专题4.4 利用相似三角形测高-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

知识点01相似三角形的应用涉及的知识题型01利用阳光下的影子测高问题题型02利用标杆测高问题题型03利用镜面反射测高问题教学目标、教学重难点教学目标、教学重难点教学重难点1.重点(1)能够准确识别实际问题中相似三角形的模型，熟练运用相似三角形对应边成比例(2)掌握利用相似三角形解决常见实际测量问题的方法，如测高、测2.难点(1)从复杂的实际情境中抽象出相似三角形模型，准确找出对应边和对应(2)灵活运用相似三角形知识，对实际问题进行全面分析，选择合适的条件和方法进知识清单知识清单3.实际应用场景：在测量高度(如测量树高、建筑物高度)、计算距离(如河宽测量)、工程【即学即练1-1】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F,落在墙上的点E处.已知点G到地面的高度AG=0.8m,木板的高度CF=1.0m,点G到木板的水平距离AC=2.7m,木板到墙的水平距离CD=1.8m,求点E到地面的高度DE(图中点A,B,C,D在同一水平线上).解得DE=2.2.测量旗杆AB的高度工具皮尺、标杆示意图说明：在水平地面上直立一根标杆EF,观测者沿着直线BF后退到点D,使眼睛C、标杆的顶端E、旗杆的顶端A在同一条直线上.数据的距离DF的距离DB标杆EF的长观测者的眼睛离地面的距离问题如图，过点C作CH⊥AB于点H,交EF于点G.……请根据以上测量结果及该小组的思路，求学校旗杆AB的高度.题型精讲题型精讲【典例1】如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度(结果保留整数).测量数据：①小星与旗杆的距离为18m,②小星到镜子的距离为2m,③镜子到旗杆的距离为16m,④同一时刻，小星的影长为2m,旗杆的影长为16m,⑤小星的身高为1.7m(眼睛到头顶的距离忽略不计),【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺.(答案不唯一);任务二：示意图1或图2或图3均可.(答案不唯一);任务三：(答案不唯一),如选取数据①,⑤,⑥,⑦.学校旗杆AB的高【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.任务三：选取数据①,⑤,⑥,⑦.证明△CDG∽△ADH,利用相似三角形的性质求出AH=12.6,进【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标任务二：示意图1或图2或图3均可.(答案不唯一)AB如图3,选取数据①,⑤,⑥,⑦.得DE=FG=BH=1.7,DG=EF=2,DH=EBDDFE【变式1】如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为测得落在地面上的影长BD为18m,留在墙上的影高CD为3m,AB⊥BD,CD⊥BD,点A,B,C,D在【答案】15【答案】15m【分析】本题考查了相似三角形的应用，过C作CEIAB于E,首先证明四边形BECD为矩形，可得CE=BD=18m,BE=CD=3m,根据题意得到，求出AE的长，即可求出旗杆的高度.【详解】解：如图，过点C作CEIAB于点E,B解得AE=12,答：旗杆的高度AB为15m.【变式2】数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔AB高度，并给出测量设计方案.测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺.请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由.小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式.如图1,第一次测量某一时刻木棍CD与塔影一端重合在点M,测得棍影CM为1米；第二次测量另一时刻棍影EN与塔影BN一端重合在点N,测得EN=1.5米，木棍移动距离CE=12米.小河组：采用固定木棍分次测量方式.如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影BE的位置并测量出棍影QG长为1.5米.第二次测量在某一时刻，标记塔影BF的位置并测量出棍影QH长为2米，两次塔影顶端EF的距离为12.4米.(注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光)【答案】两种方案都能得到合理结果，塔【答案】两种方案都能得到合理结果，塔AB高度约为25米可得根据BM+EM+NE即可求解；小河组：小河组：由题意得HP|AF,PG||AE,BCD|ABEF,2PGQAEB,△PHQ图题型02利用标杆测高问题米，EF,AB,CD均垂直于地面BD.求大楼的高度CD.(提示：如图中，过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J.则四边形EFBJ)EFDH都是矩形.利用相似三角形的性质求出CH,可得结论.【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J.则四边形EFBJ,四边形EFDH都是矩形.CAEHD∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米),AB(2)解：PDE=5.5米，BD=49.5米，即主题意图测量步骤步骤1:把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q,测得QD=4米；步骤2:将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P,测得PF=6米，FD=28米；(以上数据均为近似值)根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB.可求解.CC,求得BE=23,于是得到结论.解得BE=23,答：清虚阁AB的高度为25米.题型03利用镜面反射测高问题【典例3】如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点C处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶面的高度AB=1.6m,同时量得小明与镜子的水平距离BC=2m,镜子与旗杆的水平距离CD=12m.(2)求旗杆ED的高度.(2)根据相似三角形的性质求解即可.【详解】(1)证明：根据题意，得∠ACB=∠ECD,∠ABC=∠EDC=90°,解得DE=9.6,经检验，符合题意，答：旗杆ED的高度9.6米.【变式1】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米.如图①,现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题.若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②,由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处.如果视力表的全长为0.8米，求镜长MM'的长.【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确做出辅助线构造相似三角形成为解答本题的关键.【答案】古塔【答案】古塔AB的高度为96米案.经检验，BC=168是上述分式方程的解且符合实际意义，故答：古塔AB的高度为96米.一、单选题1.如图，利用标杆DA测量楼高，点C,A,B在同一直线上，DA⊥CB,EB⊥CB,垂足分别为A,B.若解得：EB=12;2.如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗A.5B.6【答案】DDCQD即即旗杆的高度为8m.3.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D.视线BD与井口的直径AC交于点E,如果测得AB=2米，【答案】【答案】D4.如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD.