专题01 二次根式、勾股定理期中复习压轴题（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

1/10专题01二次根式、勾股定理期中复习压轴题目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、二次根式的混合运算类型二、与二次根式运算有关的新定义型题类型三、复合二次根式的化简类型四、与二次根式运算有关的规律题类型五、勾股定理与逆定理的综合问题类型六、验证勾股定理证明方法类型七、勾股定理与折叠问题压轴专练类型一、二次根式的混合运算方法总结1.顺序优先：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的运算顺序。2.统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。解题技巧1.活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。2.有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。例1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【详解】（1）解：（2）解：【变式1-1】（25-26八年级下·山东·期中）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的性质进行实数的混合运算即可；（2）根据二次根式的性质进行实数的混合运算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式1-2】（25-26八年级下·全国·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再进行二次根式加法运算即可；（）先算二次根式乘除，再算减法即可；（）利用二次根式除法，完全平方公式，负整数指数幂计算，然后合并即可求解；（）先去括号，利用二次根式的性质先化简，再进行加减运算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．类型二、与二次根式运算有关的新定义型题方法总结1.理解定义：仔细阅读并理解新定义（如新运算符号、新概念）的规则与含义。2.模仿套用：严格按新定义的步骤，将给定的二次根式代入进行运算或推理，再常规化简。解题技巧1.举例验证：用简单数值或根式按新规则操作一遍，确保理解正确。2.化归常规：将新定义运算后的表达式，通过二次根式常规运算法则（化简、有理化等）求解。例2．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键．（1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案；（2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：，．【变式2-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”．(1)若m与是关于10的友好二次根式，求m；(2)若与是关于6的友好二次根式，求m．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可；（2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算．【详解】（1）解：根据题意得，；（2）解：根据题意得，，∴．【变式2-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)请直接写出的对偶式_____；(2)已知，，求的值；【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键．（1）根据对偶式的定义即可得；（2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得．【详解】（1）解：的对偶式为，故答案为：．（2）解：∵，，∴，，，∴．类型三、复合二次根式的化简方法总结1.配方法：将复合根式化为a+b±2.待定系数：令原式等于x±y，两边平方后对比系数，解方程组求x,y解题技巧1.先判大小：比较内外层根号下数值大小，确定结果为大±小2.平方试探：对原式平方后化简，再开方，注意符号选择。例3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，．例如：．或找，满足，，易知，，所以．(1)化简：；(2)计算：；(3)计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式；（1）直接应用例题的方法求解；（2）分别化简后求和；（3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．【详解】（1）解：设，，得，或，．．（2）解：对于，设，，得，或，．．对于，同理，（）．原式．（3）解：．【变式3-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式：根据上述材料，解决下列问题：(1)化简：=(2)猜想：（，且为整数），并验证你的猜想．(3)计算：【答案】(1)(2)，见解析(3)【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）模仿题干解题过程，得，即可作答．（2）模仿题干解题过程，得，即可作答．（3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【变式3-2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：．（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：我们称这个过程为分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：(1)化简“和谐二次根式”：①_____；②______．(2)求的值(3)设的小数部分为b，求证：【答案】(1)①；②(2)(3)见解析【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键．（1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可；②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可；（2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可；（3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可．【详解】（1）解：①，故答案为：；②，故答案为：；（2）解：，，原式（3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得，由于则由于的小数部分为b，则、所以因此．类型四、与二次根式运算有关的规律题方法总结1.计算特例：准确计算前几项具体结果，观察被开方数、运算符号及结果的变化模式。2.归纳通项：将观察到的规律（如周期性、递推关系）用含序号\(n\)的代数式（通项或求和公式）表示。解题技巧1.拆分结构：将复杂根式拆分为整数部分与根式部分，分别找规律。2.验证归纳：用归纳出的公式计算后续1-2项，确保正确后再应用。例4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律．下面是小明的探究过程，请补充完整．