初中数学 二次函数小结与复习

第26章《二次函数》小结与复习（1）教学目标：理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。重点难点：1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。2．难点：二次函数图象的平移。教学过程：一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2(a≠0)的图象性质。例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。教师精析点评，二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。(1)使是关于x的二次函数，则m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0，(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。强化练习；已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。教师归纳点评：(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋eq\f(b,2a))2＋eq\f(4ac－b2,4a)(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳；投影展示：强化练习：(1)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。(2)通过配方，求抛物线y＝eq\f(1,2)x2－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。3．知识点串联，综合应用。例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可确定k、b，抛物线y＝ax2过点B(1，1)，代人可确定a。求得：直线解析式为y＝－x＋2，抛物线解析式为y＝x2。(2)由y＝－x＋2与y＝x2，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(－2，4)，S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。∵S△AOD＝S△OBC，且OA＝2∴D的纵坐标为3又∵D在抛物线y＝x2上，∴x2＝3，即x＝±eq\r(3)∴D(－eq\r(3)，3)或(eq\r(3)，3)强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。二、课堂小结1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。2。投影：完成下表：三、作业：作业优化设计一、填空。1．若二次函数y＝(m＋1)x2＋m2－2m－3的图象经过原点，则m＝______。2．函数y＝3x2与直线y＝kx＋3的交点为(2，b)，则k＝______，b＝______。3．抛物线y＝－eq\f(1,3)(x－1)2＋2可以由抛物线y＝－eq\f(1,3)x2向______方向平移______个单位，再向______方向平移______个单位得到。4．用配方法把y＝－eq\f(1,2)x2＋x－eq\f(5,2)化为y＝a(x－h)2＋k的形式为y＝__________________，其开口方向______，对称轴为______，顶点坐标为______。二、选择。1．函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是()A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠nC.m、n是常数，且n≠0 D.m、n可以为任意实数2．直线y＝mx＋1与抛物线y＝2x2－8x＋k＋8相交于点(3，4)，则m、k值为()A．eq\b\lc\{(\a\al(m＝1,k＝3)) B．eq\b\lc\{(\a\al(m＝－1,k＝2)) C.eq\b\lc\{(\a\al(m＝1,k＝2)) D.eq\b\lc\{(\a\al(m＝2,k＝1))3．下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象是()三、解答题1．函数(1)当a取什么值时，它为二次函数。(2)当a取什么值时，它为一次函数。2．已知抛物线y＝eq\f(1,4)x2和直线y＝ax＋1(1)求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同舶交点。(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线与直线的两个交点，P为线段AB的中点，且点P的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)，试用a表示点P的纵坐标。(3)函数A、B两点的距离d＝eq\r(1＋a2)|x1－x2|，试用a表示d。(4)过点C(0，－1)作直线l平行于x轴，试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由。第26章《二次函数》小结与复习（2）教学目标：会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。重点难点：重点；用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。难点：会运用二次函数知识解决有关综合问题。教学过程：一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式。学生活动：学生小组讨论，题目中的四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。教师归纳：(1)求抛物线解析式，只要求出A、B，C三点坐标即可，设y＝x2－2x－3。(2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，－4)。(3)由|0B|＝|OC|＝3又OM⊥BC。所以，OM平分∠BOC设M(x，－x)代入y＝x2－2x－3解得x＝eq\f(1±\r(13),2)因为M在第四象限：∴M(eq\f(1＋\r(13),2)，eq\f(1－\r(13),2))题后反思：此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求M点坐标时应考虑M点所在象限的符号特征，抓住点M在抛物线上，从而可求M的求标。强化练习；已知二次函数y＝2x2－(m＋1)x＋m－1。(1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。(2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。(3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。三、课堂小结1．投影：让学生完成下表：2．归纳二次函数三种解析式的实际应用。3．强调二次函数与方程、圆、三角形，三角函数等知识综合的综合题解题思路。四、作业：课后反思：本节课重点是用待定系数法求函数解析式，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式；要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质。对于二次函数与其他知识的综合应用，关键要让学生掌握解题思路，把握题型，能利用数形结合思想进行分析，从而把握解题的突破口。课时作业优化设计一、填空。1.如果一条抛物线的形状与y＝－eq\f(1,3)x2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，则它的解析式是_____。2．开口向上的抛物线y＝a(x＋2)(x－8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a＝_____。3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且过(3，0)，则a＋b＋c＝______。二、选择。1．如图(1)，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a＞0，bc＞0B.a＜0，bc＜0C.a＞O，bc＜OD.a＜0，bc＞0 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图(2)所示，那么函数解析式为()A．y＝－x2＋2x＋3B.y＝x2－2x－3C．y＝－x2－2x＋3D.y＝－x2－2x－33．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为()A．a＋cB.a－cC．－cD.c4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图(3)所示，下列结论中：①abc＞0，②b＝2a；③a＋b＋c＜0，④a－b＋c＞0，正确的个数是()A．4个B．3个C.2个D．1个三、解答题。已知抛物线y＝x2－(2m－1)x＋m2－m－2。