专题01 二次根式的性质的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题01二次根式的性质的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、根据二次根式的定义求字母的值类型二、根据二次根式有意义条件求范围类型三、根据二次根式有意义求值类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式类型六、复杂的复合二次根式化简压轴专练类型一、根据二次根式的定义求字母的值方法总结：1.定义抓形式：紧扣a（a≥0）的格式，确保被开方数整体非负。2.方程列条件：根据“被开方数≥0且根指数=2（隐含）”列方程或不等式求解。解题技巧：1.整体审题：先确定根号下的整体代数式，再分析其非负条件。2.双向验证：解出字母值后，代回原式验证二次根式有意义（避免增根）。例1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为．【变式1-1】（24-25八年级下·甘肃武威·月考）若二次根式是整数，则整数的最小值为．【变式1-2】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）若是整数，且是自然数，则的值是．【变式1-3】（25-26八年级上·重庆·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式．（1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值；（2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为．类型二、根据二次根式有意义条件求范围方法总结1.紧扣核心定义：二次根式有意义的条件是“被开方数（整体）≥0”。2.正确建立不等式：根据条件列出关于未知数的不等式（组）并求解，得到字母的取值范围。解题技巧1.整体处理：先将根号下的式子视为一个整体，再分析使其≥0的条件。2.数形结合：对于复杂的代数式，可结合函数图象（如抛物线）直观判断其非负区间。例2．（25-26九年级上·山东日照·月考）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是．【变式2-1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是．【变式2-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）使有意义的的取值范围是．【变式2-3】（2025·宁夏银川·三模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为．类型三、根据二次根式有意义求值方法总结1.明确定义：根据“被开方数≥0”建立方程或不等式。2.解求范围：求解方程（组）或不等式（组），得到字母的取值或范围。解题技巧1.整体看待：将根号内整个式子看作一个整体，分析其非负条件。2.双向检验：将结果代回原式，确保二次根式有意义。例3．（25-26八年级上·全国·期末）若，则的值为．【变式3-1】（25-26九年级上·四川内江·期末）已知x，y均为实数，，则的值为；【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）若，则的平方根为．【变式3-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则．类型四、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式方法总结1.定符号：利用已知参数范围，确定被开方数中因式的正负。2.套公式：依据公式a2=|a解题技巧1.先拆后判：将被开方数化为完全平方形式，再逐个判断各部分的符号。2.数轴辅助：结合数轴直观分析参数范围对应的代数式符号，确保化简无误。例4．（25-26八年级上·北京顺义·月考）已知，化简．【变式4-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若，化简．【变式4-2】（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是．【变式4-3】（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为．类型五、含隐含条件的参数范围化简二次根式方法总结1.挖掘隐含：从已知等式、不等式或根式本身有意义出发，推导参数的隐含范围。2.定向化简：根据推导出的范围，确定被开方数中代数式的符号，再用a2=|a解题技巧1.由内而外：先分析根号内代数式的符号（利用因式分解、配方法等），再结合整体范围判断。2.特值检验：在化简后，取参数范围内特殊值代入原式与化简式，验证结果一致性。例5．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简．【变式5-1】（24-25八年级上·上海·月考）化简：．【变式5-2】（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式．【变式5-3】（25-26八年级上·上海·月考）化简：当时，．类型六、复杂的复合二次根式化简方法总结1.目标结构：将复合根式化为形如a+b±2.配凑常数：寻找两个数m、n，满足m+n为外层系数，m·n为内部常数，从而转化为m±解题技巧1.平方试探：令原式等于m±例6．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．如：；．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：．【变式6-1】（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料：小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索：设（其中x，y，m，n均为正整数），则有，∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：______，______；(2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值；(3)①填空：______；②化简：．【变式6-2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；．【类比归纳】(1)请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方；(2)请你仿照上面的方法化简：；【类比归纳】(3)若，其中，且，，均为正整数，求的值．【变式6-3】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，．例如：．或找，满足，，易知，，所以．(1)化简：；(2)计算：；(3)计算：．一、单选题1．（25-26九年级上·吉林四平·期末）若是二次根式，则的值不能是（）A． B．3.14 C． D．02．（24-25九年级上·四川巴中·月考）化简正确的是（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知为实数，则代数式的值为（

