2026-2027学年度新高一开学数学摸底测评卷（北师大版）

-2027学年度新高一开学数学摸底测评卷（北师大版）阅卷人一、选择题(共10题；共20分)得分1．（2分）命题“∃x∈R,x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R,x+2>0 B．∃x∈R,x+2<0C．∀x∈R,x+2>0 D．∀x∈R,x+2<02．（2分）已知全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,2,3，N=2,5A．4 B．1,3,4,5 C．2,4,5 D．1,2,3,53．（2分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12logA．8100 B．8000 C．1000 D．11004．（2分）已知样本数据为x1，x2，⋯，xn，平均数为x1，则数据x1，x2，A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数5．（2分）已知定义在R上的奇函数fx，当0≤x≤1时，fx=4xA．2 B．3 C．4 D．56．（2分）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件M=“点数为奇数”，事件N=“点数为3的整数倍”，若P(M)，P(N)分别表示事件M，N发生的概率，则（）A．P(M)=13，P(N)=12 C．P(M)=P(N)=12 7．（2分）甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，a，b，c，且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4.根据以上数据，对甲，乙射击成绩的正确判断是（）A．甲射击成绩比乙稳定B．乙射击成绩比甲稳定C．甲，乙射击成绩稳定性相同D．甲、乙射击成绩稳定性无法比较8．（2分）函数f(x)＝2xA． B．C． D．9．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，若点P沿A−D−C向点C运动，点Q沿A−B−C向点C运动，则△APQ的面积S(cmA． B．C． D．10．（2分）给出定义：若m−12<x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m.设函数f(x)=x−{x}，二次函数g(x)=ax2A． B．C． D．阅卷人二、填空题(共8题；共24分)得分11．（3分）已知函数fx=2x,x<012．（3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是.13．（3分）如果存在函数g(x)=ax+b（a、b为常数），使得对函数f(x)定义域内任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：①函数f(x)=2②对于给定的函数f(x)，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；③g(x)=12x+④若g(x)=2x+b为函数f(x)=−x2其中所有正确结论的序号是14．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中去掉i（i=1，2，315．（3分）设全集U=R，集合A={x|y=9−x16．（3分）函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）=x+2+k是闭函数，那么k的取值范围是17．（3分）已知f(x)是在定义域(0，+∞)上的单调函数，且对任意x∈(0，+∞)都满足：f(f(x)−2log218．（3分）已知集合M={x|(x−a)(x2−ax+a−1)=0}各元素之和等于3，则实数阅卷人三、解答题(共6题；共56分)得分19．（6分）已知函数f(x)=2x+bx2（1）（2分）求f(x)的表达式；（2）（2分）判断f(x)在区间[−1,a+b]上的单调性，并证明你的结论；（3）（2分）解关于t的不等式f1−220．（6分）设集合A={x|x2−2mx+（1）若m=5，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.21．（10分）某校为美化校园，计划对面积为2000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为600m（1）（5分）甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？（2）（5分）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.5万元，乙队为0.3万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，至少应安排甲队工作多少天？22．（10分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2阶段准备人的反应系统反应制动时间tttt距离dddd（1）（5分）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当k=0.9时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t（2）（5分）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h.23．（12分）某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转﹐旋转一周所需时间为T=24分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点）．现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟．（1）（4分）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系ht（2）（4分）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；（3）（4分）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在0≤t≤t0这段时间内，H恰有三次取得最大值，求24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=k（1）（4分）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）（4分）请直接写出y1（3）（4分）过点B作BE//x轴，AD⊥BE于点D，点C是直线BE上一点，若AC=2AD，求点C的坐标．

