2026年高考数学真题汇编导数及其应用专题复习练习题

2026年高考数学真题汇编导数及其应用专题复习练习题真题汇编考点01导数概念及几何意义1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2026·上海卷·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．3．（2026·上海卷·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．考点02导数的应用1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（

）A． B．1 C． D．22．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．3．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论：①在上有最小值和最大值②，有3个解；③，时，有最大值；④，与有4个交点.其中正确结论的序号是________．4.（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线为．(1)求，；(2)当时，，求的取值范围；(3)当时，，求的最小值．5．（2026·天津卷·高考真题）已知．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明；(3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．6.（2026·北京卷·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求的极值点个数；(3)求与交点个数．模拟题汇编一、单选题1．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（

）A． B．C． D．3．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（

）.A． B． C． D．4．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（

）A． B．C． D．5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（

）命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确6．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（

）A． B． C． D．8．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（

）A． B． C． D．9．（2026·北京房山·二模）已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．10．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题12．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（

）A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增C．， D．，13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（

）A． B．存在使得C． D．的图象关于直线对称14．（2026·福建南平·二模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（

）A． B．是偶函数C． D．在上是减函数三、填空题15．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________．16．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______.17．（2026·云南·模拟预测）已知函数没有极值点，则______．18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．四、解答题19．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，其中．(1)记，若为的极值点，求证：为偶数．(2)求20．（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)讨论零点的个数．21．（2026·广东茂名·二模）已知函数．(1)当时，证明：恒成立；(2)当时，证明：当时，函数的图象与的图象无交点；(3)已知，证明：．22．（2026·福建南平·二模）定义：函数图象上不同的三点，若它们的横坐标依次成等比数列，且该函数在点处的切线的斜率恒小于直线的斜率，则称该函数在点处“等比偏移”；若函数图象上任意一点都满足“等比偏移”，则称该函数是其定义域上的“等比偏移”函数.设.(1)讨论函数的极值；(2)当时，判断函数在点处是否“等比偏移”?请说明理由；(3)若，试证明：函数是其定义域上的“等比偏移”函数.参考数据：，23．（2026·新疆·二模）已知函数．(1)若，求函数的极值；(2)（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值；（ⅱ）证明：．答案解析真题汇编考点01导数概念及几何意义1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.2．（2026·上海卷·高考真题）已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．【答案】【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，又，所以，解得，故；已知初速度为0，则，解得，已知，则，速度第一次达到4时用时秒，则，即，此时．3．（2026·上海卷·高考真题）已知，函数，．(1)已知，求的解集；(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，，在与中，，解得，∴，∵，∴，解得或或∴不等式的解集为.（2）由题意及（1）得，，在中，，∴∵直线为在点的切线，∴直线的方程为：，即，∵是过点且垂直于的直线，∴直线的方程为：，即，在中，，与、在第一象限内均无公共点，∴与无正实数解，分离参数得，，，∴直线与与曲线在内均无交点，而，当时，解得（舍）或，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增，∴在处取最小值，，当时，，当时，，∴且，即或，∴实数的取值范围为.考点02导数的应用1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】法1：（1）当时，由，解得，故函数定义域为.①当时，，当，则，故不存在最大值，不合题意；②当时，此时，，故最大值不为，不合题意；③当时，，当，则，故不存在最大值，不合题意；（2）当时，则，则函数定义域为.且由最大值为可知，，即对任意恒成立，且等号能取到.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故，当且仅当时，，由对任意恒成立，可知，又当时，恒有，取不到等号，所以有，故选：B.法2：，由选项知，则定义域为，故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为，由，则由，可得①，且，即②，联立①②解得.验证：当时，，则，设，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；，且，且当，；当，；作出函数的大致图象，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；则，满足题意，故.法3：由选项知，则定义域为，由，解得.同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得..法4：由选项知，则定义域为，由，解得.验证：当时，由不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故满足题意，由选项唯一可得.2．（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；方法一：C，在中，，则，，函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，则为奇函数，，即函数在定义域上单调递增，故正确.法二：C，在中，，则，为奇函数，∵和是减函数，∴函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，为奇函数，∵和是增函数，则为增函数，∴函数单调递增，故正确.3．