三年级奥数-乘除巧算（剖析版）

第13讲乘除巧算

教学目标

于熟练运用运算律进行简便运算

?建立简算意识，培养数感，提高心算和运算速度.

知识梳理

本节课主要学习乘、除法的速算与巧算.耍求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据

乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，

解决相关问题.

一、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘,

使得运算简便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111(去8数，重点记忆)

7x11x13=1001(三个常用质数的乘积，重点记忆)

理论依据：乘法交换率：axb=bxa

乘法结合率：(axb)xc=ax(bxc)

乘法分配率：(a+b)xc=axc+bxc

积不变规律：axb=(axc)x(b-c)=(a：c)x(bxc)

二、乘、除法混合运算的性质

⑴商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变.即：

a+力=(ax〃)+(6x〃)=(a+"?)+(b+ni)〃[=0,〃。0

⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变.即：+c=a+8

⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置(即带着符

号搬家).例如：axb+c=a+cxb=b+cxa

⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“X”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变.即

ax(bxc)=axbxcax(h+c)=axb+c

②括号前是时,去括号后,括号内的“x”变为".，，变为“x”.即

a+(bxc)=a+b+ca+(b+c)=a+bxc

添加括号情形：加括号时，括号前是“x”时，原符号不变;括号前是时，原符号“X”变为

，，.，，，，，・，，变为，，X，，.即""c="Sx。axb-i-c=ax(b-i-c)

”/7+c=a+Sxc)a+/?xc=a+(h+c)

⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘.即

(axb)+(cxd)=(a+c)x(b+d)=(a+d)x(b+c)

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形.

典例分析

考点一：乘5、15、25、125

例1、下面这些题你会算吗？

(1)125x(40+8)

(2)(KK)-4)x25

［解析］(1)125x(40+8)=125x40+125x8=5000+1000=6000

(2)(!(X)-4)x25=l(X)x25-4x25=2500-100=24(X)

例2、你知道下题怎样快速的计算吗？

786x5

【解析】786x5=786x(5x2)+2=7860+2=3930或786x5=393x2x5=393x10=3930

例3、聪明的你也来试试吧！

(1)24x15(2)84x75(3)39x75(4)56x625

【解析】(1)24x15=(24+244-2)x10=(24+12)x10=360

(2)84x75=(21x4)x(25x3)=(21x3)x(4x25)=63x100=6300

(3)39x75=(40-1)x75=40x75-1x75=3000-75=2925

(4)56x625=(7x8)x(125x5)=(7x5)x(8x125)=35x1000=35000

例4、计算：45000+(25x90)=

【解析】450(H)+(25x90)=450()0+(50x45)=45000+5()+45=1(XX)+50=2()

考点二：乘9、99、999

例1、下面各题怎样算简便呢？

(1)12x9(2)12x99(3)12x999

【解析】(1)利用公式，可以得出结果：12x9=120-12=108;

(2)12x99=1200-12=1188,此题也可用小技巧:

“去1添补''法，"补''就是"补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.

注意：只适用于“两位数乘99”.

12X99=H88

12去1是II12的补数是88

(1)12x999=12000-12=11988,

此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法.

注意：只适用于“两位数乘999”.

12x999=d_!988

12去1是11中间隔912的补数是88

例2、小朋友，相信你一定能行噢.

(1)62x97(2)123x998(3)626x997(4)1234x9998

【解析】因为97,998分别比100,1000小3、2,利用乘法分配律可得

(1)原式=62x(100—3)=6200—186=6014

(2)原式=123x(1000-2)=123x1000-123x2=123000-246=122754

⑶原式二626x(1000-3)=626000-1878=624122

(4)原式=1234x(10000-2)=1234x10000-1234x2=12340000-2468=12337532

例3、计算：333333x333333

【解析】原式=3x111111x3x111111

2456

x11

2456

/\2456

2456

2701627016

这是因为：

所以27016为结果.

例2、请你根据“乘法的凑整”思路，推算下列各题.

356x100223x1030

【解析】(1)原式=356x(1000+2)=3560CX)+356x2=356(XX)-712=356712

⑵原式二23x(1000+3。)=23000+690=23690

例3、计算:2007-7x11x13x2

【解析】原式=2007-(7x11x13)x2

=2007-1001x2

=2007-2002=5

考点四：其它乘法

例1、试着用一点技巧吧.

(1)295x295(1)705x705

【解析】(1)295x295=29x(29-1)x100+25=87000+25=87025

(l)705x705=70x(70+1)x100+25=497000+25=497025

例2、5x7x22x39x49=.

【解析】JMS；=5x7x2xllx3xl3x7x7=(5x2)x(7xllxl3)x(3x7x7)

=10xl001xl47=10x147147=1471470

例3、用简便方法计算下面的算式：

(1)72x78

(2)71x79

(3)78x38

(4)43＞：63.