(1)具体运算，发现规律特例1：特例2：特例3：特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子）(2)观察、归纳，得出猜想如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______．(3)应用运算规律化简：【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律.（1）根据所给的特例的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；（3）利用（2）中的规律进行求解即可.【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）解：特例1：特例2：特例3：用含n的式子表示为：，故答案为：；（3）解：．【变式4-1】（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题：【规律发现】第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律探索】（1）第5个等式：_______；（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；【规律应用】（3）计算：【答案】（1）（2）（3）44【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．（1）根据所给的式子的形式进行求解即可；（2）分析所给的式子的形式即可得出规律；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式：（2）由（1）归纳可得：；（3）．【变式4-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：特例1：；特例2：；特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）【发现规律】______．（，且n为整数）【应用规律】（1）计算：；（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．【答案】问题初探：发现规律：应用规律：（1）；（2）9【分析】问题初探：直接通过计算求解即可；发现规律：通过计算，化去根号即可；应用规律：（1）利用规律求解；（2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分．【详解】问题初探：解：故答案为：；发现规律：解：故答案为：；应用规律：（1）解：（2）解：当小数部分是时，，解得：，经检验是分式方程的根，∴整数部分是．类型五、勾股定理与逆定理的综合问题方法总结1.定理应用：勾股定理用于求边长（已知两边求第三边）；逆定理用于判定直角三角形（验证三边是否满足a2+b2=c2。2.数形结合：将几何问题中的线段关系转化为代数等式，或通过构造直角三角形求解。解题技巧1.设元列式：设未知线段为x，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。2.分类讨论：当斜边不确定时，需分情况讨论哪条边为斜边。例5．（25-26八年级下·广东·期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地．(1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时，小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程；(2)如图所示，八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为，请帮助他们求出该实验基地的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算即可；（2）过点A作于D，根据勾股定理列出方程，解方程求出，再根据勾股定理求出，根据三角形面积公式计算，得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴这个三角形是直角三角形，∴三角形的面积为：；（2）解：如图，过点A作于D，设，则，在中，在中，，∴，即，解得：，由勾股定理得：（m），∴，∴该实验基地的面积为．【变式5-1】（25-26七年级上·山东东营·期中）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．(1)判断的形状，并说明理由．(2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．【答案】(1)直角三角形，理由见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明；（2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解．【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：在中，∵，，，∴，∴为直角三角形．（2）解：如图所示，过点作，交于点，∵，∴，∵，即，∴，∴点到地面的距离为：．【变式5-2】（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且．(1)求的长；(2)若，求的长．【答案】(1)5(2)【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出；(2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，∵，∴；（2）解：如图，过点作交延长线于．∴，由(1)知，又知，∴，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴．在和中，，∴，∴，，∴，∴．类型六、验证勾股定理证明方法方法总结1.面积法：构造图形（如弦图、梯形），用两种不同方法计算总面积，得到等式，化简得a2+b2=c2。2.割补法：将直角三角形外围的正方形进行割补，通过面积相等关系推导勾股定理。解题技巧1.选经典图形：常用“赵爽弦图”或“总统证法”（梯形），便于面积分割。2.代数化简：列出面积等式后，展开并消去相同项，保留平方项即得结论。例6．（25-26八年级上·福建·期中）借助图形可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：___________；（2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：（3）如图3，五边形中，，垂足为，==，，，周长为，四边形为长方形，求四边形的面积．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景和勾股定理的验证，熟练掌握上述知识点是解题的关键.（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；（2）图2中图形的面积，即可变形为；（3）根据周长为，可得：，根据（2）中的结论，在中，由勾股定理得，整理得，根据，可知长方形的面积为：，即可得解.【详解】解：（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即故答案为：；（2）解：，理由如下：图2中图形的面积：，，，；（3）解：设的周长为，，根据（2）中的结论，在中，，，化简，得，整理，得，，长方形的面积为：.【变式6-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．（1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理．【方法运用】（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，则新路比原路短_______千米．