专题16 待定系数法求一次函数表达式的五种考法（原卷版）

专题16待定系数法求一次函数表达式的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 1类型一、已知一点求正比例函数的表达式 1类型二、已知一点求一次函数中K值或b值 3类型三、已知两点求一次函数的表达式 5类型四、两直线平移，求直线的表达式 9类型五、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式 12压轴能力测评（16题） 15解题知识必备1.用待定系数法求一次函数的表达式1.求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；2.求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.压轴题型讲练类型一、已知一点求正比例函数的表达式例题：已知是关于的正比例函数，当时，．(1)求关于的函数表达式；(2)若点是该函数图象上的一点，求的值．【变式训练】1．已知正比例函数图像经过点．(1)求此正比例函数的解析式：(2)点是否在此函数图像上？请说明理由；2．已知正比例函数的图象经过点，求：(1)该函数的表达式；(2)若点在此函数图象上，求的值.类型二、已知一点求一次函数中K值或b值例题：已知直线经过点．(1)求a的值；(2)将该直线向下平移k个单位长度使其成为正比例函数，求k的值．【变式训练】1．已知一次函数的图象经过点．(1)求此一次函数的表达式．(2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由．2．已知一次函数，当时，．(1)求一次函数的解析式；(2)求该一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．3．已知一次函数，其中．(1)若点在y的图象上，求k的值．(2)当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．类型三、已知两点求一次函数的表达式例题：已知：一次函数，是常数，的图象过，两点．(1)求该函数的表达式；(2)试判断点是否在直线上？并说明理由．【变式训练】1．已知一次函数的图象经过点，．(1)求此一次函数的解析式；(2)求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，．求：(1)这个一次函数的表达式．(2)当时，函数y的值．(3)当时，自变量x的取值范围．3．一次函数的图象与x、y轴分别交于点，．(1)求该函数的解析式，并说明点是否在函数图象上；(2)O为坐标原点，设OB、AB的中点分别为C、D．P为OA上一动点，求的最小值．并求取得最小值时P点的坐标．类型四、两直线平移，求直线的表达式例题：直线与轴交于点，且与直线平行，则直线的表达式为【变式训练】1．在平面直角坐标系中，点在直线上，分别过点A、B作x轴，y轴的平行线交于点C．(1)，；(2)求过点C且平行于的直线的解析式．2．根据下列条件，分别确定一次函数的解析式：(1)图象过，；(2)直线与直线平行，且过点；(3)在坐标系中画出以上两函数图象，与x轴交点分别为A、B，两直线的交点C，求的面积3．在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B．(1)求此一次函数的表达式；(2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为10，求点P的坐标．类型五、已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式例题：已知y与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，求x的值．【变式训练】1．已知y是x的正比例函数，且当时，．(1)求这个正比例函数的解析式；(2)若点在该函数图象上，试比较，的大小．2．已知和成正比例，当时，．(1)求关于的函数表达式；(2)若点是该函数图象上的一点，求的值．3．已知与x成正比例，与成正比例，当时，；当时，．(1)求y与x的函数解析式；(2)当时，求y的值．4．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标．压轴能力测评（16题）一、单选题1．（2025八年级下·全国·专题练习）将函数图象向下平移4个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（）A． B． C． D．2．（2025八年级下·全国·专题练习）平面直角坐标系第二象限内有一点，它到轴的距离为，到轴的距离为，则直线的表达式是（）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为12，则该直线的函数表达式是（

）A． B． C． D．二、填空题4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是．5．（24-25九年级下·山东济宁·期中）已知直线与直线平行，且经过点，那么该直线的表达式是．6．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转，交y轴于点C，则直线的函数表达式是．三、解答题7．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，某一次函数的图象与直线图象平行，且经过点，并与轴相交于点．(1)求此一次函数的表达式；(2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为，求点的坐标．8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数经过点和点．(1)求一次函数的表达式；(2)求一次函数的图像与两条坐标轴围成的三角形的面积．9．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点．(1)求这个正比例函数的表达式；(2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式．10．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知正比例函数．(1)若点在它的图象上，求正比例函数的表达式；(2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围．11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数（，都是常数，）的图象经过，两点．(1)求这个一次函数的表达式．(2)判断是否在直线上？12．（23-24八年级下·广东梅州·期末）已知一次函数，其中．(1)若点在的图象上，求的值；(2)当时，若函数有最大值2，求的函数表达式；13．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知与成正比例，当时，．(1)求出y与x的函数表达式；(2)设点在这个函数的图像上，求m的值．(3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由．14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知．(1)求一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式．15．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点．(1)求一次函数的表达式；(2)请在x轴上找一点P，使得最小，并求出P的坐标；(3)在y轴上是否存在点M，使得，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．(1)求直线的函数表达式；(2)将直线绕点逆时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；(3)点是（2）中直线上一点，若，求点的坐标．模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)或画树状图如下:共有16种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为616=38,小李获得车票的概率为因此这个规则对小张、小李双方不公平.24.解(1)过点D作AE的垂线,交AE的延长线于点F,如图.由已知可得四边形ACDF是矩形,∴DF=AC=200m.∵点D在点E的北偏东45°方向,∴∠DEF=45°,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=DFsin45°=2002≈283(2)由(1)知△DEF是等腰直角三角形,DE≈2002m,∴EF=DF=200m.∵点B在点A的北偏东30°方向,∴∠EAB=30°,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°.∵AC=200m,∴AB=2AC=400m,BC=AB·sin60°=2003m.∵BD=100m,∴经过点B到达点D的路程为AB+BD=400+100=500(m),CD=BC+BD=(2003+100)m,∴AF=CD=(2003+100)m.∴AE=AF-EF=(2003+100)-200=(2003-100)m.∴经过点E到达点D的路程为AE+DE=2003-100+2002≈529(m).∵529>500,∴经过点B到达点D较近.25.(1)证明在☉O中,AC=CD,则∠ABC=∠DBC.∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB,∴∠OCB=∠DBC,则OC∥BD.(2)解∵OC∥BD,不妨设平行线OC与BD之间的距离为h,∴S△OBC=12OC·h,S△BCD=12BD·∵BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,即S△OBC=S△DBC,则OC=BD,∴四边形OBDC为平行四边形.∵OC=OB,∴四边形OBDC