【解析】直接套用速算法：

(1)原式=7x(7+DxlC0+2x8=5616;

(2)原式=7x(7+DxlC0+lx9=5609

(注意：我们在实际计算中不会这样详细列出式子，学生容易将答案错写成569.互补数

如果

是〃位数，则应占乘积的后2〃位，不足的位补“(F)；

(3)原式=(7x3+8)x100+8x8=2964；

(4)原式=4x6+3)x100+3x3=2709.

例4、计算：35\993\2OO92.

【解析】352=G5+5)x35-5)+52=1225

9932=(993+7)x(993-7)+72=986()00+49=986049

20092=(2009+9)x(2039-9)+92=4036081

考点五：除法

例1、小朋友们，下面的计算方法可要听仔细啦.

(1)(81+72)4-9

(2)(2046-1069-735)-3

⑶291+50+9+50

(4)225+9+5

【解析】不同的算式有不同的特点，要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,

观察每个算式的特点，选择不同的定律进行计算.

⑴我们一眼就可以看出81・9=9,72+9=8，所以运用除法的分配律可以简便运算.

(81+72)4-9=814-9+724-9=9+8=17

(2)括号里三个数都很大，运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.

(2046—1059—735)+3=2046+3—1059+3—735+3=682—353—245=84

(3)291和9都不是50的倍数，但是它们的和却是50的倍数，运用除法分配律的逆运算，

291+50+9+50=(291+9)+50=300+50=6

(4)这是一个连除，225+9计算起来会比较复杂，但是225+5相比较就会简单一些，根据连

除的性质：交换除数的位置，商不变，得到比较简便的运算：

225・9+5=225+5+9=45+9=5.

例2、计算的方法很重要，我们要仔细听啦。

(1)(130+65)-13(2)(2046-1069-735)4-3

(3)981+50+19+50(4)2275+13+5

【解析】(1)我们一眼就可以看出130+13=10,65+13=5、所以运用除法的分配律可以简便运算.

(130+65)+13=130+13+65+13=10+5=15

(2)括号里三个数都很大，运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.

(2046—1059—735)+3=2046+3-1059+3-735+3=682-353-245=84

(3)981和19都不是50的倍数，但是它们的和却是50的倍数，运用除法分配律的逆运算

981+50+19+50=(981+19)+50=1000+50=20

(4)2275・13计算起来会比较复杂，但是2275+5相比较就会简单一些，根据连除的性质：

交换除数的位置，商不变，得到比较简便的运算：

2275X3+5=2275+5+13=455+13=35.

考点六：乘除混合

例1、聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧.

⑴136x5+8

(2)2560-(10-4)

(3)527x15-5

【解析】根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质，根据算式不同的特征选择不同的性质

进行巧算，可以减少计算时间并大大提高正确率，不信你就试试吧！

(1)利用带着符号搬家，axb+c="cxb=b+cxa,136x5+8=136+8x5=17x5=85;

(2)利用去括号的性质，=2560+(10+4)=2560+10x4=1024；

(3)利用添括号的，性质，"b+c=aK(b+c),527＞：15-h5=527x(15-J-5)=527x3=1581；

例2、999999999x888888888+1333333332

【解析】通过观察算式中的3个数字可以看出，它们都与111111111有关，前讷个数很容易看出，

第三个数1333333332=2x666666666=2x6x111111111，所以有：

原式=9x11111111lx8x111111111+(2x666666666)

=9x8x111111111x111111111-24-64-111111111

=111111111x6=666666666

例3、东东参加智力竞猜，有道计算题他暂时算不出来，于是选择了求助场外朋友.这道题是:

1+(2+3)+(3+4)+(4+5)+(5+6)等于多少？如果你是东东的朋友，你能帮东东解出来吗？

【解析】根据乘除混合运算中去括号的性质：a-a+bxc

1+(2+3)+(3+4)+(4+5)+(5+6)

=1+2x3+3x4+4x5+5x6

=14-2x6

=1x(64-2)

=3

例4、(2x3x5x7x11x13x17x19)4-08x51x65x77)

【解析】这道题中被除数以8个因数相乘形式出现，除数以4个因数相乘形式出现，仔细观察,

可以发现被除数中的8个因数可通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数

相等,即2x19=38,3x17=51,5x13=65,7x11=77,所以,这道题的计算就十分简单了.

原式=(2xl9)x(3xl7)x(5x13)x(7x11)-(38x51x65x77)

=38x51x65x774-(38x51x65x77)

=1

实战演练

＞课堂狙击

1.为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能

做到吗？

19x25x64x125

【解析】把64分成4x8x2,月乘法结合律便可速算.

原式=(25x4)x(l25x8)x(19x2)

=100x1000x38=3800000

2..下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

26x25

【解析】26不能被4整除，但26可以拆成6x4+2,这样26x25,可转化为6x4x25再加上2x25,

这样就可速算了.

