2027届高考数学一轮总复习2.7指数函数【课件】

第7节指数函数课标解读

1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.强基础•固本增分1.指数函数的概念函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R.微点拨

形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数.2.指数函数的图象与性质

y=ax0<a<1a>1图象

定义域R值域

性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1

在定义域R上是

在定义域R上是

比较幂值大小的重要依据(0,+∞)减函数增函数

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=3×2x与y=2x+1都不是指数函数.(

)(2)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.(

)(3)若am>an(a>0,且a≠1),则m>n.(

)(4)函数f(x)=ax+3-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(-3,-1).(

)√√×解析

当0<a<1时,m<n,所以错误.√2.(苏教必修一教材习题)设a>0,a≠1,如果函数f(x)=ax满足f(2)>f(3),那么a的取值范围是(

)A.0<a<1B.1<a≤2C.2<a≤3D.a>3A解析

因为函数f(x)=ax为单调函数,且f(2)>f(3),所以函数f(x)=ax为单调递减函数,所以0<a<1.故选A.3.(人A必修一教材习题改编)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则(

)A.a>b>c

B.a>c>bC.c>b>a

D.c>a>bC解析

因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.故选C.4.(人A必修一教材习题改编)已知2x-1<23-x,则x的取值范围是

.

(-∞,2)解析

由指数函数的性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2).5.(全国高考)函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a=

.

2解析

由函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质可知其在区间[0,1]上是单调函数,即当x=0和x=1时,取得最值,所以a0+a1=3,即a=2.研考点•精准突破考点一指数函数的图象及其应用例1

(1)(2025·福建福州模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0D解析

由题图可知函数f(x)=ax-b单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a-b<1=a0,即-b>0,b<0.故选D.

CD

规律方法

对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当指数函数的底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.[对点训练1](1)(多选题)若函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1,b∈R)的图象过第一、三、四象限,则(

)A.0<a<1 B.a>1C.-1<b<0 D.b<-1BD解析

函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1,b∈R)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0+b<0,即a>1,b<-1.故选BD.(2)(2025·甘肃兰州模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.[0,1] D.(0,1)D解析

作出函数f(x)=|2x-1|的大致图象,如图所示.若关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=k有两个交点,由图知,k∈(0,1).故选D.考点二指数函数的性质及其应用

C

B

规律方法

比较指数式大小的方法

[对点训练2]已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln2),则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.c<b<aC解析

因为函数f(x)=ex在R上单调递增,且21.99>21.98=40.99>20=1>ln

2,所以f(21.99)>f(40.99)>f(ln

2),即c<a<b.故选C.

B

B

[对点训练3](1)(2025·湖南三湘名校模拟)已知函数f(x)=3|ax-1|(a≠0),则f(x)的图象经过定点

;f(x)的值域为

.

(0,3)[1,+∞)解析

令x=0,得f(0)=3|-1|=3,故f(x)的图象经过定点(0,3);函数f(x)的定义域为R,所以函数y=|ax-1|的值域为[0,+∞),因为y=3x在x∈[0,+∞)内单调递增,值域为[1,+∞),所以函数f(x)的值域为[1,+∞).(2)(2025·湖南株洲模拟)已知函数f(x)=m×3x+n的值域为(1,+∞),且f(0)=2,则m-n=

.

0解析

由指数函数的性质可知3x>0,若m=0,则f(x)=n,为常数,不符合题意;若m<0,则f(x)=m×3x+n<n,不符合题意;若m>0,则f(x)=m×3x+n>n,因为函