答案解析部分1．【答案】C【知识点】命题的否定【解析】【解答】解：由题意，

可知：命题“∃x∈R,x+2≤0”的否定是“∀x∈R,x+2>0”.故答案为：C.【分析】根据特称命题的否定是全称命题，从而写出命题“∃x∈R,x+2≤0”的否定.2．【答案】A【知识点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：因为M=1,2,3，N=所以M∪N=1,2,3,5，又U=所以∁U故答案为：A【分析】根据并集定义：对于给定的两个集合M，N，它们的并集M∪N包含所有属于M的元素，或属于N的元素（重复元素仅保留一个），梳理两个集合的元素，合并后去除重复项，即可求得并集对应的集合，同理根据补集的定义扣除属于集合M∪N的元素可得.3．【答案】A【知识点】指数式与对数式的互化；“对数增长”模型【解析】【解答】解：由题意可得2=12log3L100，则故答案为：A.【分析】根据函数模型，结合对数、指数互化求L的值即可.4．【答案】A【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】解：对于A，因为原数据的平均数为x，新数据为x1所以新数据的总和为：x1则新数据的平均数为：(n+1)xn+1=对于B，不妨设原数据为0,2，

则x=0+22所以，新数据为0,1,2，平均数为1，方差为13此时方差发生了变化，故B错误；对于C，不妨设原数据为0,0,1,3，则x=0+0+1+34所以，新数据为0,0,1,1,3，众数为0,1，此时众数发生了变化，故C错误；对于D，不妨设原数据为0,0,3，则x=0+0+33所以，新数据为0,0,1,3，中位数为0+12故答案为：A.

【分析】利用平均数的计算方法，则判断出选项A；利用方差公式、众数定义、中位数公式和举反例的方法，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出数字特征一定不变的选项.5．【答案】D【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】解：令gx=0，则fx=x−1，原问题转化为曲线因为fx=−fx+2，所以f又因为fx=−f2+x=f−2−x当0≤x≤1时，fx=4x+2x−1单调递增，再根据曲线y=fx关于直线x=1对称可画出y=fx在1,2上的图象，最后利用周期性可画出y=f由图可知两图象共有5个交点，则函数gx故答案为：D.【分析】令gx=0，则fx=x−1，原问题转化为曲线y=fx和直线y=x−16．【答案】B【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：由题意可得：掷一个骰子朝上面的点数可谓1，2，3，4，5，6共6种结果；

事件M=“点数为奇数”包含1，3，5共3种结果；

事件N=“点数为3的整数倍”包含3，6共2种结果，

则P(M)=36=故答案为：B.【分析】利用古典概型概率公式求解即可.7．【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【解析】【解答】∵这组数中的众数是8，∴a，b，c中至少有两个是8，∵平均数是6，∴a，b，c三个数其中一个是2，综上，甲所中环数为2,5,5,8,8,8，∴甲所中环数的方差S2∵5>4，∴乙射击成绩比甲稳定.故答案为：B.

【分析】本题考查众数，平均数，方差的统计学意义.根据甲所中的环数的平均数是6，众数是8，利用众数的定义可推出a，b，c三个数其中一个是2，另两个数是8，据此可推出甲所中环数，利用方差计算公式可求出甲的方差，再将方差进行比较，可选出答案．8．【答案】A【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象【解析】【解答】可得f(x)=2x+又f(−x)=2−x+故答案为：A.

【分析】利用极限思想以及函数奇偶性进行排除即可得出结果。9．【答案】C【知识点】函数的图象与图象变化【解析】【解答】解：当P在AD，Q在AB上时，即t∈0，1，AP=2t，AQ=2t

S△APQ=12AP·AQ=2t2；

当P在DC，Q在BC上时，即t∈（1，2]，CP=2−2t−1=4−2t，CQ=2−2t−1=4−2t，故答案为：C.