）A．0 B． C． D．无法确定4．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ）A． B． C． D．二、填空题6．（25-26八年级上·吉林长春·期末）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是．7．（25-26九年级上·四川内江·期中）若代数式有意义，则x的取值范围是．8．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，是实数，且满足，则的值为．9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是．10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法：①化简：，一共有4种不同的结果；②化简：，一共有4种不同的结果；③若，（n为正整数），则当时，．以上说法中正确的为（填序号即可）三、解答题11．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？(1)(2)(3)12．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简：(1)；(2)；(3)；(4)．13．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若实数，，满足关系式，求的平方根．14．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．15．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式．(1)当时，求的值．(2)若，都是正整数，求的最小值．16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）通过计算下列各式的值探究问题：(1)①___________；；②___________，探究：对于任意负有理数___________．综上，对于任意有理数___________．(2)应用（）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：．17．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程：；；；…(1)__________，__________．(2)利用这一规律计算：．(3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）．18．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：．（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：我们称这个过程为分母有理化．根据阅读材料解决下列问题：(1)化简“和谐二次根式”：①_____；②______．(2)求的值(3)设的小数部分为b，求证：综合训练一、选择题1.使得式子x4-x有意义的xA.x≥4 B.x>4 C.x≤4 D.x<42.设a>0,b>0,则下列运算错误的是()A.ab=a·b B.a+b=a+b C3.在二次根式:2xy,8,A.4 B.3 C.2 D.04.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式,下列各数27,118A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则化简(a-b)2-(b-a-A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-26.下列判断正确的是()A.32<3<2 B.2<C.1<5−3<2 D.4<37.化简4x2-4x+1-(A.2 B.-4x+4 C.-2 D.4x-48.化简37甲:37+2乙:37+2=对于他们的解法,正确的判断是()A.甲、乙的解法都正确 B.甲的解法正确,乙的解法不正确C.甲、乙的解法都不正确 D.甲的解法不正确,乙的解法正确二、填空题9.式子x,m2+10.观察并分析下列数据,寻找规律:0,2,2,6,22,10,23,…则第10个数据应是11.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示-2,设点B所表示的数为m,则(m-1)(m-3)的值是.

12.规定:a※b=ab-b2,则2※(2-1)的值是.

三、解答题13.化简(各式中字母均为正数):(1)a4+a2b14.计算:(1)(13)2+0.32−19; (2)(6−(3)(323-412+327)÷22; (4)(3+2-1)(15.当a=2+6,b=2-6时,求代数式a-b16.已知实数a,b,c满足(a-8)2+b-5+|c-32|=(1)求a,b,c的值;(2)试问以a,b,c为边长能否构成三角形?若能构成求出三角形周长;若不能构成三角形,请说明理由.17.小明在学习中遇到这样一道题:“已知实数x满足|5019-x|+x-5020=x,求x-50192的值”,他想了想说这道题一定出错了,这种题等号右边一定是0才能用其非负性构造方程求出x的值,这里等号右边不是0,无法求出x的值,更无法求出综合训练一、选择题1.D2.B3.C4.B5.A由数轴可知-3<a<-2,0<b<1,∴a-b<0,∴原式=b-a-b+a+2=2.6.A7.A由题意,得2x-3≥0,则2x-1>0.从而原式=|2x-1|-(2x-3)=2x-1-2x+3=2.8.A二、填空题9.m2+n2,11.1由题意,得m=2-2,∴(m-1)(m-3)=(2-2-1)×(2-2-3)=(1-2)×(-2-1)=(-2)2-12=2-1=1.12.42-52※(2-1)=2(2-1)-(2-1)2=22-2-(2-22+1)=22-2-3+22=42-5.三、解答题13.解(1)aa2(2)5ab23ab(3)mn14.解(1)原式=13+0.3-13=0(2)原式=6−22-26(3)原式=423-=-223+93÷(4)原式=[3+(2-1)][3-(2-1)]=(3)2-(2-1)2=3-(3-22)=22.15.解由题意知a+b=2+6+2-6=4,a-b=2+6-2+6=26,ab=(2+6)(2-6)=-2,a-=26+-82616.解(1)∵(a-8)2+b-5+|c-3