（2026·北京卷·高考真题）已知，给出下列四个结论：①在上有最小值和最大值②，有3个解；③，时，有最大值；④，与有4个交点.其中正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；③，求出在上的单调性，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断.【详解】由题意，①在中，，，，函数为偶函数，在中，，∴函数单调递增，∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴函数在处取最小值，，在中，，为偶函数，当在内有零点时，即，，使得，此时在，上单调递减，在，上单调递增，，，，∵，∴，∴在和处取最小值，，在处取最大值，当在内无零点时，，在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得最小值，，在处取得最大值，，故①正确；②同①可得推广结论，在中，，，为偶函数，即，，使得，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，∴在和处取极小值，当时，，，，∵在上单调递减，，∴，使得，∵在上单调递增，，∴，使得，∴当时，，∴，有3解，故②正确；③当时，，，，由①可得，在上单调递增，∵，，∴，使得，∴在中，，此时在上单调递减，在上单调递增，∴在处取最大值，③正确；④由②可得，在中，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，在中，，，开口向上，∴函数，即恒成立，∴∴在下方，∵，∴在轴上方，此时与有4个交点，故④正确.4.（2026·新课标全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线为．(1)求，；(2)当时，，求的取值范围；(3)当时，，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解；（2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可；（3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解.【详解】（1），由切点在直线上，也在函数图象上，可知且，可得；由，则切线的斜率为，解得；故.（2）由（1）知，，则，故题意可转化为对任意恒成立，法一：令，，则，当时，由且，则，即，则在上单调递增，又，要使对任意恒成立，则，解得；当时，不成立；当时，，，且，则，即，则在上单调递减，又当时，，不满足题意；综上所述，的取值范围为.法二：不等式可转化为，即对任意恒成立，当时，不成立；当时，设，，当时，由，可知，，这与对任意恒成立矛盾；当时，，，由，故在上单调递增，故在上存在唯一零点，设为，且当时，，即，此时不等式不成立；当时，，则在上单调递增，由，故，故不等式，即恒成立，综上所述，的取值范围为；（3）法一：设，则，令，则，其中，，.当时，，则在上单调递增，故，故在上单调递增，故，即当时，恒成立，满足题意；当时，设，由，可知且，则，可知在上单调递增，故，即，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故，即当时，恒成立，满足题意；当时，此时，又，则存在正实数，使得，，则在上单调递减，则，即当，，不满足题意；综上所述，，即的最小值为.法二：由可得，则，即，则，由，可知，则，故原不等式可转化为，由，设，，则，设，，令，则，，由，再令，，故在上单调递增，故，则，故在上单调递增，所以，即，故在上单调递减，又由洛必达法则可知，故要使当时，恒成立，则，即的最小值为.5．（2026·天津卷·高考真题）已知．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明；(3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．【答案】(1)(2)令，则，当时，，，则，所以在上单调递增，则，所以在上恒成立，即在上恒成立；当时，令，所以，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，因为，所以，所以，由于，所以，则在上单调递增，则，即在恒成立，所以在上单调递减，所以，即在成立，故在成立，综上，在上恒成立，(3)【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可；（2）令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论；（3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立.【详解】（1）由于，所以，，则曲线在点处的切线方程为：，即；（2）略（3）①当时，设构造函数，则，令，所以，由于在上单调递增，所以，则在上单调递减，故，则在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立；令，所以，所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，即在上恒成立.故，令，则，对于，令，则，变形得，裂项求和得，对题设不等式左边取对数放缩：，对题设不等式右边取对数放缩：：当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；②当时，若,恒成立，此时原不等式右侧，只需证明：，由（2）问结论可得：对于二项式展开，两边取对数，，又因此，所以原不等式成立，则的最大值为6.（2026·北京卷·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求的极值点个数；(3)求与交点个数．【答案】(1)、(2)有两个极值点(3)交点个数为【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解；（2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数；（3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数.【详解】（1），则，，又，解得；（2）由（1）得，则，令，则，令，解得，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故存在，使得，且有，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有两个极值点；（3）令，则，令，则；若，则恒成立（不恒为零），故在上单调递减，又，当时，，故在上有唯一零点，即与有唯一交点；若时，有两个实根，设这两个实根分别为、，且，则、，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故为的极小值，为的极大值，且，由，则，则，由，则，则有、，故，则，又时，，故在上存在唯一零点，即与有唯一交点；综上所述：与交点个数为.模拟题汇编一、单选题1．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，，所以，，，曲线在点处的切线方程为：，，化简得，.2．（2026·福建泉州·三模）定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可.【详解】因为定义在上的奇函数，所以，两边取导数可得，即，所以，因为时，，所以时，，所以.3．（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系为，则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解即可得答案.【详解】由题可得瞬时速度,当位移时，可得，解得：,所以,所以,则当位移时，弹簧振子的瞬时速度大小为，故选：A4．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求定义域，求导，设出切点，根据导函数几何意义得到方程，解方程，可得结论【详解】A选项，的定义域为R，，设切点为，假设在处的切线与轴平行，则，则，，所以曲线的图象上存在与轴平行的切线，A正确；B选项，的定义域为R，，设切点为，假设在处的切线与轴平行，则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，B错误；C选项，的定义域为，，设切点为，假设在处的切线与轴平行，则，无解，的图象上不存在与轴平行的切线，C错误；D选项，的定义域为R，，设切点为，假设在处的切线与轴平行，则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，D错误；5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（

