2026年高考数学真题汇编数列专题复习练习题

2026年高考数学真题汇编数列专题复习练习题真题汇编考点01等差数列1．（2026·上海卷·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（

）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，72．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（

）A．2 B．4 C．6 D．83.（2026·北京卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．4．（2026·上海卷·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．考点02等比数列1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．2．（2026·上海卷·高考真题）已知为等比数列，，，则__________．考点03数列的递推公式与求和1．（2026·天津卷·高考真题）已知，，则（

）A．68 B．56 C． D．2．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2026·天津卷·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，，或，记为中的元素个数．（i）求；（ii）求．考点04数列中的新定义1．（2026·北京卷·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质．(1)判断下列两个数表是否具有性质．11111111111(2)在所有具有性质的数阵中，的个数最多是多少？(3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有．模拟题汇总一、单选题1．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（

）A． B． C． D．2．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（

）A．8 B．4 C．2 D．13．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（

）A．18 B．54 C．81 D．1625．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（

）A． B． C． D．6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（）A． B． C． D．7．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（

）A． B． C．1 D．二、多选题9．（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（

）A． B．中最小值为C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为1410．（2026·福建三明·模拟预测）已知数列满足，则（

）A．B．的前n项和为C．的前100项和为50D．的前30项和为35711．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（

）A．数列是等比数列 B．C．数列是等比数列 D．12．（2026·黑龙江·模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．数列的通项公式为三、填空题13．（2026·湖南湘潭·二模）数列满足，，则数列的前8项和______.14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________．15．（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购16箱，往后每一年都比上一年多采购3箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价4元，价格每年变为原来的3倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满4年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______四、解答题16．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，记数列的前项和，求.18．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，．(1)求和；(2)设，求数列的前项和．19．（2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足．(1)若，求的值；(2)若，且恒成立，求的取值范围；(3)设，若，证明：．20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．(1)若数列，求集合；(2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项．（i）求；（ii）令，求．答案解析真题汇编考点01等差数列1．（2026·上海卷·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（

）A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7【答案】C【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断.【详解】设该数列为，则该数列满足，其中.则，因为常数，该式对任意正整数成立，则，从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意.故选：C2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可.【详解】由已知，，，，，设新数列为，，由已知数列为等差数列，设其公差为，，又的前项都为奇数，所有项都为偶数，由已知为正偶数，为正偶数，则，故，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，矛盾，若，则，此时可取，，，，，，满足要求.3.（2026·北京卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________．【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可.【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为.∵，，∴.由，得，消去等式两侧的，整理得，解得.∵，等差数列为递减数列，且恒成立，∴为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即，代入通项公式得，解得，取即为符合条件的一个取值.4．（2026·上海卷·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．【答案】【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，且，是单调递增的，所以必须满足，所以，所以.考点02等比数列1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________．【答案】【分析】由前项和公式推出每连续三项的和.将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值.【详解】令，由题意得，因此每个三项块的和为.设这9项为，记.由于，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论.若，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.若，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，所以.综上，所以，即的最大值为.2．（2026·上海卷·高考真题）已知为等比数列，，，则__________．【答案】【详解】设数列的公比为，则，则.考点03数列的递推公式与求和1．（2026·天津卷·高考真题）已知，，则（

）A．68 B．56 C． D．【答案】C【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果.【详解】由，得，即；，即；因为，所以；，即，所以；，即，所以.2．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.【详解】由题意，，是无穷数列，验证充分性：当存在常数，使时，，，显然成立，验证必要性：当，时，此时满足,假设存在常数，使成立，当时，，，此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，但不存在这样的固定常数，∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件.3．（2026·天津卷·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，，或，记为中的元素个数．（i）求；（ii）求．【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；（2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或（公比不能为0，舍去），所以（2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，小于的正偶数有个，由得，，所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，所以.（ii）当时，中小于等于的项有个，又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，所以，所以，从到共有项，又为奇数时，所以，所以令①，则②，①-②得，所以，所以考点04数列中的新定义1．（2026·北京卷·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质．(1)判断下列两个数表是否具有性质．11111111111(2)在所有具有性质的数阵中，的个数最多是多少？(3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有．【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质；(2)(3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个．因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①，对，，令先取行距为、列距为的矩形．由①，对及，有由于，所以②，下面比较第行与第行的值．对，取第、行和第、列．此时行距为，列距为，由①得由②知，故③，令则由③得，所以再取第、行和第、列．此时行距为，列距为，由①得即由于且，所以．从而④，同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤，结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥，当时，由，显然有当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有再由⑥，两边同乘，并利用，得命题得证．【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质.（2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达.（3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过递推推广到所有下标，完成证明.【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为．要满足|行距列距|，列距只能为．取第、行和第、列，四个顶点之和为所以不具有性质．对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距．因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形．第、行对应的四个顶点之和为第、行对应的四个顶点之和为所以具有性质．（2）设第行元素之和为先考察第行与第行．令对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得因此x2=−同理，考察第行与第行，可得所以整个数阵所有元素之和为设数阵中的个数为．数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得下面说明可以达到．取该数阵中共有个．对于数阵，可能的行距、列距组合只有当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为；当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为；当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为．所以该数阵具有性质，且的个数为．因此，的个数最多为（3）略模拟题汇编一、单选题1．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为，则，，已知成等比数列，则，展开整理得，解得（舍去）或，，．2．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（

