第12讲 函数(8类重点题型+过关检测)(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第12讲函数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数的概念及图象识别题型2函数的三种表示方法之列表法题型3函数的三种表示方法之解析式题型4函数的三种表示方法之图象法题型5求自变量的取值范围题型6求自变量的值或函数值题型7动点问题画函数图象题型8从函数的图象获取信息04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数、变量、对应关系、唯一性、表示方法、函数值、变化与对应。1.理解函数的概念，掌握函数定义的三个要素（两个变量、对应关系、唯一性）。2.能判断两个变量之间是否具有函数关系，并能举出具体实例。3.掌握函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），并能根据实际情况选择合适的方法。4.能根据函数关系式求出函数值，经历从具体情境中抽象出函数模型的过程，体会变化与对应的思想。学习重点：函数的概念及其三个要素，能判断两个变量之间是否存在函数关系。学习难点：理解函数概念中“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应”的含义，特别是“唯一性”的判断。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的概念函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.【易错提醒】函数概念易错警示：对自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应。注意：y2=x不是函数（一个x对应两个y）。自变量取值范围需使式子有意义（如分母非零、开方非负）。即时即练1．下列图形中不能表示y是x的函数的是（

）A．B．C． D．2．下列与的关系中，不是的函数关系的是．（填序号）①；②；③；④；⑤；⑥．知识点02函数的三种表示方法=1\*GB3①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。=2\*GB3②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。=3\*GB3③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。【微点拨】1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2.【易错提醒】函数三种表示法（解析式、列表法、图象法）易错警示：解析式要注明自变量范围；列表对应值不能重复或遗漏；图象需描点连线，注意实际意义中端点（空心/实心）与增减趋势。三者可互相转化。即时即练1．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米）(1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量；(2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围）(3)当时，是多少？当时，是多少？2．一个装有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4内只进水不出水，在随后的14内既进水又出水，在第18后只出水不进水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量）（单位：）与时间x（单位：）之间的关系如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)每分钟的进水量为_____，每分钟的出水量为_____；(2)求m的值；(3)若在某一时间x（）时，容器内水量恰好为30，直接写出此时x的值为_____．观察下列图形，其中是三角形的是（

）题型1函数的概念及图象识别【例1】下列表达式中，不是的函数的是（

）A． B． C． D．【例2】下列各图给出了与自变量之间的对应关系，其中能表示是的函数的是（

）A．②④ B．①③ C．①④ D．③④【技巧归纳】函数：对于自变量x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应。判断时，一个x对应多个y则不是函数。图象识别：用竖线法（垂直于x轴的直线与图象最多一个交点）。注意定义域与值域。列解析式或表格验证。【变式1-1】有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-2】下列图象中，表示y是x的函数的是（

）A． B． C． D．题型2函数的三种表示方法之列表法【例3】课外科技小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示．t/秒00.511.522.533.544.5…h/米1.87.311.815.317.819.319.819.317.815.3…下列说法正确的是（

）A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米C．飞行时间t为2秒和4秒时，飞行高度h相同D．从0秒到2秒飞机飞行的高度是15米【例4】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：轿车行驶的路程0100200300400…油箱剩余油量5042342618…下列说法不正确的是（

）A．该车的油箱容量为B．该车每行驶100km耗油8LC．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油【技巧归纳】列表法：用表格列出自变量与函数的对应值。解题时，通过观察表中数据变化趋势，判断函数关系（如一次函数差固定，反比例乘积固定）。也可用表中数据求解析式（待定系数法）。注意自变量范围。【变式2-1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：刹车时车速（km/h）01020304050……刹车距离（m）0510……下列说法中错误的是（

）A．自变量是刹车时的车速，因变量是刹车距离B．刹车时的车速每增加千米，刹车距离就增加C．当刹车距离为时，刹车时的车速为D．当刹车时的车速为时，与其前方距离为的车辆不会追尾【变式2-2】梦想从学习开始，事业从实践起步．近来，每天登录“学习强国”，学精神增能量、看文化长见识已经成为一种学习新风尚．下面是爸爸上周“学习强国”周积分与学习天数的有数据，则下列说法错误的是（