）命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【答案】A【分析】首先利用导数的知识求出的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假.【详解】为“级导同函数”，即，若，则，满足，若，则，，(其中是常数)，所以（其中为常数），，所以或.命题①，充分性：为偶函数，若，则，既不是奇函数，也不是偶函数，所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足；必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足.所以命题①正确；命题②，若经过一二象限，则，由于且，故恒为正，其图像只经过第一、二象限；同时，当时，为单调函数，故不具有周期性，所以命题②正确.6．（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围.【详解】由函数，得，设切点坐标为，则切线的斜率，所以切线方程为，其中，即切线方程为.整理可得，又因为直线与曲线相切，所以，.设，则，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，故函数在时取极小值，且当时，.综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围.7．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解.【详解】是奇函数，所以，即，且，又，所以，因为，即，即，令，得，即，即，则关于直线对称，可得，可得则，故函数是周期为4的函数，，所以8．（2026·河南·三模）已知正实数a，b满足，则ab的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由得到，构造函数，求导确定单调性即可求解.【详解】对两边取自然对数，得，即，设，，则，所以在上单调递增，所以方程的解只有一个，又因为，所以，所以．9．（2026·北京房山·二模）已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将题目条件翻译成函数与函数的交点问题，再求参数的取值范围.【详解】若存在非零实数，使得，则函数与有公共点，即有根，即与有公共点，设，，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以在上单调递减，因为，时，所以，即，所以.10．（2026·山东日照·模拟预测）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围.【详解】由得因为，所以令则问题转化为求在上的最小值．求导得令，因为，所以与同号．又，所以在上单调递增．当时，；又，所以存在唯一的，使得．再看方程，函数，，则，则在上单调递增，且当时，，当时，，所以该方程有唯一正根．设这个正根为，则，于是且，说明这个正是的唯一根．因此，当时，，从而；当时，，从而．所以在处取得最小值．由，得，又，所以所以．要使对任意恒成立，必须且只需．当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于．故的取值范围为．二、多选题11．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数，其导函数为，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题【答案】ABD【分析】求出导函数，根据奇函数、偶函数的定义即可判断AB；通过导数即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D.【详解】已知函数，其导函数为，则，对于A，由于，所以是奇函数，故A正确；对于B，由于，所以是偶函数，故B正确；对于C，由于，令，则，再令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即；当时，，即；所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误；对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有，即，化简得，显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾，因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题，所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确.12．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（

）A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增C．， D．，【答案】BC【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项．【详解】，，因为函数的图象在点处的切线的斜率为，所以，解得，所以，，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增，对于A，由，得，，A错误；对于B，区间，即是，因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，B正确；对于C，当时，，所以，因为在区间上单调递减，所以，C正确；对于D，，，所以恒成立，即对所有成立，D错误．13．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（

