专题14 函数及函数的表示与图象的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题14函数及函数的表示与图象的五类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、函数的概念及图象识别类型二、函数的三种表示方法之列表法类型三、函数的三种表示方法之解析式类型四、函数的三种表示方法之图象法类型五、函数图象与几何图形综合问题压轴专练类型一、函数的概念及图象识别1.抓住函数的核心定义：判断两个变量是否构成函数关系，关键看自变量x每取一个值时，因变量y是否有唯一确定的值与之对应。图像识别时，可使用**“垂直于x轴的直线”**快速判断，若直线与图像只有一个交点，则是函数图像。2.学会从图像中读取信息：解题时，要能看懂横、纵轴代表的实际意义。关注图像上的关键点，如起点、终点、最高点、最低点以及与坐标轴的交点。这些点往往是解题的突破口。例1．（25-26八年级上·全国·假期作业）有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④．其中是的函数的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）下列各曲线中不能表示是的函数是（

）A．B．C．D．【变式1-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列关系中，不能表示是的函数的是（

）A． B．C． D．类型二、函数的三种表示方法之列表法1.读懂表格，明确变量：首先要看清楚表格的标题和列头，确定哪一列是自变量x，哪一列是因变量y。这是最基础也是最重要的一步。2.利用表格，查找对应值：题目经常会问，当x等于某个值时，y是多少，或者反过来。这时候你只需要在对应的列里找到那个数，然后横向或纵向找到它的“搭档”就行了。3.分析表格，发现规律：这是稍微进阶一点的技巧。通过观察表格中x和y的变化，可以尝试找出它们之间的函数关系。比如，看看y的变化量是不是和x的变化量成固定的倍数关系，从而判断它是不是一个一次函数。例2．（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下：时间/min12356水的高度/cm1.534.57.59下列描述不正确的是（

）A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量B．当时间为时，容器中水的高度为C．当容器中水的高度为时，对应的时间为D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的【变式2-1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系：x012345y101112下列说法不正确的是（

）A．y是x的函数，且x是自变量B．弹簧不挂重物时的长度为C．物体质量每增加，弹簧长度y增加D．所挂物体质量为时，弹簧长度为【变式2-2】（25-26七年级上·广东广州·期末）某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表：每天装订的本数需要的天数请回答以下问题：(1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）；(2)这批练习本一共有多少本？(3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系．【变式2-3】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下：运动时间0135891012151号车与货仓A的距离（单位：）0103080801002号车与货仓A的距离（单位：）101850748290130请根据以上信息和数据，解决下列问题：(1)表中___________，2号车的速度为___________；(2)求2号车与A货仓的距离为时的值．类型三、函数的三种表示方法之解析式1.

明确自变量和函数：在一个解析式里，比如

y=2x+1

，

x

是自变量，

y

是

x

的函数。要清楚哪个是“主动变化”的，哪个是“跟着变化”的。2.

求函数值或自变量：-已知x，求y：这是最基本的运算，直接把

x

的值代入解析式计算即可。-已知y，求x：这相当于解一个方程，把

y

的值代入，然后通过移项、合并同类项等步骤，求出

x

。3.

确定自变量的取值范围：这是解析式法里特别需要注意的一点。要确保解析式有意义，比如分母不能为零，开平方的被开方数不能是负数。在应用题中，还要考虑实际情况，比如人数不能是负数或小数。例3．（25-26七年级下·全国·周测）一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为．【变式3-1】（25-26七年级上·山东东营·月考）如图，一个楼梯有个台阶，每个台阶宽，高．设这个楼梯的竖直高度为，侧面宽度为，则与之间的表达式是．【变式3-2】（25-26七年级下·全国·周测）某城市为了加强公民的节气意识，按以下规定收取每月燃气费：所用天然气如果不超过，按每立方米0.8元收费；如果超过，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用了天然气，应交燃气费为元．(1)若小丽家某月用燃气量为，则小丽家该月应交燃气费多少元？(2)写出与之间的关系式；(3)若小丽家4月份的燃气费为88元，那么4月份小丽家用了多少立方米的天然气？(4)已知小丽家6月份的燃气费平均每立方米1元，那么6月份小丽家用了多少立方米的天然气？【变式3-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）综合与实践【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层．【相关素材】素材1：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系：购物车数量x/辆12345车身总长y/米1.01.21.41.61.8素材2：如图，该超市的扶梯斜坡米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．【问题解决】(1)根据表格可知，购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的关系式为___________；(2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．类型四、函数的三种表示方法之图象法1.看懂坐标轴，理解横纵含义：拿到图像，第一件事就是看清楚横轴（x轴）和纵轴（y轴）分别代表什么。这直接关系到你能否正确理解图像所表达的实际意义。2.掌握“找点读坐标”的方法：这是最核心的技能。想知道某个自变量x对应的函数值y，就在x轴上找到这个点，然后过这点作x轴的垂线，与图像的交点的纵坐标就是y值。反过来求x值也是一样的道理。3.关注图像上的关键信息：图像的起点、终点、最高点、最低点，以及它与坐标轴的交点，这些都是解题的“题眼”。另外，图像是上升的还是下降的，也反映了函数值是随自变量增大而增大还是减小。例4．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（

