变换及频率域设计

变换及频率域设计●根轨迹法：类似的定义和绘制规则。零极点分布分析、设计（试凑，极点配置）。

Z平面绘制。极点密集度高。

S域Z域域（虚拟频率，可用伯德图优点设计）※间接方法：离散化有失真，采样周期需选择小。※直接方法：避免离散化误差，采样周期不必选得太小（给定采样频率后进行设计）。●频率法：是连续系统设计常用和有效的一种方法（典型环节、伯德图）●●最少拍设计

w’变换及频率域设计（1）定义双线性变换；形式类似突斯汀（但不同）※突斯汀变换：对于广义G(s)设计D(s)，再对D(s)进行离散化（突斯汀变换）。※变换：对G(s)进行Z变换得到G(z)，进行变换得到G()，在域设计D(),

再进行反变换得到D(z)。1W′变换（2）映射关系Z平面与平面映射关系域虚拟频率与S域频率关系起点S域Z域域（复变量）映射域虚拟频率与S域频率关系起点S域Z域域（复变量）s域和z域的频率都用ω来表示，是系统的真实频率，变换至w'域后得到的频率为虚拟频率，以ν表示。●两步映射：S域到Z域；

Z域到域；（Z平面单位圆一对一映射到平面的整个左半平面）映射图中①图中④图中②图中③分析复杂(3)w'域传递函数与z传递函数的关系结论：如果(n+k)>m，则变换后分子填加有新的零点w'传递函数是w'的有理分式函数，故G(jv)是虚拟频率v的有理分式函数。

分子分母一般是同阶的。变换前后稳态增益不变。(4)s域和w‘域传递函数的关系当采样周期T减小时，复变量w‘近似等于复变量s；

传递函数G(s)与G(w‘)的相似性；G(s)与G(w‘)稳态增益维持不变。若a=5，T=0.1s，则有因为带ZOH的z变换与双线性变换都能维持稳态增益的不变。说明●两步映射：S域到Z域；Z域到域；（Z平面单位圆一对一映射到平面的整个左半平面）●S和的传递函数是各自复变量s和的有理函数。（S平面的稳定性判别方法均适用于平面分析）（S平面的频率设计等方法均适用于平面分析）●系统工作在低频段且采样频率高时，●采样周期无限小时，复变量（逻彼塔法则）●S域传递函数和域传递函数具有相似性（下例）●稳态增益不变作带ZOH的Z变换，能保持G(s)和G(z)的稳态增益不变；作双线性变换，能维持G(z)和的稳态增益不变；因为sz:主带对应，付带重叠，s

w‘多对一2w‘域设计法（步骤）(1)给定连续被控对象G(s)，求出Z域的广义对象的脉冲传递函数G(z)(2)将G(z)变换到w’平面上(3)在w'平面设计控制器D(w‘)由于平面和s平面的相似性，s平面上的设计技术，如频率法、根轨迹法等均可应用到w'平面。(4)进行w'反变换，求得z域控制器D(z)(5)检验z域闭环系统的品质(6)D(z)控制器在计算机上编程实现。3设计举例—天线转角计算机伺服控制系统w'域设计系统设计指标（设采样周期T=0.1s）超调量σ%=15%；相位稳定裕度γm≥50o，幅值稳定裕度Lh≥6dB

-调节时间ts≤1s；-静态速度误差Kv≥5(1)求被控对象传递函数(2)在w'域设计数字控制器

系统开环放大系数设计数字控制器D(w‘)设计w'平面的开环传递函数在w'域检查开环稳定裕度要求先取满足指标要求，但截止频率较低。幅值裕度相位裕度数字控制器D(w‘)设计时域响应特性检查Simulink仿真结果超调量大于给定要求，调节时间虽满足要求，但余量不大。

闭环单位阶跃响应结论：不能满足要求，故需进一步设计动态控制器，其目的是在保证稳定裕度的条件下，进一步增大开环截止频率。

数字控制器D(w‘)设计为了实现提高截止频率的目的，在正向通道引入超前-迟后环节是合适的。利用连续系统控制理论方法，依据开环频率响应的特点，通过试凑，可以确定超前-迟后环节的分子及分母的时间常数和增益。通过2~3次修正，最后取

在w‘域检查开环稳定裕度要求满足要求注意上述两个频率均为虚拟频率。(3)获取z平面的控制器D(z)进行w'反变换控制器的稳态增益静态设计时要求故最终z平面的控制器D(z)应增大稳态增益1.25倍：

(4)闭环系统仿真系统单位阶跃响应

系统单位斜坡响应

系统无超调，调节时间小于0.6s。

稳态误差：均满足要求。最少拍控制器设计在数字随动系统中，通常要求系统输出能够尽快地、准确地跟踪给定值变化，最少拍控制就是适应这种要求的一种直接离散化设计法。在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。所谓最少拍控制，就是要求设计的数字调节器能使闭环系统在典型输入作用下，经过最少拍数达到输出无静差。显然这种系统对闭环脉冲传递函数的性能要求是快速性和准确性。实质上最少拍控制是时间最优控制，系统的性能指标是调节时间最短（或尽可能地短）。最少拍控制器设计首先可得到误差脉冲传递函数由误差表达式实现无静差、最小拍，应在最短时间内趋近于零，即E(z)应为有限项多项式。因此，在输入R(z)一定的情况下，必须对GE(z)提出要求。典型输入的Z变换具有如下形式：⑴单位阶跃输入