【应用拓展】（3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边长，可求高的一种方法，他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，求的长；可以列方程求解，设，则可求出_______．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】本题主要考查了勾股定理的推导与应用、方程思想（利用勾股定理列方程）．熟练掌握“双求法”表示图形面积、勾股定理的实际应用是解题的关键．（1）用“双求法”表示梯形面积，一方面直接用梯形面积公式，另一方面拆分为三个三角形面积和，列等式推导勾股定理．（2）设，利用勾股定理列方程求，再计算．（3）设，用勾股定理表示（分别通过和），列方程求，再求．【详解】解：（1）梯形面积：，三个三角形面积和：，∵梯形面积三个三角形面积和，∴，∴，∴，∴；（2）设，则，∵，∴，即，解得，∴千米，故答案为：；（3）设，则，∵，∴，，∴，解得，∴．【变式6-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．(1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为．②如图4，在中，，，，求边上的高．【答案】(1)见解析(2)①；②【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．（1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论；（2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果；（3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可．【详解】（1）证明：把两个全等的直角和如图2放置，，又，，，即，梯形的面积，，四边形的面积，∵四边形的面积梯形的面积的面积，∴∴．（2）解：①：设边上的高为，由勾股定理得，，的面积，的面积，，即边上的高为，故答案为：；②如图，在中，，，，，由勾股定理得，，，又∵，∴，，．答：边上的高为．类型七、勾股定理与折叠问题方法总结1.折叠性质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。2.勾股定理：在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。解题技巧1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，明确未知数。2.设元勾股：设所求线段长为x，用含x的式子表示其他边，在直角三角形中列勾股方程。例7．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合：(1)若，则的度数为_____；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解；（2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解．【详解】（1）解：由折叠性质得，中，，即，又，，，故答案为：；（2）解：由折叠性质得，设，则，中，，即，解得，即．【变式7-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；【答案】(1)(2)6(3)或3或【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可；（2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可；（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．，∵四边形是长方形，．，，；设，则，在中，，根据勾股定理得，，，，，；（2）解：由（1）得，∴，根据翻折的性质得，，∴的面积为，故答案为：6；（3）解：①若，，；②若，作于点，，，，，，；③若，则，，，，，，；综上所述，或3或．【变式7-2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，．(1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）．①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______．②在①的条件下，求的长．(2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)①图形见解析，；②(2)或【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）①以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求；然后根据图形折叠的性质可知，利用勾股定理即可求得；②设，则，根据图形折叠的性质可知，根据勾股定理即可求得答案；（2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；根据折叠的性质和勾股定理构建方程即可解答．【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求，根据图形折叠的性质可知，，，在中，．故答案为：．②设，则，，∵，，∴，在中，，即．解得，即．（2）解：①如图所示，当点在线段上时．设，则，根据图形折叠的性质可知，，，在中，，则，在中，，即，解得，即；②如图所示，当点在线段的延长线上时，根据图形折叠的性质可知，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴；综上所述，或．一、单选题1．（24-25八年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，A错误；B选项：，B正确；C选项：，C错误；D选项：，D错误．2．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可．【详解】解：∵，∴；∵，∴；∴．故选：B．3．（25-26九年级下·江西九江·期中）如图，在中，，，，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，，分别是以为斜边依次所作的等腰直角三角形，则与的面积之和为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由勾股定理和等腰直角三角形的定义可得，则可推出；由勾股定理可得，则可推出，再根据可得答案．【详解】解：∵都是等腰直角三角形，且斜边分别为，∴，∴，同理可得，，同理可得；∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∴．二、填空题4．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____．【答案】【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：要使根式有意义，则，又∵，∴，∴，∴，故答案为：．5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，是边上的一个动点，连结，将沿折叠得到，点的对应点为．当为直角三角形时，的长为______．【答案】1或7【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质．先通过等腰三角形三线合一求出相关线段的长度，再根据折叠的性质得到，，．