）A． B．存在使得C． D．的图象关于直线对称【答案】ACD【分析】通过赋值法求的值，判断选项A；构造辅助函数，确定的表达式，进而根据的值域判断选项B；求导，判断选项C；利用函数的对称性判断选项D．【详解】令，代入等式得：，解得或，若，令，则对任意有，此时，与矛盾，故，A正确；由于在上可导，对等式两边关于求导，得，令，并代入，，得，故C正确．令，则由得，所以在上为常数．又因此，即，因为对任意，都有，，所以不存在使得，故B错误．，故，对任意，，故的图象关于直线对称，故D正确．14．（2026·福建南平·二模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（

）A． B．是偶函数C． D．在上是减函数【答案】ACD【分析】令判断A，令可判断B，令，所给等式两边取导数可判断C，对两边取导数，再令可求出，即可得出函数单调性判断D.【详解】令，可得，故A正确；令，可得，即，所以函数为奇函数，故B错误；令，则，两边取导数可得，即，故C正确；由，对两边求导，，令，可得，又，所以，当时，，所以在上是减函数，故D正确.三、填空题15．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________．【答案】【详解】，.设曲线与曲线在点处有公切线，所以，即，解得，.所以，正数的值为5.16．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______.【答案】/【分析】先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可.【详解】，令，，①当时，，在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意；②当时，令，解得，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，有最小值，所以当在上单调递增时，有，令，，得，所以时，；时，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，又要求，所以，即.17．（2026·云南·模拟预测）已知函数没有极值点，则______．【答案】1【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数，所以函数至多有一个零点，令，则或或，∴，即，∴.18．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】求出函数在上的最大值，分类讨论求出的最大值，再根据给定条件建立不等式，借助单调性求出范围.【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值，由函数，求导得，函数在上单调递增，；函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，令，函数在上单调递增，不等式，解得，所以实数a的取值范围是.四、解答题19．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，其中．(1)记，若为的极值点，求证：为偶数．(2)求【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）对函数求导并根据的奇偶性对导函数符号进行判断，结合极值点可得为偶数；（2）根据表达式利用分组求和即可.【详解】（1）因为，则，当时，,,故不是极值点.当为奇数时且时，为偶数，，当时，，在单调递减，所以0不为的极值点；当为偶数时，为奇数，，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以0为的极值点，因此为偶数．（2），所以，所以．20．（2026·山东潍坊·三模）已知函数（且，，）．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)讨论零点的个数．【答案】(1)(2)若或，零点的个数为；若且，零点的个数为【分析】（1）恒成立等价于恒成立，求导后，分及讨论函数单调性，结合计算即可得解；（2）结合（1）中所得，分、与且讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理可判断零点的个数，即可得零点的个数.【详解】（1）由恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，当时，恒成立，则恒成立，故在上单调递减，又，故当时，，不符合题意，故舍去；当时，令，解得，则当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，又，故要使得恒成立，则有，即；（2）函数零点的个数等价于函数零点的个数，由（1）知，当时，在上单调递减，且，故零点的个数为；当时，在上单调递减，在上单调递增；若，有且仅有，故零点的个数为；若，则，由，则，又时，，故存在，使得，此时有两个零点、，故零点的个数为；若，则，由，则，又时，，故存在，使得，此时有两个零点、，故零点的个数为；综上所述：若或，零点的个数为；若且，零点的个数为.21．（2026·广东茂名·二模）已知函数．(1)当时，证明：恒成立；(2)当时，证明：当时，函数的图象与的图象无交点；(3)已知，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由题意可知函数的定义域为，通过求导得到函数的单调性即可求解；（2）构造函数，利用导数研究函数的单调性得时，函数单调递增，时，函数单调递减，再结合，符号即可证明；（3）结合（1），令，有，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分.【详解】（1）已知函数，当时，，由，解得，因此函数的定义域为，对函数求导，得，当时，，当时，，因此函数在单调递增，在单调递减，因此函数在取极大值，同时也是最大值，由于，所以恒成立.（2）当时，，构造函数，，所以，令，，则，由于在上单调递减，在上单调递减，因此在上单调递减，因为，，所以存在使得，即，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因为，，，所以存在，使得，即，当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，因为，，所以在恒成立，即，所以对任意，有，即当时，函数的图象与的图象无交点.（3）先证，由（1）知，当时，函数在单调递减，故当时，，即，令，则，即，令，由恒成立，所以在单调递减，所以，即，故当时，有，令，则，所以，所以，再证，由（2）知，，即在恒成立，令，则，所以，即，综上，.22．（2026·