(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB，以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)(3)设△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。第26章《二次函数》小结与复习（3）教学目标：1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。重点难点：重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。教学过程：一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－eq\f(1,50)(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－eq\f(49,50)(50－x)2＋eq\f(194,5)(50－x)＋308万元。(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－eq\f(1,50)(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P＝－eq\f(1,50)(25－30)2＋10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。则由Q＝－eq\f(49,50)(50－x)＋eq\f(194,5)(50－x)＋308知，将余下的(50－x万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润；则后5年的利润是：M3＝[－eq\f(1,50)(x－30)2＋10]×5＋(－eq\f(49,50)x2＋eq\f(194,5)x＋308)×5＝－5(x－20)2＋3500故当x＝20时，M3取得最大值为3500万元。∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元(3)因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值。强化练习：某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y＝kx＋b的关系，如图所示。(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式，(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?分析：(1)由图象知直线y＝kx＋b过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式为y＝－x＋1000(2)由毛利润S＝销售总价－成本总价，可得S与x的关系式。S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500＜x＜800)所以，当销售定价定为750元时，获最大利润为62500元。此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为250件。2．最大面积是多少问题。例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。(1)求出S与x之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)(参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②eq\r(5)≈2.236)学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。教师精析：(1)由矩形面积公式易得出S＝x·(6－x)＝－x2＋6x(2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。由S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，知当x＝3时，即此矩形为边长为3的正方形时，矩形面积最大，为9m2，因而相应的广告费也最多：为9×1000＝9000元。(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。设设计的黄金矩形的长为x米，则宽为(6－x)米。则有x2＝6·(6－x)解得x1＝－3－3eq\r(5)(不合题意，舍去)，x2＝－3＋3eq\r(5)。即设计的矩形的长为(3eq\r(5)，3)米，宽为(9－3eq\r(5))米时，矩形为黄金矩形。此时广告费用约为：1000(3eq\r(5)－3)(9－3eq\r(5))≈8498(元)二、课堂小结：让学生谈谈．通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。三、作业：P28，复习题C组13～15题。课后反思：二次函数的应用综合体现了二次函数性质的应用，同时，这类综合题与其他学过的知识有着密切的联系，最大利润问题，最大面积问题是实际生活中常见的问题，综合性强，解题的关键在于如何建立恰当的二次函数模型，建立正确的函数关系式，这一点应让学生有深刻的体会。第三课时作业优化设计1．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y＝－eq\f(1,10)x2＋eq\f(3,5)x＋1，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。(1)试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式．(2)如果投入广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增次?(3)在(2)中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少?2．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a＝10米)。(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由．初三数学二次函数知识精讲一.本周教学内容：二次函数［学习目标］1.掌握二次函数的概念，形如的函数，叫做二次函数，定义域。特别地，时，是二次函数特例。2.能由实际问题确定函数解析式和自变量取值范围，明确它有三个待定系数a，b，c，，需三个相等关系，才可解。3.二次函数解析式有三种：（1）一般式（2）顶点式；顶点（3）双根式；是图象与x轴交点坐标。4.二次函数图象：抛物线分布象限，可能在两个象限（1），三个象限（2），四个象限（3）。5.抛物线与抛物线形状、大小相同，只有位置不同。6.描点法画抛物线了解开口、顶点、对称轴、最值。（1）a决定开口：开口向上，开口向下。表示开口宽窄，越大开口越窄。（2）顶点，当时，y有最值为。（3）对称轴（4）与y轴交点（0，c），有且仅有一个（5）与x轴交点A（），B（），令则。①△＞0，有，两交点A、B。②△＝0，有，一个交点。③△＜0，没有实数与x轴无交点。7.配方可得向右（）或向左（）平移个单位，得到，再向上向下平移个单位，便得，即。8.五点法作抛物线（1）找顶点，画对称轴。（2）找图象上关于直线对称的四个点（如与坐标轴的交点等）。（3）把上述五个点连成光滑曲线。判别式二次函数（）无实根一元二次或不等于的实数全体实数不等式空集空集9.掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。二.重点、难点：重点掌握二次函数定义、解析式、图象及其性质。难点是配方法求顶点坐标，只要坚持配完后看看与原二次函数是否相等即可。例1.已知抛物线，五点法作图。解：∴此抛物线的顶点为∴对称轴为令，即解方程∴抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）令则，得抛物线与y轴交于点C（0，）又C（0，）关于对称轴的对称点为D将C、A、M、B、D五点连成光滑曲线，此即为抛物线的草图。例2.已知抛物线如图，试确定：（1）及的符号；（2）与的符号。解：（1）由图象知抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，过A（1，0）与y轴交于B（0，c），在x轴上方∵抛物线与x轴有两交点（2）∵抛物线过A（1，0）例3.求二次函数解析式：（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；（2）顶点M（-1，2），且过N（2，1）；（3）与x轴交于A（-1，0），B（2，0），并经过点M（1，2）。解：（1）设二次函数解析式为由题意∴所求二次函数为（2）设二次函数解析式为∵顶点M（-1，2）∵抛物线过点N（2，1）∴所求解析式即（3）设二次函数解析式为∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（2，0）∵抛物线过M（1，2）∴所求解析式即例4.已知二次函数在时，y取最大值，且抛物线与直线相交，试写出二次函数的解析式，并求出抛物线与直线的交点坐标。解：∵二次函数有最大值即∴抛物线为由题意∴抛物线与直线的交点坐标是与例5.已知函数，它