圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题一重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。二难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。三基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。四例题１．几何法（Ⅰ）有关点的最值问题【练习１】椭圆上的点到原点距离的最大值是；最小值是；相应点的坐标是．【练习２】双曲线上的点到原点距离的最小值是；相应点的坐标是．【练习３】椭圆上的点到焦点距离的最大值是；最小值是；相应点的坐标是．【练习４】双曲线上的点到焦点距离的最小值是；相应点的坐标是．【练习５】抛物线上的点到焦点距离的最小值是；相应点的坐标是．【例１】点为抛物线上上一动点，定点，则点到轴与到点的距离之和的最小值为，并求此时点的坐标。【解析】，当且仅当点是抛物线与的交点时，最小。此时，由解得或（舍去．但，是的最大值点．在线段外，有向线段方向问题。的最小值点即线段的垂直平分线与抛物线的交点）。【评析】（１）如何判断点的位置。参照区域判断方法。（２）折线和化为直线段。（３）此题无最大值。（４）若点在抛物线内部，如何？（过作轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为点。此情况也无最大值。）的最大、最小值点？说明：①“兜底”；②细节。P2P2P1F′OBAyxPFQCBxOyPFA(8,7)C【变式１】是椭圆的右焦点，是其上一点，定点，则最小值为；的最大、最小值为．【解析】首先判断定点的位置．①；②【评析】（１）的最大值存在，但求不出．（涉及４次方程）（２）能求最小，最大求不出．（３）的最大、最小值点？（４）点在椭圆外，如何？无法求出．最小可求，即连接与椭圆的交点；最大也可求，，连接与椭圆的交点；的最大值可求，最小值与的垂直平分线和椭圆有无交点有关――有交点可求，无交点存在最小值但求不出．【变式２】已知双曲线上有动点和定点,且为双曲线的右焦点，则的最小值；的最小值（分点在左、右支）。ＦＦABＡ１xＰOＱＦ１总结：（１）圆锥曲线上点到定点和焦点的距离和解法：①折线化直线段；②与转化。（２）任意一点到圆锥曲线的距离最值存在，但求不出．（Ⅱ）有关弦上的点最值问题FBAOMYXCDNＲＥＧ【例２】定长为3的线段FBAOMYXCDNＲＥＧ【解析】通径长，所以过焦点是可能的。，当且仅当直线过焦点时取最小值。【评析】（１）最大值不存在。（２）一般，设，点在抛物线上，讨论中点到轴距离的最小值？【解析】设直线的方程：由消去，得．设，由是直线与抛物线的交点，所以，（﹡）设，韦达定理，得从而．由，得，∴．于是，（令，得．为下面分析提供依据）当时，，当且仅当，且时，（﹡）成立，取得最小值；当时，由“对号”函数的单调性，得，当且仅当，且时，（﹡）成立，取最小值．【变式１】定长为的线段的端点在椭圆上移动，则中点到右准线距离的最小值为；最大值为。OBAyOBAyxＡ１ＭＦＭ１Ｂ１Ｆ１；【评析】（１）当时，如何？（２）双曲线？２．代数法（Ⅰ）焦点弦长的最值问题【练习１】线段是抛物线的焦点弦，则线段的最小值是．【练习２】线段是椭圆的焦点弦，则线段的最小值是；最大值是。【例３】线段是双曲线的焦点弦，求线段的最小值．【解析】（１）若，；（２）不垂直轴，设直线的方程：．由，消去，得．，．，即．当即时（交点不在同一支），，时取最小值；当即时（交点在同一支），，且当时．所以，．（Ⅱ）其他最值问题【例４】设实数x、y满足eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1，则x+2y的最大值为；最小值为。【变式1】求eq\f(y-3,x-1)的范围。【OBAyOBAyxCDC、D是椭圆上的两个动点，且分别在直线AB的两侧，则四边形ABCD面积的最大值。五课堂测试：１．已知中心在原点的椭圆经过Ｐ（２，１）点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是．２．过椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1（a＞b＞0)中心的直线与椭圆交于A、B两点，右焦点为F2(c,0),,则△ABF2的最大面积为（）Ab2BabCacDbc３．已知离心率为e1,e2的共轭双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a＞0,b＞0)的离心率，则e1+e2的最小值为。４．已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)，且与直线x-y+2=0有公共点,求长轴最短的椭圆的方程。５．若是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，当最大时，的坐标是．６．给定抛物线y2=2x,设A(a,0),P是抛物线上的一点，且|PA|=d,试求d的最小值。六课堂小结：圆锥曲线中的最值问题的解法一般分为两种——几何法与代数法，其中所用到的思想方法有函数的思想、换元的方法以及数形结合的思想。七课后思考：如图：已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段eq\O(AC,\s\up8())所成的