⑵单位速度输入⑶单位加速度输入可得出调节器输入共同的z变换形式其中A(z)是不含有(1-z-1)因子的z-1的多项式，根据终值定理，系统的稳态误差要使稳态误差为零，Ge(z)中必须含有(1-z-1)因子，且其幂次不能低于mF(z)是关于z-1的有限多项式。为实现最少拍，要求Ge(z)中关于z-1的幂次尽可能低，令M=m,F(z)=1，则所得Ge(z)即可满足准确性，又可快速性要求，这样就有典型输入下的最少拍控制系统分析单位阶跃输入e(0)=1，e(T)=e(2T)=···=0，这说明开始一个采样点上有偏差，一个采样周期后，系统在采样点上不在有偏差，这时过度过程为一拍。单位速度输入时e(0)=0，e(T)=T，e(2T)=e(3T)=···=0，这说明经过两拍后，偏差采样值达到并保持为零，过渡过程为两拍。e(0)=0,e(T)=e(2T)=T2/2,e(3T)=e(4T)=···=0，这说明经过三拍后，输出序列不会再有偏差。过渡过程为三拍。单位加速度输入例计算机控制系统如图所示，对象的传递函数采样周期T=0.5s,系统输入为单位速度函数，试设计有限拍调节器D(z).D(z)

H0(s)G(s)E(z)U(z)R(s)G(z)TTTTy(s)Y(z)解：广义对象传递函数为由于r(t)=t,求控制器的脉冲传递函数由此可见，当K≥2以后，误差经过两拍达到并保持为零。上式中各项系数，即为y(t)在各个采样时刻的数值。检验：

输出响应曲线如图所示,当系统为单位速度输入时，经过两拍以后，输出量完全等于输入采样值，即y(kT)=r(kT)。

但在各采样点之间还存在着一定的误差，即存在着一定的波纹。单位速度输入输入为单位阶跃函数时，系统输出序列的Z变换输出序列为输入为单位加速度时，输出量的Z变换为输出序列为(a)单位阶跃输入(b)单位速度输入(c)单位加速度输入按单位速度输入设计的最小拍系统，当为单位阶跃输入时，有100%的超调量，加速度输入时有静差。由上述分析可知，按照某种典型输入设计的最小拍系统，当输入函数改变时，输出响应不理想，说明最小拍系统对输入信号的变化适应性较差。最少拍控制器设计的限制条件必须考虑如下几个问题：稳定性准确性快速性物理可实现性必须考虑以下几个条件：⑴为实现无静差调节，选择Ge(z)时，必须针对不同的输入选择不同的形式，通式为⑵为保证系统的稳定性，Ge(z)的零点应包含G(z)的所有不稳定极点；⑶为保证控制器D(z)物理上的可实现性，G(z)的所有不稳定零点和滞后因子均应包含在闭环脉冲传递函数中；⑷为实现最小拍控制，F(z)应尽可能简单，F(z)的选择要满足恒等式采样周期T=1s，试针对单位速度输入函数设计有限拍有纹波系统，并画处数字控制器和系统输出波形。例设有限拍系统图与前例相同a.控制器输出b.系统输出

控制量在一拍后并未进入稳态，而是在不停地波动，从而使连续部分的输出在采样点之间存在纹波纹波产生的原因消除纹波的附加条件使

包含G(z)圆内的零点，就是消除消除纹波的附加条件，也是有纹波和无纹波设计的唯一区别。确定最少拍（有限拍）无纹波的方法如下：1）先按有纹波设计方法确定2）再按无纹波附加条件确定例

已知条件如前例所示，试设计无纹波D(Z)并检查U(Z).作业1）推导出数字PID标准位置式；2）写出任一种改进PID算法的思路。3）P461题5-1。4）写出修正突斯汀变换的步骤；5）写出W'域设计法的步骤；第5章内容结束！

相似性说明例带ZOH广义脉冲传递函数（逻彼塔法则）（参看P130中表）若a=5，T=0.1，则有相近；多零点域设计1）步骤※离散域设计之一①被控对象G(s)，求出广义对象的脉冲传递函数②将G(z)变换到平面③在平面设计控制器由于平面和S平面相似性，S平面上的设计技术，均可应用过来。④进行反变换，求得Z域控制器⑤检验Z域闭环系统的品质⑥D(z)控制器编程实现常用一、二阶串联矫正装置※与突斯汀变换区别滞后-超前控制器一阶超前控制器一阶滞后控制器2）设计举例①求出广义对象的脉冲传递函数②将G(z)变换到平面设计数字控制器，满足如下性能指标：●在最大指令速度为180º/s时，稳态误差不超过1º；●相角稳定裕度；●截止频率（剪切频率）；●采样周期T=0.1s；※比较G(s)和（已满足要求）③在平面设计控制器●考虑静态指标：●截止频率换算：（：虚拟截止频率）●在域画