【分析】分P在AD，Q在AB和P在DC，Q在BC两种情况讨论，求出面积S(cm2)10．【答案】C【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点【解析】【解答】当m−12<x≤m+12只需考虑当−12<x≤12由ax2+bx=xa=−4，b=1时1−ba=0；此时y=f(x)与a=−2，b=−1时1−ba=−1<−12，a=−5，b=−1时1−ba=−25；此时y=f(x)与a=5，b=1时1−ba=0；y=f(x)与故答案为：C.【分析】本题利用函数f(x）与g(x）的图象有一个公共点的关系求出a和b的值，再利用分类讨论的芳法找出满足要求的a和b的值。11．【答案】2【知识点】函数的值；指数函数的概念与表示【解析】【解答】解：易知f−1所以ff故答案为：2【分析】先根据自变量的范围代入对应分段函数解析式求出内层函数值，再将内层函数值作为自变量代入对应分段函数解析式求出最终值.12．【答案】R≥3.6【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值【解析】【解答】设电流I与电阻R的函数关系式为I=kR∵图象经过的点9,4，∴4=k9，故∴I=36因为k=36>0，所以当R>0时，I随R的增大而减小，∴当I取得最大值10时，R取得最小值3610∴R≥3.6，故答案为：R≥3.6.

【分析】本题考查反比例函数的图象和性质.根据函数图象先设电流I与电阻R的函数解析式，再将点9,4代入反比例函数的解析式可求出k的值，进而求出反比例函数的解析式，根据k=36>0，可得当R>0时，I随R的增大而减小，据此可求出电阻R的范围.13．【答案】②③【知识点】一次函数的性质与图象；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】对①：由函数f(x)=2x的图象可知，不存在“线性覆盖函数”故命题对②：如f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜﹣1）就是“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的函数f(x)=2x就没有“线性覆盖函数”，∴命题对③：设h(x)=x−当0<x<1时，h'(x)>0，h(x)在（0，1）单调递增，当x>1时，h'(x)<0，h(x)在（1，+∞）单调递减，∴h(x)≤h(1)=0，即f(x)≤g(x)，g(x)=12x+12对④，设F(x)=−x2−2x−b，则F(x)=−(x+1)2+1−b，当b=1时，故答案为②③。

【分析】利用“线性覆盖函数”的定义结合分类讨论的方法、求导判断函数的单调性，结合已知条件，从而选出所有正确结论的序号。14．【答案】1【知识点】众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：当i=1时，剩下4个数有5种情况：1234，1235，1245，2345，1345；

当i=2时，剩下3个数共有10种情况：345，245，235，234，145，135，1345，125，124，123；

当i=3时，剩下2个数共有10种情况：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45；

当i=4时，剩下的1个数共有5种情况：1，2，3，4，5；

综上共有30种可能的结果，其中满足剩下的5−i个数的平均数是3的有：1245，234，135，15，24，3共6种，所以剩下的5−i个数的平均数是3的概率为630故答案为：15

【分析】根据题意写出所有的可能情况，根据古典概型概率公式计算即可.15．【答案】∅【知识点】集合的表示方法；交、并、补集的混合运算【解析】【解答】由题意可得：集合A={x|y=9−x2}={x|9−x2≥0}==16．【答案】（﹣94【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明【解析】【解答】解：函数f（x）=x+2+k的定义域为[﹣2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，∴a+2+k=a，且b+2+k=b，∴a+2=（a﹣k）2，且b+2=（b﹣k）2，且k≤a，k≤b．即a2−(2k+1)a+k2−2=0令g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，则有△=(2k+1)2−4(k2故答案为：（﹣94【分析】根据函数在定义域内是增函数可得到f（a）=a，f（b）=b进而可求出a和b的值再由方程在指定区间上有两个根，利用二次函数的性质限制得到关于k的不等式组解出即可得到k的取值范围。17．【答案】(【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由题意得f(x)−2log2x为正常数，令且f(t)原不等式为2log2x<lo故答案为：(0