已知AB=0.3(dm),点光源到胶片的A.86B.84C.80A.86B.84C.80【答案】C解决问题.证明△解决问题.证明△OAB∽△OCD,推出,构建方程求出EF即可.水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm,EP=12cm,测得眼睛D离地面的高步云阁A.74.1mB.77.7mC.79.5m【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得PED∽BCD,有即可求得BC=76m,结合眼睛离地面的高度即可求得答案.,解得BC=76,二、填空题6.如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长3.2m的竹竿做测竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为_【答案】【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出BE|CD,推出△ABE∽△ACD,再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.CBD7.如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2m,BP=1.8m,PD=24m,那么该大厦的高度约为m.方程，建立适当的数学模型来解决问题.因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利即8.图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后，放在水平的桌图1cAo【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答.【详解】解：如图所示，过A作AG⊥DE于G,交BC与F,DBGE则解得：h=6,故答案为：6.设AG=h,【答案】24【答案】24【分析】本题主要考查了相似三角形的应用.熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键.设AD与PN交点为E,正方形的边长为x,得到AE=40-x,根据正方形性质得到PNI/QM,得到△APN∽△ABC,推出,解得x=24.【详解】解：设AD与PN交点为E,正方形的边长为x,解得x=24,∴这个正方形零件的边长是24mm.故答案为：24.AB三、解答题11.如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为2m,测得AB=4m,BC=12m,求建筑物CD的高.【答案】8【答案】8m【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得△ABE∽△ACD,然后根据相似三角形的性质可进行求解.【详解】解：由题意得：BE|CD,12.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的DEF).小南利用“矩”可测量大树AB的高度.如【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得∠DEF=∠BCD=90°可得出DEF∽DCB,由相似三角形的性质可得出,即可得出BC,再根据AB=AC+BC即可得出答案.答：树高AB为15.6m.13.如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3m,左边的影子ME的长为1.5m,又知小亮的身高EF为1.80m,两盏路灯AC之间【答案】路灯高6.6米【答案】路灯高6.6米【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解.形的相似比，进而求出路灯形的相似比，进而求出路灯AB的高度.【详解】解：设AM=xm,则MC=(12-x)m,再设路灯的高为hm,即故14.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度.东和GH,两标杆间隔EG为46m,并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2m到D量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度.【答案】该东塔【答案】该东塔AB的高度为36m.再证△ABC一△HGC,推出,进而可得,然后解方程即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键.【详解】解：设BD=xm,则BC=BD+DG+CG=x+46-2+4=(x+48)m,解得x=48,经检验，x=48是原方程的解，15.如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B.小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：②在树B所在的河岸内侧，选择两点D,E,从点D观测树A,且A,D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A,并使E,B,A三点共线；③调整D,E的位置，使DE//BC,记录下DE的距离为5a;④测量出BE之间的距离大约为27m.数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离?请通过分析与计算说明.经检验，AB=18是原方程的解，答：能测出树A与树B之间的距离为18米.下是他的实践报告，请根据报告内容，写出任务解决的求解过实践测量河对岸旗杆PQ的高度实践工具带刻度的标杆、皮尺实践①小明直立于地面，眼睛到地面的距离为A₁B₁,在他和旗杆之间直立一根带刻度的标杆CD;②眼睛看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的M点；③向旗杆方向前进一定的距离B₁B₂,眼睛再次看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的N点；④画出几何示意图如图，测量相关数据，并利用相似三角形度PQ.数据B₁B₂=3米；DM=4米；DN=2.8米.求河对岸旗杆PQ的高度.【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为后计算PE+EQ即可.∴MF=4-1.6=2.4(米),NF=1.2米，NF|PE,解得EF=10(米),解得PE=7.2(米),∴PQ=PE+EQ=7.2+1.6=8.8(米),(2)由两角对应相等的两个三角形相似即可证明VABE∽VCBD,学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度.通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆.同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长.设AB的长为x米，BC的长为y米.北京站钟楼直杆的影子钟楼、直杆及影长示意图测量数据(精确到0.1米)如表所示：度长CD的长次次(1)由第一次测量数据列出关于x,y的方程是,由第二次测量数据列出关于x,y的方程是;【答案】(1)y=0.6x-15.8,y=0.7x-20.1【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键.(1)由同一时刻测量，可得,分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于的方程；(2)已经求得y=10,将y=10代入任一个方程，可求得x的值，即得钟楼的高度.【详解】(1)由同一时刻测量，可得【详解】(1)由同一时刻测量，可得第二次测量：,化简得，y=0.7x-20.1,(2)对于y=0.6x-15.8,代入y=10,解得：x=43,故答案为：43.顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳.(图①)(图②)(图③)退2m至点C处，调整高度使眼睛D恰好