）学习天数n（天）1234567周积分w（分）55110160200254300350A．在这个变化过程中，学习天数是自变量，周积分是因变量B．周积分随学习天数的增加而增加C．从第天到第天，周积分的增长量为50分D．天数每增加天，周积分的增长量不一定相同题型3函数的三种表示方法之解析式【例5】某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表：印刷数量（张）收费（元）(1)上表反映了和之间的关系，自变量是，因变量是(2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而(3)若要印制1000张宣传单，收费元【例6】某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下：加热时间0102030液体温度8182838(1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足关系：随着加热时间t的变化，液体温度y的值也随之变化，直接写出y与t之间的关系式，并指出在这个变化中，哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点．【技巧归纳】解析式法：用等式表示函数关系。解题时，根据条件列方程求系数（待定系数法），并注明自变量取值范围。注意实际意义限制（如时间>0）。求函数值直接代入，求自变量则解方程。注意分式分母不为0。【变式3-1】春天来了，小颖要用总长为的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙(墙长，另外三边是篱笆，其中不超过设垂直于墙的两边的长均为，长方形花圃的面积为．(1)判断是否符合题意，并说明理由(2)求与之间的关系式(3)根据关系式补充表格：观察表中数据，写出随变化的一个特征：．（米）1.522.533.544.5（米）13.51617.51817.51613.5【变式3-2】小明家住佛山，周末想要去广州动物园玩，爸爸带着小明开车上高速，一路上给小明科普：由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某机构对某型号的小型载客汽车的刹车性能（车速不超过）进行了测试，测得的数据如下表：刹车时车速01020304050．．．刹车距离02.557.51012.5．．．请回答下列问题：(1)在这个变化过程中，自变量是，因变量是；(2)当刹车时车速为时，刹车距离是；(3)根据上表反映的规律写出该型号汽车s与v之间的关系式：；(4)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?（高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里）题型4函数的三种表示方法之图象法【例7】小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（

）A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家【例8】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的图象大致为图中的（

）A．B．C．D．【技巧归纳】图象法：用平面直角坐标系中曲线表示函数。解题：通过图象读交点、最值、增减性、取值范围。画图时列表描点连线，注意定义域。图象上的点满足解析式，利用图象可直观比较函数值大小，解不等式。【变式4-1】温度的变化是人们常谈论的话题．如图是某地某天温度变化的情况．(1)上午8时的温度是多少？16时呢？(2)这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？(3)这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？(4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？(5)图中的点A表示的是什么？点B呢？【变式4-2】如图，圆柱形容器B底部固定圆柱形容器A，两容器顶部开口，壁厚不计．容器A底面积为，底部有一小孔与容器B连通．第一次从某一时刻开始向容器B均匀注水，容器A中水位高度注水随时间变化图像如右图．(1)注水速度为，容器A高度为．(2)请计算容器B的底面积是多少？(3)将两容器水清空，第二次以同样速度向容器A均匀注水，问将容器A注满水需要多长时间？(4)请在右图将第一次注水过程中容器B水位随时间变化图像．题型5求自变量的取值范围【例9】汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为，自变量的取值范围是．【例10】若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是．【技巧归纳】使解析式有意义：分母≠0，偶次根式被开方数≥0，零次幂底数≠0，实际意义（如长度>0）。多个条件取交集。如y=√(x-2)/(x-3)，则x≥2且x≠3。注意隐含条件，如实际问题中时间非负。最后用区间表示。【变式5-1】已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为（x为自变量）；自变量的取值范围；【变式5-2】如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是．（写出自变量的取值范围）题型6求自变量的值或函数值【例11】同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是．【例12】在函数中，当时，函数值为；当函数值为4时，自变量x的值为．【技巧归纳】已知x求y：直接代入解析式计算。已知y求x：解方程（注意取舍：需在定义域内）。若图象已知，读取对应点的坐标。实际问题中解可能不唯一（如二次函数），要结合自变量的取值范围筛选。注意单位。【变式6-1】地表以下岩层的温度y（）随着所处深度x（）的变化而变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当时，．【变式6-2】物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为米．题型7动点问题画函数图象【例13】已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按的路径移动，相应的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若，则图甲中的图形面积是平方厘米．【例14】如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为．【技巧归纳】按动点运动阶段分段，每段根据几何关系建立函数式（面积或长度）。分别画出各段图象，注意端点是否重合（连续），定义域为时间范围。常为折线或抛物线。先找关键转折点（如到达顶点、边界），再描点连线。【变式7-1】如图1，在中，高为，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，结合图形与图象解答：(1)______，______；(2)当在上时，求的最小值；(3)求的长．【变式7-2】如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示．(1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________．(2)_________，_________；(3)点H的运动时间为时，求的面积b．题型8从函数的图象获取信息【例15】如图所示是某物体做直线运动时的路程随时间变化的图象，由图象判断下列说法错误的是（