【分析】由题意得f(x)−2log2x为正数，令f(x)−2log2x=t，18．【答案】2或3【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性【解析】【解答】由题意知：M={x|(x−a)(x2−ax+a−1)=0}∴x−a=0或x2−ax+a−1=0，可知：x∴当x2≠x3时，2a=3；当∴a=2或a=3故答案为：2或3【分析】由题意知M中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论x2，x19．【答案】（1）解：因为函数f(x)=2x+bx2所以a+b=1且f(0)=ba=0，所以a=1，b=0此时，f(−x)=−2x（2）证明：f(x)在[−1,1]上单调递增，证明如下：任取−1≤xfx而x1x2<1，x2−x（3）解：因为f(x)为奇函数，原不等式等价于f1−2又f(x)在[−1,1]上单调递增，所以−1≤1−2t2≤1综上t∈1【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义f(-x)=-f(x)，将(-x)代入函数表达式；整理得到关于未知参数的方程，解方程求出参数值；将参数值代入原函数，得到确定的函数解析式；（2）任取−1≤x1<（3）利用奇函数的性质将不等式转化为f1−2（1）因为函数f(x)=2x+bx2所以a+b=1且f(0)=ba=0，所以a=1，b=0此时，f(−x)=−2x（2）f(x)在[−1,1]上单调递增，证明如下：任取−1≤xfx而x1x2<1，x2−x（3）因为f(x)为奇函数，原不等式等价于f1−2又f(x)在[−1,1]上单调递增，所以−1≤1−2t2≤1综上t∈120．【答案】解：（1）因为B={x|x2−4x−5≤0}={x|−1≤x≤5}，

当m=5时，A={x|x2−10x+24≤0}={x|4≤x≤6}，

∴A∩B={x|4≤x≤5}.

（2）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，即A⫋B，

又因为B={x|x2−4x−5≤0}={x|−1≤x≤5}，

因为A={x|x2【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式求解方法得出集合B，利用m的值和一元二次不等式求解方法得出集合A，再根据交集的运算法则，从而得出集合A∩B.

（2）利用已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，从而得出A⫋B，再利用集合间的包含关系，从而得出关于m的不等式组，解不等式组得出实数m的取值范围.21．【答案】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2x根据题意得：600x−600经检验，x=50是原方程的解，则2x=100.答：甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作2000−100y50根据题意得：0.5y+0.3(40−2y)≤10，解得：y≥20.答：至少应安排甲队工作20天.【知识点】不等关系与不等式【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的解法.（1）先设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2（2）设安排甲队工作y天，根据题意可表示出安排甲队工作的天数，根据这次的绿化总费用不超过10万元可列出不等式，解不等式可求出至少应安排甲队工作得天数.（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2x根据题意得：600x−600经检验，x=50是原方程的解，则2x=100.答：甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为50m（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作2000−100y50根据题意得：0.5y+0.3(40−2y)≤10，解得：y≥20.答：至少应安排甲队工作20天.22．【答案】（1）解：d=d当k=0.9时，d=20+v+v因此有t=d即t≥3+2103即当v=610时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为3+2（2）解：当0.5≤k≤0.9时，当v=0时，满足题意，当0<v≤33.3时，d=20+v+v220k由0.5≤k≤0.9⇒10≤20k≤18⇒1于是有60−vv而0<v≤33.3，于是有0<v<20，综上所述：0≤v<20，而20m所以车辆设计的最高速应小于72km【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的解集【解析】【分析】（1）根据d=d（2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可.（1）d=d当k=0.9时，d=20+v+v因此有t=d即t≥3+2103即当v=610时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为3+2（2）当0.5≤k≤0.9时，当v=0时，满足题意，当0<v≤33.3时，d=20+v+v220k由0.5≤k≤0.9⇒10≤20k≤18⇒1于是有60−vv而0<v≤33.3，于是有0<v<20，综上所述：0≤v<20，而20m所以车辆设计的最高速应小于72km23．【答案】（1）解：设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为：h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0，ω>0，t≥0)，则A=30，所以h(t)=30sin依题意，T=24min，所以ω=当t=0时，ht=32，所以故h(t)=30sin（2）解：令h(t)=17，即30sin所以sinπ又因为0≤t≤24，所以0≤π所以，π12t=7π6或π12即当t=14或t=22时，1号座舱与地面的距离为17米.（3）解：依题意得h1=