）A．B．C．D．【变式4-1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择与之相近的情境，正确的顺序是（

）篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系A． B． C． D．【变式4-2】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图．(1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？(2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况．【变式4-3】（24-25七年级下·江西鹰潭·期末）【问题情境】我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对游乐园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟．【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（x）的数据，并绘制图象如图①．【问题研究】请根据图①中信息回答：（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；（2）摩天轮最高点距地面________米，摩天轮的直径是________米；【问题解决】（3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A匀速旋转到点B需5分钟，求的度数．类型五、函数图象与几何图形综合问题方法总结1.数形结合：将几何图形中的点、线关系转化为函数解析式或方程，利用函数图象分析交点、范围等。2.坐标转化：设几何图形中关键点坐标，用函数表示，根据几何条件（如距离、面积）建立方程求解。解题技巧1.巧设参数：设动点坐标为含参数的函数表达式，代入几何条件列方程。2.分类讨论：根据图形位置变化（如点在线上、形内）分情况讨论，避免漏解。例5．（25-26九年级下·河南许昌·月考）如图，中，点P从点C出发，匀速沿向点A运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图1，正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为x，，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（）A．B．图2中C．图2中D．当点E运动到中点时，【变式5-2】（2026·浙江·模拟预测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图像如图所示．下列选项正确的是（

）A．正方形的对角线长为 B．当时，重叠面积C．当时，重叠面积 D．函数图像的最高点的坐标为【变式5-3】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图①，在长方形中，动点R从点N出发，沿着方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（

）A．当时， B．当时，C． D．长方形的周长是22一、单选题1．（25-26八年级下·河南周口·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（

）A．B．C．D．2．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，，一动点P从点A出发，沿的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（

）A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，点P从菱形的边上的一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点C停止．设点P运动的路程为x，点P到的距离为m，到的距离为n，且（当点P与点C重合时，），点P运动时，y随x的变化关系如图②所示，则菱形的面积为（

）A． B． C．10 D．65．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（

）A． B． C． D．6．（2026·河南周口·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器．其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器(如图①中的)，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化(如图②)，空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图③．下列说法不正确的是（

）A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小B．当时，的阻值小于C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态D．当时，燃气报警器为报警状态二、填空题7．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______．8．（25-26八年级上·全国·课后作业）连翘茶是山西药茶的典型代表，历史悠久，主产于平定冠山．泡茶时，水温很有讲究，连翘茶的冲泡温度一般建议在，为了冲泡出来的茶口感更佳，徽徽同学在煮茶时记录了水温（单位：）随时间（单位：）变化的数据，如表：时间0246水温18345066若水温的变化是均匀的，则每分钟水温增加______．9．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________．10．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为，与之间的函数关系如图2所示，则________．11．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）如图①，点分别从正方形的顶点同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点同时停止运动．图②是点运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为_____．12．（25-26九年级上·湖北黄石·月考）如图1，在中，动点从点出发，沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为的高．图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点．（1）___________；（2）点的坐标为___________．三、解答题13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题：(1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？(2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？14．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中：(1)气温是不是时间t（时）的函数？(2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？(3)什么时候的气温处于上升趋势？(4)什么时候的气温是？15．（25-26八年级上·山西晋中·期中）寒假期间，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，具体为：办理会员，每次健身费用按照八折计算．健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系如图所示，其中会员的健身费用为元，非会员的健身费用为元．(1)办理会员的费用为多少元？会员每次健身的费用为多少元？(2)请直接写出会员和非会员健身费用（元）与健身次数（次）之间的函数关系式；(3)八年级学生小明计划寒假前往该俱乐部健身8次，要使花费最少，是否应该办理会员？请说明理由．16．（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为．(1)将表格补充完整．纸的张数1234…10…纸条的长度40116154……(2)设张纸粘合后的纸条长为．①与之间的关系式为；②将50张纸粘合后的纸条长为；③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？纸的张数1234…10…纸条的长度40116154……17．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题：(1)，，．(2)当的面积为15时，求出t的值．(3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值．18．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图1，在长方形中，，E为边中点．动点从点开始，以的速度沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)_____cm；(2)当时，求的值；(3)求当的面积为时的值；(4)如图3，当点从点出发时，动点同时以的速度从点出发，沿边运动，当点运动到点时，、两点停止运动．当为何值时，与全等，求出的值．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小强从文具店回家用了100-65=35(min),故D选项正确.故选B.二、填空题9.(0,-1)10.-211.答案不唯一,如y