）A．时，物体通过的路程为B．在整个时间内，物体运动的平均速度为C．物体运动的总路程为D．物体在内的速度比内的速度大【例16】端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（

）A． B．C． D．【技巧归纳】读图要点：看横纵轴意义，找特殊点（交点、端点、极值点），分析增减性、变化趋势。从图象获取函数值、取值范围、交点坐标。注意分段函数时不同区间对应不同变化。结合实际问题背景，解释图象转折含义（如速度变化）。【变式8-1】小强、小林从学校出发，沿着笔直的道路去少年宫参加书法比赛，小强步行去少年宫一段时间后，小林骑自行车去少年宫，两人均匀速前行．他们两人之间的距离米与小强出发时间分之间的函数关系如图．结合图象信息，小成给出如下说法：小林先到达少年宫；小林的速度是小强速度的倍；小强出发分钟时到达少年宫；小强出发分钟时，小林还需要继续行进米才能到达少年宫．其中正确的说法是（）A． B． C． D．【变式8-2】光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（）A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小B．当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大D．草莓生长最快时的温度约为一、单选题1．下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（

）A． B． C． D．2．函数中，自变量x的取值范围是（

）A．x≥2 B．x≥2且 C． D．3．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表：时间t（s）5101520253035温度计上的度数（°C49312216141212下列说法中不正确的是（

）A．当时，温度计上的度数是B．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是时间t的函数C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变D．当温度计的度数为25°C时，经过的时间可能是4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（

）A． B． C． D．5．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（

）A．快车和慢车相遇时，快车距离B地B．相遇后，快车再行驶到达B地C．快车比慢车早到达目的地D．快车的速度为，慢车的速度为二、填空题6．若定义某函数，则__________．7．有下列关于x和y的式子：①y=x2；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）．8．一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌，请写出冰激凌售价y（元）与x（支）之间的函数解析式________．9．甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站（两车到站后就停止不动），在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示．从乙车出发到甲车到达B城车站这一时间段，在哪些时间点两车相距？请写出所有的时间点：_____．10．如图1，在中，，点D为AC的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段CP的长度y与运动时间x（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点Q为曲线部分的最低点）．则：（1）______；（2）点Q的纵坐标m的值为______．三、解答题11．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据：海拔/m010002000300040005000600070008000空气含氧量/（）299.30265.50234.80209.63182.08159.71141.69123.16105.97(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？(2)在海拔的地方空气含氧量是多少？在海拔的地方空气含氧量是多少？(3)你估计在海拔的地方空气含氧量是多少？12．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（）（）之间的对应关系如下表：物体的质量x/01234弹簧的长度y/cm810121416根据上表，解决下列问题．(1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数