原式=(6x4+2)x25

=6x4x25+2x25

=600+50

=650

3.计算：5x64x25x125x2009.

【解析】把64拆成2x4x8,然后配方.

原式=5x(2x4x8)x25x125x2009

=(5x2)x(25x4)x(125x8)x2009

=10x100x1000x2009

=2009000000

4.请快速计算下面各题.

(1)2004x25(2)125x792

【解析】⑴2004x25=(2000+4)x25=2000x25+4x25=50100

(2)125x792=125x(800-8)=125x800-125x8=l(XX)xl(X)-|(XX)=10(X)x(10()-1)=99000

5.计算：8x13x125=

【解析】根据乘法凑整原则8x13x125=8x125x13=1000x13=13000

6.计算：125x16-111x9=.

【解析】根据乘法凑整原则整理为

125x16-111x9

=125x8x2-999

=2000-(1000-1)

=2000-1000+1

=1001

7.算式12345678987654321x63值的各位数字之和为多少。

［解析］12345678987654321x63=111111111x111111111x7x9

=777777777x999999999=777777777x(1000000000-1)

=777777777000000000-777777777=777777776222222223,

所以它的各位数字之和为7x8+6+2x8+3=81。

8.我们快来做做吧？

(1)123x9(2)234x99(3)256x9999

【解析】利用公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数x9,在该数后添0,再

减此数；一个数X99,在该数后添00,再减此数；一个数X999,在该数后添000,再减此数……

(1)123x9=1230-123=1107

(2)234x99=234x1(X)-234=23166

(3)256x9999=2560000-256=2559744

9.计算：1999+999x999

【解析】方法一：1999+999乂的9=1000+999+999x999

=l(W+999x1(X)0=1001)x(999+1)=1000000.

方法二：1999+999x999=1999+999x(1000-1)=1999+999000-999

=(1999-999)+999000=1000000.

10.两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数？

【解析】方法一：I111111111x9999999999

=1111111111x(10000000000—1)

=11111111110000000000-1111111111

=11111111108888888889

有10个数为奇数.

方法二：1x9=9奇数的个数为1

11x99=1089奇数的个数为2

111x999=110889奇数的个数为3

1111x9999=11108889奇数的个数为4

I111111111x9999999999=11111111108888888889

显然其奇数的个数为10.

11.你会应用计算性质吗？

(1)123x15-5；(2)125x16-25

(3)56004-(25x7)(4)450+54x6

【解析】(1)利用“添括号”的性质，123x15+5=123x(15+5)=123x3=369

(2)利用“带着符号搬家“可以简便运算，125x16+25=125+25x16=5x16=80

(3)利用“去括号”以及“带着符号搬家”可以简便运算，

5600+(25x7)=5600+25+7=(5600+7)+25=800+25=32

(4)利用“添括号”的性质，450子54x6=450+(54+6)=450+9=50

12,十算.5+C7+lD+(ll+15)+(15+2D

【解析】原式=5子7x11+11x15+15x21

=5x(U-rll)x(15-i-15)x(2U7)

=5x3

=15

＞课后反击

1.计算：125x32x25

【解析】由数字“125,25”及符号“连乘”的特征,可以想到“8,4”，结合上章所学,因为他们

的乘积是整千、整百数。而32=4x8,所以，可以将一个乘数“32”拆成需要的几个因数。

即：125x32x25=125x8x4x25

=(125x8)x(25x4)

=1000x100

=100000

2.计算：1200+25-4

【解析】观察题目发现有两个显著的特征：一是连除；二是25和4的积是100所以我们有两

种方法：

解法一：可以用25去除以被除数1200,也可以先用4除以被除数1200,

即1200:25:4

=48+4

=12

或120094:25=300-25=12

解法二：一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个数的积

原式=1200*25x4)

=12004-100

=12

3.计算：127+13:532:3—20:3

【解析】观察题目的数字特征，根据四则运算法则直接计算较困难，但各题中，除数数字都相

同，因而：

12：5+13：5=(12+13)+5=5

32・3—20：3=(32-20)-3=4

技巧：两个商的和(或差)，在除数相同的情况下，可以先算两个被除数的和(或差)，再除

以除数。用字母表示：a-rc+b^-c—(a+b)4-ca-rc-b4-c—(a-b)-rc

4.计算:120x80・60

【解析】观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时，可以先算：60,再算X40,

就像是“带着符号搬家“因而：

120x80-60=120-60x80=2x80=160

技巧：四则元算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”(符号在前，数字在后)。

5.计算：25X0x4

【解析】观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时，可以先第25X()的商是2.5,

在现在所学的知识还远远不能解决，再算x4,特别麻烦。我们可以“带着符号搬家”

因而：25:10x4=25x4:10=10070=10

技巧：四则运算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”(符号在前，