不是最简；12=2【变式1-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】在，，，，，中，最简二次根式的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型2化为最简二次根式【例3】把化成最简二次根式为．【例4】将化成最简二次根式为．【技巧归纳】分解质因数，将完全平方因子开方到根号外。分数化去分母：分子分母同乘分母使分母为完全平方数或使用ab【变式2-1】将化为最简二次根式为___________．【变式2-2】将化成最简二次根式的结果为．题型3已知最简二次根式求参数【例5】若是最简二次根式，则整数的最小值为．【例6】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是．【技巧归纳】根据最简条件：被开方数不含能开得尽方的因子，且不含分母。列出参数方程或不等式，如18a最简则a不含2的奇次幂。系数不为0，被开方数为整数。解出参数，注意检验合理性。【变式3-1】若最简二次根式与能合并，则的值为__________．【变式3-2】若是最简二次根式，则自然数．题型4同类二次根式的判断【例7】下列根式和是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【例8】下列各式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】先化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。相同则为同类，系数可不同。如32与−2是同类，与3【变式4-1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（）A．和 B．和 C．和 D．和【变式4-2】下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（

）．A．与 B．与C．与 D．与题型5求同类二次根式中的参数【例9】若与最简二次根式是同类二次根式，则．【例10】若与最简二次根式是同类二次根式，则．【技巧归纳】先将各二次根式化为最简形式，根据同类条件：被开方数相同，列方程或不等式。注意被开方数为非负，系数可为任意实数。解出参数后，代入原式验证是否为最简，且有意义。可能有多种情况，需分类讨论。【变式5-1】与最简二次根式为同类二次根式，则．【变式5-2】与最简二次根式是同类二次根式，则为____________．题型6二次根式加减运算【例11】计算：．【例12】计算：(1)；(2)．【技巧归纳】先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（系数相加减）。不同类根式保留原样。运算结果也需最简。注意括号和去括号规则，减法时整体变号。不能合并的根式不可强行计算。【变式6-1】计算：(1)；(2)．【变式6-2】计算：(1)；(2)．题型7二次根式加减乘除混合运算【例13】计算：(1)；(2)．【例14】计算：(1)(2)【技巧归纳】先乘除后加减，有括号先括号内。将每个根式化为最简，再进行乘除a⋅b=【变式7-1】计算：(1)(2)【变式7-2】计算：(1)；(2)；(3)．题型8二次根式的混合运算中的新定义型问题【例15】对于任意的整数，，定义运算“☆”为：．求：的值．【例16】定义新运算：对于任意实数，都有，例如．(1)求的值；(2)求的值．【技巧归纳】先理解新运算规则（如a⨀b=a2【变式8-1】定义：对于两个正实数x和y，如果存在整数k，使得，则称x与y是关于k的“整积数”．(1)已知，，且x与y是关于整数2的整积数，求m的值；(2)已知，，判断x与y是否为整积数？若是，求出对应的k值；若不是，说明理由．【变式8-2】对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如．(1)求的值；(2)若，求x的值．一、单选题1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．在下列算式中：①；②；③；④，其中正确的是（

）A．①③ B．②④ C．③④ D．①④5．如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．化简：________；7．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式．8．若最简二次根式与可以合并，则的值是______．9．若b，c分别为直角三角形两条直角边，且b，c满足（其中b，c为有理数），则该直角三角形的斜边长为______．10．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，所以与互为“对偶式”．则的“对偶式”是________．三、解答题11．计算：(1)(2)12．计算：(1)(2)13．计算：(1)(2)14．定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．(1)若与是关于4的共轭二次根式，则_____．(2)若与是关于2的共轭二次根式，求的值．15．阅