由于当为直角三角形，且，因此只能，分点在上方或者下方来讨论即可．【详解】解：过点作于点，延长交于点．，，，，由折叠可得，，．当为直角三角形时，只能，∴，当点在上方时：，，，，，；当点在下方时：，，，，，；综上所述，的长为1或7，故答案为：1或7．6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知在中，；（1）边上的高为______；（2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____．【答案】或【分析】（1）设边上的高为，利用勾股定理列方程求解即可．（2）分两种情况讨论：折痕过顶点A，折痕过顶点B，折痕过顶点C，分别利用勾股定理计算折痕长度即可．【详解】解：（1）设边上的高为，垂足为H，设，则，由勾股定理得，，因此，代入得，展开整理得，解得．因此．（2）分两种情况讨论∶①当折痕过点A，且为边上的高时，剪开后两个直角三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图，，，．由勾股定理得．②当折痕过点B，且为边上的中线时，剪开后两个三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图，为中点，，．由（1）得，，．由勾股定理得；③当折痕过点B，同②可求，综上，折痕的长为或．三、解答题7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）计算题：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二次根式的乘除进行计算即可；（2）先进行二次根式的乘除与二次根式的化简，最后进行加减即可；（3）先进行二次根式的除法，再根据平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．8．（24-25八年级下·云南昭通·期末）如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．(1)连接，试判断的形状，并写出证明过程；(2)求这块空地的面积．【答案】(1)是直角三角形；见解析(2)【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的判定方法是关键．（1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解；（2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：由题意得垂直平分，∴，∵，∴，∴是直角三角形；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∵，∴，∵E是的中点，∴，∴，∴这块空地的面积为．9．（24-25八年级下·福建龙岩·期中）观察下列等式：；；……根据你观察后所发现的规律，解答下列问题：(1)若等式及具有上述规律，则；；(2)请你用含n的等式表示上述规律；（n是大等于2的整数）(3)请你证明上述等式的正确性．【答案】(1)(2)（的整数）(3)见解析【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键．（1）仔细观察从上式中找出规律即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可．【详解】（1）解：∵；；∴，．故答案为：24；63（2）解：∵；；，……∴（的整数）．（3）解：．10．（25-26八年级上·四川巴中·期末）问题情境：如图，在中，，，，求的长度．小许同学利用勾股定理求出，老师告诉他：中，根号下含有根号，不是最简二次根式，还需要继续化简．方法回顾：小许回想到二次根式化简，；又，；所以将被开方式（数）化为完全平方式，就可以达到化简二次根式的目的．方法应用：（1）_____；问题解决：（2）_____；方法迁移：（3）计算：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质及二次根式的加减是关键．（1）将配方成，即可得到答案；（2）将配方成，即可得到答案；（3）先对两个被开方数配方，再开方求解即可．【详解】（1）解：．故答案为：．（2）解：．故答案为：．（3）解：原式．11．（25-26八年级上·河南南阳·期末）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．【答案】(1)证明见解析(2)24(3)1.2【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理；（2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积；（3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可．【详解】（1）证明：，，，，，即，，，，即；（2）解：，，，有勾股定理得，，，，，，，答：阴影部分面积为24；（3）解：设千米，则千米，，，在中，，在中，，，即，整理得，，解得，，千米，（千米），答：新修路的长为1.2千米．12．（24-25八年级上·福建三明·期中）在中，．(1)如图1，把折叠，使点B与点C重合，折痕交于点D，交于点E．求证：D是的中点；(2)如图2，把折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点F．求的长；(3)如图3，M为边上一点，沿着折叠，得到，边交于点N，若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．（1）先证，再证明进而得出即可；（2）设x，则，在中用勾股定理求解即可；（3）先求出，得出，进而求出，即可求出结论．【详解】（1）解：∵折叠后点B与点C重合，∴，在中，∴，∴，，，即D是的中点；（2）解：∵直线是对称轴，∴，∵，设，则在中，，∴，∴，解得，∴；（3）解：由题意得：，，，，，，，，，．13．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动．(1)在点移动过程中，的最小值是多少？(2)在点移动过程中，若，长为多少？(3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长度，根据垂线段最短确定当时，的值最小，然后根据等面积求解；（2）过点作于点，根据三线合一得出，然后利用勾股定理进行求解；（3）射线相交于点，连接，证明，得出相等的线段，利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）解：如图所示，当时，的值最小，∵，，，∴由勾股定理得，∴由等面积得，∴的最小值是；（2）解：如图所示，过点作于点，∵，∴，由（1）可得，由勾股定理得，∴；（3）解：如图2所示，射线相交于点，连接，∵，∴，∵，∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，∴，即，解得，由勾股定理得，假设，则，∴，，由勾股定理得，即，解得或，∴长为或．综合训练一、选择题1.使得式子x4-x有意义的xA.x≥4 B.x>4 C.x≤4 D.x<42.设a>0,b>0,则下列运算错误的是()A.ab=a·b B.a+b=a+b C3.在二次根式:2xy,8,A.4 B.3 C.2 D.04.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式,下列各数27,118A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则化简(a-b)2-(b-a-A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-26.下列判断正确的是()A.3