）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】结合递推公式依次计算即可.【详解】，，.3．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】若，满足，此时，，不满足数列为单调递增数列，充分性不成立；若，此时，满足数列为单调递增数列，但不成立，必要性不成立；所以“”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（

）A．18 B．54 C．81 D．162【答案】D【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出.【详解】由可得当时，，两式相减得，整理得.又由及可得，满足.故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为，代入得.5．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】已知，当时，，当时，，时，，，，故是首项为3，公比为2的等比数列，的前7项和为：．6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，再根据得到为等差数列，最后利用裂项相消法即可求解.【详解】令，可得，由变形可得，则，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，故数列的前项和为.7．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，因此，因为，因此，所以原式化简为，而，所以原式为，而因为，所以，则，，代入得，，而已知，设，(为非零常数)，，，所以.8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解.【详解】因为，，因此当时，，所以两式相减得，，所以，，当时，，满足递推关系，所以的递推公式为，则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为，因此，代入得，，化简得，设，则上式等价于，所以，，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，，，当时，，所以，因此的最小值为，即，因此的最大值为，故选择B选项.二、多选题9．（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（

）A． B．中最小值为C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14【答案】ABD【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解.【详解】A，由，可得，因为，可得，所以，正确；B，由A分析且，所以且，正确；C，在等差数列中，由且，当时，得；当时，得，所以取得最大值时，，错误；D，由，且，所以使得成立的最大整数为，正确.10．（2026·福建三明·模拟预测）已知数列满足，则（

）A．B．的前n项和为C．的前100项和为50D．的前30项和为357【答案】ACD【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可.【详解】当时，，当时，，两式相减可得：，所以，显然当时，满足，故，故A正确；由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误；令，的前100项和为：，故C正确；令，所以的前30项和为：，故D正确.11．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（

）A．数列是等比数列 B．C．数列是等比数列 D．【答案】BC【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D.【详解】当时，．当时，，数列一定不是等比数列，故A错误；当时，；当时，；当时，．，故B正确；．数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确；方法一：由可知，，，，故D错误．方法二：，，故D错误．12．（2026·黑龙江·模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．数列的通项公式为【答案】ABD【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可．【详解】初始数列：1，4；第一次成长：1，4，4，乘积,；第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：，；故A正确记次“美好成长”后的数列有项，则，即，又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列，故，，所以，故B正确因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积，故；故，则，故C错误，由此，因此数列为等比数列，首项为，公比为3；故，解得，故D正确．三、填空题13．（2026·湖南湘潭·二模）数列满足，，则数列的前8项和______.【答案】502【详解】因为，所以，易知，故，又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式为，则，所以数列的前8项和.14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________．【答案】（或）【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解．【详解】由题可知，，，，消去得，，所以是以为公比，首项为的等比数列，所以，所以；当时，，，消去得，，则得所以是以为公比，首项为的等比数列，所以，所以，所以．15．（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购16箱，往后每一年都比上一年多采购3箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价4元，价格每年变为原来的3倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满4年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______【答案】【分析】先分别计算前年采购组件的总箱数和第年末的组件单价，二者相乘得到总货款，代入即可得满年的结算款.【详解】设第年采购的组件箱数为，由题意是首项、公差的等差数列，则，前年总采购箱数为的前项和：，设第年组件单价为，由题意是首项、公比的等比数列，第年末的单价为：，计算满年的总货款：代入，得，，故总货款；计算年末总货款：根据题意总货款为总箱数乘以第年末单价，即.四、解答题16．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．